Задача Математическая модель оптимизации выпуска продукции - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Математическая модель оптимизации динамики пучков в гибридных системах 1 61.93kb.
3. многокритериальные задачи принятия решений математическая модель... 1 182.8kb.
Задача оптимизации. Задачи дискретной оптимизации Сведение задачи... 1 12.07kb.
Рабочая учебная программа по дисциплине: Теория оптимального управления... 1 44.27kb.
Мусаева Наталья Гашимовна 220-484-424 1 69.11kb.
Экономико-математическая модель оптимизации распределения трудовых... 1 23.92kb.
Целочисленное программирование 1 46.81kb.
Задача №1 Производственная задача 14 Задача №4 Задача о распределении... 9 799.25kb.
Задача увеличения выпуска потребительских товаров, состоялся в …году 1 76.9kb.
Математическая модель и алгоритм управления качеством в кластерных... 1 109.8kb.
Математическая постановка задач оптимизации Виды ограничений 1 208.09kb.
Задач линейного, целочисленного и нелинейного программирования 1 70.27kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

Задача Математическая модель оптимизации выпуска продукции - страница №1/3





ОГЛАВЛЕНИЕ

Задача 1. Математическая модель оптимизации выпуска продукции ……….3

Задача 2 Математическая модель оптимизации производства с использование кредита …………………………………………………………………………...10


Задача 3 Максимизация объема выпускаемой продукции в условиях ограниченных финансовых ресурсов ………………………………………….16

Задача 4 Построение и анализ сетевых графиков. Оптимизация сетевого графика …………………………………………………………………………..24


Задача 5 Построение и анализ уравнения парной линейной регрессии …….26



Задача 1. Математическая модель оптимизации выпуска продукции


Для изготовления продукции двух видов А и B предприятие расходует ресурсы, а от реализации этой продукции получает доход. Информация о нормах затрат ресурсов на единицу выпускаемой продукции, запасах расходуемых ресурсов, имеющихся в распоряжении предприятия, и выручки от реализации готовой продукции приведены в таблице.


Наименование ресурсов

Норма затрат на

Объем ресурса

Продукт А

Продукт В


Сырье (кг)

3

2

218

Оборудование (ст.час.)

3

5

401

Трудоресурсы (чел.час.)

4

6

543

Цена реализации (руб.)

288

405



Задача предприятия заключается в том, чтобы разработать программу выпуска, обеспечивающую получение максимальной выручки от реализации готовой продукции.

Требуется:


  1. Построить математическую модель оптимизации выпуска продукции и записать ее в форме задачи линейного программирования.

  2. Используя графический метод решения задачи линейного программирования, найти оптимальную программу выпуска продукции.

  3. Записать задачу, двойственную к задаче оптимизации выпуска продукции.

  4. Используя условия «дополняющей нежесткости», найти оптимальное решение двойственной задачи.

  5. Привести экономическую интерпретацию переменных и оптимального решения двойственной задачи.

  6. Провести графический анализ устойчивости изменения объемов используемых ресурсов. Найти функции предельной полезности ресурсов и построить их графики. Определить функциональную зависимость максимальной выручки от объемов используемых ресурсов, построить их графики.

Решение


1. Пусть х1 – количество выпускаемого продукта А;

х2 – количество выпускаемого продукта В.

Искомая производственная программа X = (x1; x2) выпуска изделий А и В должна удовлетворять всем ресурсным ограничениям. Запишем их в математической форме.

1 + 2х2 < 218

3x1 + 5x2 < 401

4x1 + 6x2 < 543

x1 > 0, x2 > 0

Пусть z – выручка от продажи продуктов А и В. Задача состоит в таком выпуске продукции X = (x1; x2), который обеспечивает максимальную выручку, т.е. z = 288 x1 + 405 x2  max
2. Построим область допустимых решений (ОДР). Запишем уравнения граничных прямых для каждого из неравенств и по две точки на этих прямых.

1 + 2х2 = 218(1) 3x1 + 5x2 = 401(2) 4x1 + 6x2 = 543(3)




x1

0

72,7




x1

0

133,7




x1

0

135,8

x2

109

0




x2

80,2

0




x2

90,5

0

При подстановке точки (0; 0) в левую часть неравенств они будут выполняться. Следовательно, искомые полуплоскости будут располагаться слева (ниже) граничных прямых. Получим ОДР в результате пересечения всех полуплоскостей в первом квадранте.

Находим градиент функции:

grad r = (dz/dx1; dz/dx2) = (288; 405)

Двигая линии уровня 288х1 + 405х2 = h вдоль вектора нормали, находим точку касания линии уровня и ОДР. Это и есть точка максимума функции z. В нашей задаче точка максимума X* лежит на пересечении граничных прямых (1) и (2). Находим ее координаты из системы:

3х1 + 2х2 = 218

3x1 + 5x2 = 401

x1 = 32

x2 = 61

Оптимальная производственная программа X* = (32; 61) состоит в выпуске 32 изделий А и 61 изделий В.

Ожидаемая выручка от их продажи:

z* = 288 * 32 + 405 * 61 = 33921 руб.

