Задача динамики вращательного движения - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Лабораторная работа №1 проверка основного уравнения динамики вращательного... 5 682.27kb.
Изучение закономерностей вращательного движения с помощью маятника... 1 64.47kb.
№1. «Физические основы механики» 1 79.33kb.
№1. «Физические основы механики» 1 79.39kb.
№1. «Физические основы механики» 1 73.98kb.
Лабораторная работа №3 проверка основного закона динамики вращательного... 1 106.48kb.
Лабораторная работа №16 изучение динамики вращательного движения... 1 87.09kb.
Кинетическая энергия вращательного движения 1 71.43kb.
Закон Ньютона. Инерциальные и неинерциальные системы отсчёта 1 114.96kb.
Динамика вращательного движения 1 71.79kb.
Математическая модель оптимизации динамики пучков в гибридных системах 1 61.93kb.
Экзаменационные вопросы по механике и молекулярной физике 1 40.82kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

Задача динамики вращательного движения - страница №1/1

ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

1. Основная задача динамики вращательного движения.

Изменение скорости поступательного движения тела, т. е. возникновение линейного ускорения, происходит только в результате взаимодействия этого тела с другими телами. Если же на тело не действуют никакие другие тела или силы взаимодействия компенсируют друг друга, то тело находится в покое или движется прямолинейно с постоянной скоростью.

Аналогично этому угловая скорость вращения тела остается постоянной, пока оно не взаимодействует с другими телами. Например, Земля и другие небесные тела в течение многих миллионов лет сохраняют практически неизменной величину угловой скорости.

Действие других тел приводит к возникновению углового ускорения вращения тела. Установление связи углового ускорения вращательного движения тела с силовыми характеристиками взаимодействия его с другими телами и собственными свойствами вращающегося тела представляет основную задачу динамики вращательного движения тела.



2. Основной закон динамики вращательного движения.

Основной закон динамики вращательного движения можно получить теоретическим путем, используя основной закон динамики поступательного движения. Ведь любое вращающееся твердое тело можно представить себе состоящим из множества частичек и к каждой из них применить второй закон Ньютона. Но этот подход требует знания высшей математики, поэтому мы получим основной закон динамики вращательного движения опытным путем.

Для установления основного закона динамики вращательного движения может быть использован прибор, внешний вид которого представлен на рисунке 2.1. Металлический диск укреплен на вертикальной оси с помощью шарикоподшипника. Силы трения, возникавшие в подшипнике при вращении диска, настолько малы, что их влиянием на результат эксперимента можно пренебречь. В том легко убедиться, приведя диск во вращение - диск совершает 20-30 оборотов практически с постоянной угловой скоростью. Измерение угловой скорости производят с помощью центробежного тахометра.

Диск приводят во вращение с помощью намотанной на шкив нити. Для этого нить перебрасывают через блок и к ее концу подвешивают груз. Перемещение груза вниз под действием силы тяжести - приводит диск во вращение.

В рассмотренном опыте начальная угловая скорость вращения диска равна нулю (), поэтому ее значение в любой момент времени t определится выражением: . Измерив время падения груза t и максимальную угловую скорость , которую приобретает диск за это время, можно определить угловое ускорение по формуле:

 

Зависимость углового ускорения от момента действующей силы.

Первоначально исследуем зависимость углового ускорения вращения диска от действующей силы F, если плечо силы относительно данной оси вращения d остается постоянным (d = const).

Опыт показывает, что при увеличении силы в 2, 3, 4 и т. д. раз угловое ускорение увеличивается соответственно во столько же раз. Следовательно, угловое ускорение вращающегося тела прямо пропорционально модулю действующей силы при постоянном плече d этой силы: .

Затем установим зависимость углового ускорения вращения тела от плеча силы относительно данной оси вращения при постоянной действующей силе (F = const).

Под диском в приборе установлены два шкива разного радиуса (рис. 2.1). Намотав нить на шкив в два раза большего радиуса, можно увидеть, что увеличение плеча силы в два раза при постоянной по модулю действующей силе приводит к увеличению углового ускорения диска также в два раза.

Итак, угловое ускорение вращающегося тела при постоянной по модулю действующей силе прямо пропорционально плечу силы относительно оси вращения: , если F = const.

