Задача Дирихле: а внутренняя задача - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Дискретное программирование 1 49.85kb.
Задача №1 Производственная задача 14 Задача №4 Задача о распределении... 9 799.25kb.
Задача 1 Повышение ожидаемой продолжительности жизни 18 Задача 2... 33 5005.95kb.
Задача 1-4 классы Дорогие ребята! 1 86.88kb.
Задача нахождения наибольшей общей подпоследовательности 1 60.02kb.
Задача интегрирования дифференциального уравнения. Задача Коши. 1 38.57kb.
Задача о назначении работ 6 Транспортная задача 9 Составление опорного... 1 344.23kb.
А. Е. Кузнецов исито, Пермь Профсоюзная организация предприятия в... 1 100.66kb.
Задача для объекта. 6 Глоссарий Поисковая задача 1 31.04kb.
В сосуде емкостью 2 л находится водород, причем 1 см 1 45.44kb.
А. К. Байбурин Введение в этнологию Задача 1 19.84kb.
Программа курса «уравнения математической физики» 1 34.81kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

Задача Дирихле: а внутренняя задача - страница №1/1


2.21

Билет № 24/31.
Разностные схемы для краевых задач эллиптического типа. Итерационные методы решения систем разностных уравнений.
Пусть G- ограниченная область в пространстве Rn. Эллиптические дифференциальные уравнения описывают статические состояния. Поэтому ищутся решения дифференциальных уравнений, которые на границе области G удовлетворяют краевым условиям. Такая задача называется краевой задачей.

Различают:



  1. Задача Дирихле:

а) внутренняя задача:, V непрерывна на всей области G+ и задана на границе (граничные условия 1-го рода).

b) внешняя задача: V непрерывна на всей области +



  1. Задача Неймана:

а) внутренняя задача: V непрерывна на всей области G+

( граничные условия 2-го рода).

b) внешняя задача :, V непрерывна на всей области +



( граничные условия 2-го рода).

Рассмотрим внутреннюю задачу Дирихле. Решение ищется в виде потенциала двойного слоя.



;
. (*)

Это интегральное Фредгольма 2-го рода. Искомая функция -. Его решать численно значительно легче. Понизилась размерность задачи.

Дискретизируем границу области : , -площадь j-й грани. Получаем n уравнений:

, (**)
. Т.о. интегральное уравнение сводится к системе алгебраических уравнений. Неприятность возникает при . Существует процедура регуляризации, основанная на т.Гаусса. 1-собственная функция (*), численный аналог этого утверждения

, т.о. . Подставляя в (**), получаем «хорошую систему» систему, у нее будет диагональное преобладание, т.е. она будет хорошо решаться.

NB. В случаях 1b) b 2a) получаем системы с нулевыми определителями.

Итерационные методы решения систем разностных уравнений.


Итерационные методы применяются главным образом для решения задач большой размерности.


  1. Метод простой итерации.

Для применения метода простой итерации к системе линейных алгебраических уравнений



с квадратной невырожденной матрицей А, необходимо предварительно преобразовать эту систему к виду



. (*)

Вообще говоря, операция приведения системы к виду, удобному для итераций, не является простой и зависит от специфики системы. Самый простой способ приведения системы к удобному виду -



. Получаемая в результате матрица B имеет нулевую диагональ, , .

В таком виде метод простой итерации называют методом Якоби.



Описание метода.

Выберем начальное приближение . Подставляя его в правую часть системы вычисляем первое приближение . Т.о. получаем последовательность приближений, вычисляемых по формуле .



Теорема. Пусть выполнено условие . Тогда решение (*) существует и единственно и при любом произвольном начальном приближении метод простой итерации сходится и справедлива оценка погрешности .
Из оценки следует, что привыполнении этого условия метод сходится со скоростью геометрической прогрессии. Скорость сходимости тем выше, чем чем меньше .

Для выхода из цикла лучше использовать апостериорную оценку погрешности (это неравенство верно при выполнении условия теоремы)



.
2. Метод Зейделя.
Этот метод можно рассматривать как модификацию метода Якоби. Идея заключается в том, что при нахождении очередного (k+1) приближения неизвестного используют уже известные приближения x1,x2,...xi-1, а не k-е приближения.

Матрица B=B1+B2, где B1-нижняя треугольная матрица, B2-верхняя треугольная матрица:



.

Тогда расчетные формулы примут вид



.

Теорема. Пусть выполняется условие . Тогда при любом выборе начального приближения метод Зейделя сходится и верна оценка погрешности

, где .

Теорема. Если матрица А- симметричная и положительно определенная, то при любом выборе начального приближения метод Зейделя сходится со скоростью геометрической прогрессии.
Для выхода из цикла лучше использовать апостериорную оценку погрешности (это неравенство верно при )

.


  1. Метод релаксации.

Суть метода релаксации состоит в следующем. После вычислении очередной i-й компоненты (k+1)-го приближения методом Зейделя производят дополнительно смещение этой компоненты на некоторую величину. Т.о. i-я компонента (k+1)-го приближения вычисляется по формуле



, где - параметр релаксации.

При =1 метод совпадает с методом Зейделя, при>1 - метод последовательной верхней релаксации, при<1 - метод последовательной нижней релаксации. Для симметричной положительно определенной матрицы А метод сходится при любом ().


Общие замечания.

Различные методы ориентированы на решение разных классов систем:

метод Якоби - на системы с матрицами, близкими к диагональным;

метод Зейделя - на системы с матрицами, близкими к нижним треугольным;

метод релаксации - на системы с симметричными положительно определенными матрицами А;


Билет №24/31







Храбрость: сильнейшее желание жить, принявшее форму готовности умереть. Гилберт Честертон
ещё >>