Вид рассматриваемых уравнений - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Решение систем линейных уравнений с параметрами 1 21.48kb.
1. Методом Гаусса решить систему линейных уравнений Ax = b и Решение 3 210.17kb.
Математическая модель барабанной перепонки 1 62.42kb.
Вывод уравнений динамики для систем гидродинамического типа с учетом... 1 117.04kb.
Решение нелинейных уравнений 1 180.73kb.
Об одном точном решении уравнений Эйнштейна для вакуума 1 43.1kb.
Вопросы к зачету по дисциплине «Математика и информатика» 1 23.56kb.
Кафедра вычислительной математики продолжает 1 29.91kb.
Программа вступительных испытаний в магистратуру по направлению 010100. 1 150.63kb.
Решение линейных уравнений 1 74.06kb.
Контрольные вопросы по курсу оптики 1 9.99kb.
Потенциал колебательной скорости 1 80.11kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

Вид рассматриваемых уравнений - страница №1/1

10. Классификация линейных дифференциальных уравнений в частных производных 2-го порядка. Уравнения переноса, теплопроводности, волновые уравнения, уравнения эллиптического типа. Постановка краевых задач и граничные условия.
Вид рассматриваемых уравнений:

, (1)

где - функции только x и y.

С помощью преобразования переменных получим новое эквивалентное уравнение.

Вопрос: как выбрать и , чтобы получившееся уравнение имело наиболее простую форму?

Преобразуя производные к новым переменным, получаем:


Подставляя значения производных в уравнение, будем иметь:

, где

а функция не зависит от вторых производных.

Выберем и так, чтобы был равен нулю. Рассмотрим уравнение с частными производными 1-го порядка:

(2)

Пусть - какое-нибудь частное решение этого уравнения. Если положить , то каэффициент будет равен нулю. Таким образом, задача о выборе новых переменных связана с решением уравнения (2).


Далее нам понадобится следующая лемма:

Если является частным решением уравнения (2), то соотношение представляет собой общий интеграл обыкновенного дифференциального уравнения (3)

Обратное также верно.
Полагая , где есть общий интеграл уравнения (3), мы обращаем в нуль коэффициент при . Аналогично, если - другой интеграл этого уравнения, мы обнулим коэффициент при .

Уравнение (3) распадается на два уравнения:



Знак подкоренного выражения определяет тип уравнения (1).

Это уравнение мы будем называть в точке M уравнением


  1. Гиперболического типа, если в точке M

  2. Эллиптического типа, если в точке M

  3. Параболического типа, если в точке M

Тип уравнения не меняется при преобразовании переменных.

Вид уравнений различных типов


  1. Гиперболические

(каноническая форма) или



  1. Параболические



  1. Эллиптические

Более общее определение, годящееся для случая многих переменных, для уравнения без смешанных производных с коэффициентами, посчитанными в некоторой точке M, звучит следующим образом:



Уравнение называется уравнением эллиптического типа, если все коэффициенты перед старшими производными не равны нули и имеют один знак. Уравнения гиперболического типа (нормального гиперболического типа) имеют лишь один коэффициент с противоположным знаком; в уравнениях ультрагиперболического типа имеются m коэффициентов одного знака и m-n коэффициентов - противоположного (m, m-n >1). Уравнениями параболического типа называются уравнения второго порядка, в которых хотя бы один коэффициент перед старшей производной равен нулю.
В качестве реальных примеров дифференциальных уравнений 2-го порядка могут быть представлены следующие уравнения:

Волновые уравнения:



Уравнения теплопроводности:




Уравнения эллиптического типа (уравнения Пуассона)


Условия, согласно которым решение или некоторые производные решения должны принимать заданные значения на заданных поверхностях (линиях в случае двух независимых переменных), называются краевыми (граничными). Задача интегрирования дифференциального уравнения при заданных краевых условиях называется краевой задачей.
Три основных типа граничных условий:

  1. Условие первого рода - заданный режим

  2. Условие второго рода - заданная сила

  3. Условие третьего рода - упругое закрепление

Если функции, задаваемые в правой части (), равны нулю, то граничные условия называются однородными.

Комбинируя перечисленные типы граничных условий, можно получить шесть типов простейших краевых задач.




Если мужчина слышит все, что говорит ему женщина, значит, она не красавица. Генри Хаскинс
ещё >>