Так как угловое ускорение прямо пропорционально силе F при постоянном значении плеча силы и плечу силы d относительно данной оси вращения при постоянном значении действующей силы F, то очевидно, что оно пропорционально их произведению, т. е. пропорционально моменту силы М=Fd:

Если намотать нити на два шкива и к ним подвесить грузы, то на диск будут действовать два момента внешних сил. Опыт показывает, что угловое ускорение диска прямо пропорционально сумме моментов всех действующих на тело сил относительно данной оси вращения:

Зависимость углового ускорения от свойств вращающегося тела.

Ускорение поступательно движущегося тела зависит от массы тела. Естественно предположить, что и угловое ускорение зависит от массы вращающегося тела.

Увеличим массу вращающегося тела. Для этого поставим на диск две гири (рис. 2.2). При том же моменте действующей силы угловое ускорение вращения диска теперь оказывается меньшим, чем было прежде. Изменим расположение гирь относительно оси вращения диска: отодвинем гири ближе к краям диска. Угловое ускорение при этом еще сильнее уменьшится. Следовательно, угловое ускорение зависит не только от массы вращающегося тела, но и от ее расположения относительно оси вращения.

Характеристика тела, зависящая от массы и ее распределения относительно оси вращения называется моментом инерции . Момент инерции обозначается буквой I.



Основное уравнение динамики вращательного движения.

Результаты выполненных экспериментов можно записать в виде:



(2.1)

Это основное уравнение динамики вращательного движения тела: угловое ускорение вращающегося тела прямо пропорционально сумме моментов всех действующих на него сил относительно оси вращения тела и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно этой оси вращения. Полученное уравнение аналогично по форме записи выражению второго закона Ньютона для поступательного движения тела.

Ускорению поступательного движения тела а соответствует угловое ускорение вращательного движения . Аналогом силы F при поступательном движении, является момент силы М во вращательном движении, а аналогом массы тела m при поступательном движении, служит момент инерции тела I при вращательном движении.

 

3. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ

Момент инерции тела сравнительно простой формы может быть определен путем вычислений. Рассмотрим простейший случай - вращение тела по окружности в случае, когда размеры тела пренебрежимо малы по сравнению с радиусом окружности (тело – материальная точка). Если тело закреплено на расстоянии R от неподвижной оси, то под действием силы , направленной по касательной к окружности и перпендикулярно оси вращения, оно приобретает тангенциальное ускорение

(3.2)

так как за очень малый промежуток времени движение тела по окружности можно считать прямолинейным.

С другой стороны, рассматривая движение тела как вращательное, угловое ускорение его движения можно определить из основного уравнения динамики вращательного движения :

Из уравнений (2.1) и (3.2) получаем выражение для момента инерции тела:



Выражая тангенциальное ускорение через угловое ускорение и радиус вращения , получим:



(3.3)

Итак, момент инерции тела, вращающегося по окружности радиуса R, большого по сравнению с размерами тела, равен произведению массы тела на квадрат расстояния от него до оси вращения.

Из уравнения (3.3) единица момента инерции в СИ будет:

Полученный результат (3.3) позволяет решить задачу о нахождении момента инерции тела произвольной формы относительно любой оси вращения. Для этого необходимо мысленно разбить это тело на очень малые части, найти произведение массы каждой части на квадрат расстояния от нее до оси вращения и все эти произведения сложить. Эту операцию можно произвести сравнительно просто для таких тел, как обруч, тонкостенный цилиндр и т. д. Все точки обруча находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости обруча.

Для таких тел как шар, цилиндр и многих других, у которых точки находятся на различных расстояниях от оси вращения, расчет момента инерции более сложен и производится методом высшей математики, называемым интегрированием.

Момент инерции тела человека, стоящего с прижатыми к туловищу руками относительно вертикальной оси, проходящей через его центр масс, равен примерно 1,2 кгм2. Разведение в стороны рук и ног увеличивает момент инерции человека относительно той же оси почти в семь раз.

В таблице 3.1 приводятся моменты инерции некоторых тел относительно указанных осей.

Таблица 3.1.




Тело

Ось вращения проходит

Момент инерции

Тонкий стержень

Перпендикулярно стержню через его середину



Обруч (тонкостенный цилиндр)

Перпендикулярно плоскости кольца через его центр



Диск (цилиндр)

Перпендикулярно плоскости диска через его центр



Плоский диск

Через цент диска вдоль его диаметра



Шар

Ось проходит через центр шара


 

 

4. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА

Основное уравнение динамики вращательного движения тела можно представить в виде или . (4.1)

Последнее уравнение можно записать в более общем виде:



(4.2)

Физическая величина, равная произведению момента инерции тела I на угловую скорость его вращения , носит название момента импульса и обозначается буквой L:

Согласно выражению (4.2) изменение момента импульса тела равно произведению момента внешней силы М на время действия этого момента силы т. е.