3. Исходная задача:

u1  3х1 + 2х2 < 218

u2  3x1 + 5x2 < 401

u3  4x1 + 6x2 < 543

x1 > 0, x2 > 0

z = 288 x1 + 405 x2  max
Двойственная задача:

3u1 + 3u2 + 4u3  288

2u1 + 5u2 + 6u3  405

u1  0, u2  0, u3  0

w = 218u1 + 401u2 + 543u3  min
4. Для того, чтобы допустимое решение X исходной задачи и допустимое решение U двойственной задачи были оптимальными, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия.

xj * vj = 0

uj * yj = 0

где vj = aijui – cj, yj = bi - aij*xj

Подставив найденные компоненты вектора X* = (32; 61) в условия получаем:

x1 * v1 = 0; x1 = 10  v1 = 0 3u1 + 3u2 + 4u3 = 288

x2 * v2 = 0; x2 = 92  v2 = 0 2u1 + 5u2 + 6u3 = 405
u1 * y1 = 0; y1 = 218 – 3*32 – 2*61 = 0  u1  0

u2 * y2 = 0; y2 = 401 –3*32 – 5*61 = 0  u2  0

u3 * y3 = 0; y3 = 543 – 4*32 – 6*61 = 49  u3 = 0
Получаем систему уравнений:

3u1 + 3u2 + 4u3 = 288 u1* = 25

2u1 + 5u2 + 6u3 = 405 u2* = 71

u3 = 0 u3* = 0


Значение целевой функции двойственной задачи на этом решении:

w* = 218*25 + 401*71 + 543*0 = 33921 руб.

Получены следующие результаты расчета модели:

x* = (32; 61)

u* = (25; 71; 0)

z* = w* = 33921 руб.

5.

Оценка u1* = 25 руб/кг показывает, что если объем сырья увеличить на 1 кг, то при прочих равных условиях максимальная выручка увеличится на 25 руб., а если уменьшить на 1 кг, то снизится на 25 руб.



Оценка u2* = 71 руб/ст.час. показывает, что если объем используемого оборудования увеличить (уменьшить) на 1 ст.час, то максимальная выручка увеличится (уменьшится) на 71 руб.

Оценка u3* = 0 руб/чел.час. показывает, что трудоресурсы являются избыточным. Уменьшение (в пределах интервала устойчивости) или увеличение фонда времени на трудоресурсы не повлияет на величину ожидаемой выручки.


6. Сырье.

Проведем на графике прямую (1’), соответствующую минимальному объему сырья, при котором оптимальные двойственные оценки ресурсов остаются равными U* = (25; 71; 0). Также проведем прямую (1’’), соответствующую максимальному при этом же условии объему сырья (верхняя граница интервала устойчивости).

Найдем объемы сырья r1’ и r1’’, соответствующие этим прямым.

Прямая (1’) проходит через точку пересечения прямой (2) с осью Ох2.

r1’ = 3*0 + 2*80,2 = 160,4 кг

Прямая (1’’) проходит через точку пересечения прямой (2) с осью Ох1:

r1’’ = 3*133,7 + 2*0 =401,1 кг

r1  [160,4; 401,1]

Допустимое уменьшение объемов сырья:

218 – 160,4 = 57,6

Допустимое увеличение объемов сырья:

401,1– 218 = 373,1

Найдем функции предельной полезности сырья, а также зависимость максимальной выручки от объемов используемого сырья.

Пусть объемы используемого трудоресурса и оборудования остаются постоянными, а объемы сырья меняются. Пусть сначала r1 = 0, на графике этому объему сырья будет соответствовать прямая (а0).

При малом r1 > 0 сырье будет лимитирующим ресурсом и предприятие будет производить только продукт А.

Следовательно,

х1 = 0  v1  0

х2 > 0  v2 = 0

u1 > 0

u2 = 0

u3 = 0

Получаем систему уравнений:

2u1 + 5u2 + 6u3 = 405

u2 = 0

u3 = 0

Из нее находим:

u1* = 202,5

u2* = 0

u3* = 0

Эти двойственные оценки будут оптимальными, пока объемы сырья не вырастут до уровня (а1), т.е. пока объемы сырья не станут равными: r1 = 160,4 кг.

При r1 > 160,4 оптимальным решением будет точка пересечения прямых (1) и (3), при котором u* = (25; 71; 0), т.е. u1(r1) = 25 руб/кг при r1  [160,4; 401,1].

При r1 > 401,1 кг (выше прямой (а2)), сырье станет избыточным. Поэтому, u1(r1) = 0 руб/кг при r1  [401,1; ].

При r1  [0; 160,4], z = 202,5*r1. При r1 = 160,4 z = 160,4 * 202,5= 32481 руб.

При r1  [160,4; 401,1], z = 32481 + 25 (r1 – 160,4) = 28471 + 25r1.

При r1 = 401,1, z = 28471 + 25*401,1 = 38498,5

При r1  [401,1; ], z = 38498,5 руб.

Представим полученные результаты в виде таблицы.

r1 (кг)

[0; 160,4]

[160,4; 401,1]

[401,1; ]

u1(r1) (руб/кг)

202,5

25

0

z(r1) (руб)

202,5r1

28471 + 25r1

38498,5

График функции предельной полезности сырья.

График зависимости выручки от объемов используемого сырья.





следующая страница >>



Ничто так не вредит роману, как чувство юмора в женщине или недостаток его в мужчине. Оскар Уайльд
ещё >>