Урок по теме: Логарифмы и их свойства в 11 классе Назаровой Софии Степановны 1 категория, 13 разряд - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Урок по теме: «Свойства логарифмов» 1 160.4kb.
Урок алгебры в 11 классе учитель Дряпак Л. Н. Цели урока: Повторить... 1 153.6kb.
Урок математики в 1 классе по теме: «Сложение однозначных чисел с... 1 105.32kb.
Урок исследование: "Химические свойства металлов и их соединений... 1 124.03kb.
Урок по теме: «Плавание судов» в 7 классе. Учебные цели: Категория 1 49.62kb.
Урок алгебры в 9-м классе по теме "Свойства функций. Четные и нечетные... 1 143.99kb.
Урок по теме "Древний Египет" в 5 классе. 1 88.73kb.
Урок музыки в 5-м классе по теме "Опера" Учитель музыки Гиленко Т. 1 71.19kb.
Урок химии в 8 классе по теме «Растворение как физико-химический... 1 77.41kb.
Урок по теме «Строение и свойства вещества» (5 класс). 1 112.43kb.
Урок русского языка в 6 классе по теме «Меткие, озаряющие слова» 1 122.65kb.
Функцию, заданную формулой y =logax 1 136.67kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

Урок по теме: Логарифмы и их свойства в 11 классе Назаровой Софии Степановны 1 категория - страница №1/1

Московский институт открытого образования

Методическая лаборатория математики

Урок по теме:

Логарифмы и их свойства

в 11 классе

Назаровой Софии Степановны

1 категория, 13 разряд

учитель математики ГОУ СОШ №430 ЮВАО

курсы «Современный урок математики»

2011 год

Состав учащихся:

Всего: 19 учащихся.

Претендуют на золотую медаль: 4 учащихся.

Претендуют на 5: 4 учащихся.

Претендуют на 4: 4 учащихся.

Слабых: 7 учащихся.

Я классный руководитель этого класса. С основной частью учащихся (10 учащихся) работаю как классный руководитель и учитель математики с 5 класса. 1 учащийся пришел в 9 класс, 7 учащихся в 10 класс, 1 – в 11 класс. Сдавая ГИА в 9 классе, все учащиеся подтвердили свои оценки, двоек не было.

Тема «Логарифмы и их свойства» входит в программу по алгебре и началам анализа в 11 классе. Задания по этой и последующим «Логарифмическая функция», «Решение логарифмических уравнений и неравенств», «Производная логарифмической функции» темам обязательно будут в ЕГЭ. Эта тема является введением в последующие, следовательно, именно ее успешное понимание и отработка послужат базой под изучение других.

Я выбрала тип урока «Урок изучения нового». Так как это первый урок по данной теме. В 11 классе сдвоенные уроки, поэтому я запланировала пару, а не урок. Уроки данного типа в чистом виде встречаются редко. Это объясняется своеобразием учебного материала и неустойчивостью внимания учащихся. Новый материал небольшими частями рассматривается почти на каждом уроке. Но бывают уроки, на которых изучение нового материала является основной дидактической целью. Я считаю, что это тот самый случай. Этой работе отводится большая часть времени на уроке, все другие части урока также подчинены изучению нового. Для того чтобы установить связи преемственности в изучении нового материала с изученным, включить новые знания в систему ранее усвоенных, повторяют те разделы и вопросы, которые подготавливают детей к восприятию нового материала. А именно: «Показательная функция». На таком уроке происходит и первичное закрепление изучаемого материала. Структура данного типа урока такова:

1) повторение материала, необходимого для сознательного усвоения новых знаний,

2) сообщение темы и цели урока,

3) изучение нового материала,

4) проверка понимания учащимися изученного материала и его первичное закрепление,

5) задание на дом.

Задачи урока:

Образовательные:

- повторить знания, полученные на предыдущих занятиях по теме «Показательная функция»;

- познакомить с понятием логарифма и его свойствами;

- установить связи преемственности в изучении нового материала с изученным, включить новые знания в систему ранее усвоенных;

- закрепить изученный на этом уроке материал «Логарифмы и их свойства».

Воспитательные:

- воспитывать стремление к достижению цели, умение доводить дело до конца;

- воспитывать личную ответственность за порученное дело, добросовестное выполнение своих обязанностей;

- воспитывать дисциплинированность, организованность, общественную активность;

формировать культурные потребности;

Развивающие:

- развивать умственные силы и познавательные способности учащихся;

- развивать потребность в образовании, самообразовании, постоянном пополнении своих знаний, расширении общего кругозора; развивать творческое мышление.

