страница 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Похожие работы
|
Закон относительного движения и скорости точки. Скорость точки в момент, когда точка - страница №1/1
![]() ![]() Задача А Тело вращается с постоянной угловой скоростью ![]() Найти
существует.
Задание И1. Основное уравнения динамики относительного движения точки. Теорема о движении центра масс системы. ![]()
![]() Центробежная сила инерции ![]() Сила Кориолиса Проекция поскольку Проектируя уравнение (1.1) на ось х, получаем дифференциальное уравнение относительного движения точки
![]() При заданных начальных условиях точка движется против направления оси х.
![]() Решение однородного уравнения ![]() Подставляя решение в однородное уравнение, приходим к характеристическому уравнению с вещественными корнями ![]() Решение принимает вид ![]() Частное решение ![]() Полное решение уравнения (1.1) ![]() ![]() Постоянные ![]() Подставив (1.4) в (1.3), получим: ![]() Иначе
![]() ![]() ![]() Решение с учётом значений ![]() С учетом начальных условий (1.4) ![]() ![]()
![]() Которая фактически приводит к теореме об изменении кинетической энергии точки. Получаем
Интегрируя, находим зависимость относительной скорости точки от ее перемещения ![]() Из начальных условий (1.4) находим ![]() Находим скорость при ![]()
![]() дает проекцию реакции стержня на ось y ![]() Проектируя уравнение (1.1) на ось z, находим: ![]() Теперь проекция нормальной реакции стержня на ось z равна ![]() ![]() В момент, когда точка покидает тело ![]() ![]()
![]() Это прямая задача динамики. ![]() где Стержень невесом Последнее состоит из относительного, переносного и Кориолисова ускорений: ![]() Направления составляющих изобразим на рисунке и вычислим их величину ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Задание И3. Уравнения Лагранжа. Теорема об изменении кинетической энергии.
Решение
![]() Абсолютная скорость V точки складывается из переносной и относительной скоростей (см. Рис. на стр. 3) ![]() Таким образом, кинетическая энергия приобретает выражение ![]() Находим производные: ![]() Обобщенная сила Подставив производные и
![]() где N- мощность физических сил, приложенных к точке, в переносном и в относительном движениях точки. ![]() Физических сил, имеющих проекцию на ось ![]() Во вращательном переносном движении точки мощность реакции вычисляем через момент ![]() В соответствии с Рис.на стр. 6 ![]() Из дифференциального уравнения (3.4) ![]() Таким образом, после преобразований (см. стр. 6 - преобразования) находим результат, совпадающий с результатом И1 ![]() ![]() ![]() масса пластины принята равной 1 кг Задача Б Тело вращается из состояния покоя под действием момента Найти
покидает тело.
заданное движение точки
момент вылета точки с тела.
обеспечивающий равномерное вращение тела ![]() Задание И2. Теорема об изменении кинетического момента. Дифференциальное уравнение вращения тела. Условие равномерного вращения.
Кинетический момент системы складывается из кинетического момента пластины с зафиксированной на нём в текущий момент точкой М, ![]() ![]() Момент инерции пластины вычисляется по формуле Штейнера ![]() ![]() ![]() Момент инерции точки в текущем положении ![]() Итак
![]() Кинетический момент системы равен: ![]() Интегрируем теорему об изменении кинетического момента ![]() Получаем
![]() Отсюда находим закон угловой скорости тела ![]() В момент, когда точка покидает тело. ![]() ![]()
![]() приобретает вид ![]() Отсюда находим закон изменения силы ![]()
Или ![]() Отсюда
![]() Дифференцируя закон угловой скорости ![]() В момент вылета точки Для удобства вычислений сначала посчитаем Тогда
![]()
![]() Ее момент относительно оси вращения равен ![]() Приравнивая сумму моментов нулю ![]() находим закон изменения вращательного момента, поддерживающий постоянную угловую скорость тела ![]() где законы относительного движения Задание И4. Уравнения Лагранжа.
![]() Кинетическая энергия системы складывается из энергии пластины и точки ![]() Подставив данные задачи, находим ![]() Обобщенная ![]() Интегрируем теорему об изменении кинетического момента ![]() Получаем
![]() ![]() Приходим к тому же результату, что и в И2 ![]() В момент, когда точка покидает тело. ![]() ![]()
Задание И5. Уравнений Лагранжа. Теорема об изменении кинетической энергии в переносном движении
Запишем соответствующие уравнения Лагранжа: ![]() Выражение кинетической энергии системы (4.2) позаимствуем из задания И4 ![]() Производные по ![]() ![]() Обобщенная сила ![]() равна нулю, поскольку нет сил, имеющих составляющие вдоль ![]() Подставив (5.3) и (5.4) в (5.1) получаем дифференциальное уравнение по ![]() Поскольку. ![]() то ![]() Покажем, что циклический интеграл ![]() Подстановка данных задачи дает ![]() что в точности совпадает с выражением (5.7). Значит (5.7) действительно выражает факт сохранение кинетического момента системы относительно оси z. Ввиду начального покоя системы
Производная от (5.7) приводит к дифференциальному уравнению по ![]() 2. Проверим уравнение относительного движения точки (1.2) в условиях задачи А. При подстановке условий задачи А: ![]() 3. Проверим закон угловой скорости тела, найденный в условиях задачи Б При подстановке условий задачи Б при отсутствии момента Кинетическая энергия Т не содержит времени t, поэтому ![]() Энергия ![]() Энергия ![]() Мощность реакции в переносном движении точки ![]() После подстановки в теорему (5.13) получаем ![]() ![]() Проверим выражение (для реакции ![]() ![]() Подставив эти условия в (5.19), получаем ![]() получаем то же выражение (1.8), что и в задании И1. |
ещё >> |