.

Между моментом силы и импульсом силы легко прослеживается аналогия. Сравните:



и ,

где аналогом силы является момент силы, а аналогом импульса - момент импульса.

Происхождение названия <момент импульса> станет ясным, если мы рассмотрим в качестве равномерно движущегося тела по окружности материальную точку. Момент инерции тела в этом случае равен произведению массы тела m на квадрат расстояния R от тела до оси вращения:

(4.3)

Угловая скорость вращения тела связана с линейной скоростью соотношением v=R. Поэтому момент импульса тела равен



(4.4)

Здесь радиус R можно рассматривать как своего рода <плечо>. И точно так же, как произведение силы на плечо назвали моментом силы, произведение импульса mv на плечо R назвали моментом импульса.



Закон сохранения момента импульса

Момент импульса тела - одна из важнейших характеристик его вращательного движения. Когда суммарный момент сил, действующих на тело, относительно данной оси вращения равен нулю , то момент импульса не изменяется:



.

Это и есть закон сохранения момента импульса.

Замечательной особенностью вращательного движения является свойство вращающихся тел при отсутствии взаимодействий с другими телами сохранять неизменными не только момент импульса, но и направление оси вращения в пространстве. Неизменным ориентиром для путешественников на поверхности Земли служит Полярная звезда в созвездии Большой Медведицы. Примерно на эту звезду направлена ось вращения Земли, и кажущаяся неподвижность Полярной звезды на протяжении столетий наглядно доказывает, что на протяжении этого времени направление оси вращения Земли в пространстве остается неизменным.

Неизменность направления оси вращения тел в пространстве при равенстве нулю момента внешних сил позволяет рассматривать угловую скорость вращения и момент импульса тела как векторные величины особого рода.

При сходной алгебраической форме записи закон сохранения импульса и закон сохранения момента импульса в применении к одному телу имеют существенно разный смысл. Из закона сохранения импульса следует, что тело, не взаимодействующее с другими телами, сохраняет неизменным не только свой импульс , но и из-за постоянства массы m сохраняется неизменной скорость движения .

Иначе обстоит дело в случае вращательного движения. Из закона сохранения момента импульса не следует, что при равенстве нулю момента внешних сил угловая скорость вращения тела должна оставаться неизменной, так как момент инерции тела I может изменяться внутренними силами.

Примеры, подтверждающие закон сохранения момента импульса.

Закон сохранения момента импульса можно продемонстрировать на следующем простом приборе: подвижная рамка в виде ромба, на двух углах которой закреплены грузы, подвешена на штативе, как показано на рисунке 4.1.

Рамку приводят во вращательное движение. Если изменить форму рамки, потянув вниз за нить, прикрепленную к нижнему углу рамки, то грузы сблизятся и момент инерции прибора уменьшится. При этом угловая скорость вращения прибора возрастет. Если ослабить натяжение нити, грузы снова разойдутся в стороны и угловая скорость вращения прибора уменьшится.

Эффектной демонстрацией действия закона сохранения момента импульса является опыт с использованием вращающейся скамьи. На скамью, имеющую вертикальную ось вращения, или легко вращающийся стул встает человек, берет в руки гантели или тяжелые гири и разводит их в стороны (рис.4.2а).

Скамью с человеком приводят во вращение. Если человек прижмет руки с гантелями к груди, то его момент инерции существенно уменьшается (рис. 4.2б), а угловая скорость вращения увеличивается, если снова разводит руки, то угловая скорость вращения уменьшается.

Действие закона сохранения момента импульса, позволяющего изменять угловую скорость вращения тела за счет действия внутренних сил, хорошо знакомо спортсменам, артистам балета и цирка.

 

5. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА

Тело массой m, движущееся по окружности радиуса R со скоростью v, обладает кинетической энергией:



Используя связь между угловой и линейной скоростью движения, получим:



(5.1)

Если размеры тела малы по сравнению с радиусом окружности, то, как следует из выражений (4.3) и (5.1), кинетическая энергия вращающегося тела равна



Это выражение, полученное для одного частного случая, в действительности справедливо для любого вращательного движения.

Если тело одновременно совершает поступательное и вращательное движение, то его полная кинетическая энергия складывается из кинетической энергии поступательного и вращательного движения:

Это же тело может иметь еще и потенциальную энергию ЕP, если оно взаимодействует с другими телами. Тогда полная энергия равна:



Интересной демонстрацией превращения одного вида механической энергии в другую служит маятник Максвелла. Он представляет собой диск, ось которого подвешена на двух нитях. Закрутив маятник, его поднимают на высоту h над положением равновесия. Механическая энергия его в этом положении будет равна mgh, если нулевым уровнем потенциальной энергии считать положение равновесия. Если отпустить маятник, то он, вращаясь, начнет опускаться вниз, а его потенциальная энергия будет превращаться в кинетическую энергию поступательного и вращательного движений:



Движение маятника периодическое: опустившись вниз, он вновь начнет подниматься, нить будет накручиваться на ось. Поднявшись вверх, он остановится и снова будет опускаться. Вследствие трения маятник через некоторое время остановится.

Часто на практике вращательное движение массивных тел используют для получения запаса кинетической энергии. Например, в четырехтактном двигателе внутреннего сгорания маховое колесо укрепленное на одном валу с двигателем, запасает кинетическую энергию во время рабочего хода поршня и расходует ее на совершение работы во время остальных ходов поршня.

Особенно массивные колеса применяют в прокатных станах: маховики там имеют диаметр свыше трех метров и массу более сорока тонн. Маховое колесо приводится в движение электромотором. В момент проката (захвата болванки) маховик обеспечивает прокатный стан дополнительной энергией.



6. ГИРОСКОП

Гироскопом называют быстро вращающееся тело, укрепленное в специальном подвесе. Рассмотрим поведение так называемого свободного гироскопа, укрепленного в кардановом подвесе (рис. 6.1). Карданов подвес устроен следующим образом: на корпусе закреплено внешнее кольцо, которое может вращаться около оси АА1. Внутри него расположено второе кольцо, ось вращения которого ВВ1, перпендикулярна к АА1. Внутри последнего кольца около оси СС1 перпендикулярной к ВВ1 вращается гироскоп О. Благодаря такому устройству ось гироскопа может свободно поворачиваться и занимать любое положение в пространстве, при этом корпус гироскопа будет оставаться неподвижным. Момент внешних сил, действующих на свободный гироскоп, равен нулю т. к. сила тяжести гироскопа уравновешена силой реакции в опорах карданова подвеса, а сила трения в шариковых подшипниках очень маленькая. Поэтому к свободному гироскопу можно применить закон сохранения момента импульса: момент импульса свободного гироскопа остается постоянным, а следовательно сохраняется в пространстве направление оси его вращения.

Гироскоп - основная часть таких приборов, как указатель курса, поворота, горизонта, сторон света, гирокомпас. Внутри этих приборов вращаются со скоростью в несколько десятков тысяч оборотов в минуту небольшие роторы-волчки, укрепленные в кардановом подвесе. Корпус прибора можно поворачивать как угодно, при этом ось вращающегося гироскопа будет сохранять неизменное положение в пространстве.

Большое применение находят гироскопические приборы для автоматического управления движением самолетов и кораблей. Для поддержания заданного курса корабля служит <авторулевой>, а самолета - <автопилот>.

В приборе <авторулевой> применен свободный гироскоп с большим собственным моментом импульса и малой силой трения в местах карданова подвеса. Направление движения корабля задается направлением оси свободного гироскопа. При любых отклонениях корабля от курса, ось гироскопа сохраняет свое прежнее пространственное направление, а карданов подвес поворачивается относительно корпуса корабля. Поворот рамы карданова подвеса отслеживается при помощи специальных устройств которые выдают команды автоматам на поворот руля и возвращение корабля на заданный курс.



<Автопилот> снабжен двумя гироскопами. У одного из них ось располагают вертикально и в таком положении раскручивают гироскоп. Вертикально расположенная ось гироскопа задает горизонтальную плоскость. Ось второго гироскопа располагают горизонтально, ориентируя ее вдоль оси самолета. Этот гироскоп постоянно "знает" курс самолета. Оба гироскопа дают соответствующие команды механизмам управления, поддерживающим полет самолета по заданному курсу.

В настоящее время автопилотами оборудованы все современные самолеты, предназначенные для длительных полетов. Гироскоп служит важной составной частью в системах управления космических аппаратов.



 

Литература.



1. Факультативный курс физики. О. Ф. Кабардин, В. А. Орлов, А. В. Пономарева

Москва “ ПРОСВЕЩЕНИЕ “ 1977 г.




Если бы рекламодатели тратили на улучшение своей продукции те деньги, которые они тратят на рекламу, их продукция не нуждалась бы в рекламе. Уилл Роджерс
ещё >>