План урока.


  1. Организационный момент.

Здравствуйте, садитесь.

Тема нашего урока: Логарифмы и их свойства.

Цели урока: научиться находить логарифм по основанию а числа, представленного в виде степени с основанием а, записывать числа в виде логарифма с основанием а, упрощать выражения пользуясь основными логарифмическими тождествами, а также логарифмировать выражения по указанному основанию.


  1. Повторение.

Начнем с повторения.

Показательная функция.

Определение. Функция, заданная формулой у=ах (где а>0, а≠1), называется показательной функцией с основанием а.

Свойства.

  1. Область определения – множество действительных чисел (R).

  2. Область значений – множество всех положительных действительных чисел (R+).

  3. При а>1 функция возрастает на всей числовой прямой;

При 0<а<1 функция убывает на множестве R.

  1. При любых значениях х и у справедливы равенства (Основные свойства степеней)

ахаух+у

ахух-у

(аb)ххbх

(а/b)хх/bх

х)уху


  1. Изучение нового материала.

Откройте, пожалуйста, тетради. Запишите дату и тему урока. Как я уже упоминала «Логарифмы и их свойства».

Итак, вернемся к уравнению ах=b, где а>0 и а≠1. Как нам уже известно, это уравнение не имеет решений при b≤0 и имеет единственный корень в случае b>0. Этот корень и называют логарифмом b по основанию а и обозначают logаb, т.е. х=logаb, аlogаb=b.



Определение. Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.

Формулу аlogаb=b (где b>0, а>0 и а≠1) называют основным логарифмическим тождеством.

Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1.

Найти значение:

а) log232

Заметим, что 32=25, т.е. для того, чтобы получить число 32, надо 2 возвести в 5 степень. Следовательно, log232=5.

б) log50,04

Заметим, что 0,04=1/25=5-2, поэтому log50,04=-2.



Пример 2.

Найти логарифм числа 1/9 по основанию √3.

Заметим, что (√3)-4=1/9. Поэтому по определению логарифма log√31/9=-4.

Пример 3.

Найти х такое, что:

а) log8х=1/3.

Воспользуемся основным логарифмическим тождеством: х=8log8х=81/3=2.

б) logх8=-3/4.

Воспользуемся основным логарифмическим тождеством: хlogх8=8, т.е. х-3/4=8, откуда

х=8-4/3=1/16.

Первичная проверка понимания изученного материала.

Все вместе решаем.

№476. Найдите логарифм по основанию а числа, представленного в виде степени с основанием а. (Слабые учащиеся по одному)

а) 32=9 (log39=2);

б) 2-3=1/8 (log21/8=-3);

в) 42=16 (log416=2);

г) 5-2=1/25 (log51/25=-2).

№480. Проверьте справедливость равенства. (Показать (а), дальше сами в тетрадях, затем сверить).

а) log50,04=-2 (5-2=0,04);

б) log7343=3 (73=343);

в) lg0,01=-2 (10-2=0,01);

г) log31/243=-5 (3-5=1/243).

№484. Найдите число х. (Сильные учащиеся по очереди, по 2 примера).

а) log3х=-1 (х=3-1=1/3);

б) log1/6х=-3 (х=(1/6)-3=216);

в) log5х=2 (х=52=25);

г) log7х=-2 (х=7-2=1/49).

Основные свойства логарифмов.

При любом а>0 (а≠1) и любых положительных х и у выполнены равенства:



  1. logа1=0.

  2. logаа=1.

  3. logаху=logах+logау.

  4. logах/у=logах-logау.

  5. logахр=рlogах для любого действительного р.

Докажем эти свойства. Причем, первые два свойства не нуждаются в доказательстве.

  1. а0=1.

  2. а1=а.

  3. х=аlogах, у=аlogау.

Перемножая почленно эти равенства, получаем:

ху=аlogах∙аlogауlogах+logау, т.е. ху=аlogах+logау. Следовательно, по определению логарифма logаху=logах+logау. Коротко говорят, что логарифм произведения равен сумме логарифмов.



  1. Доказывается аналогично. Воспользовавшись теми же формулами, имеем х/у= аlogахlogауlogах-logау. Следовательно, по определению логарифма logах/у=logах-logау. Коротко говорят, что логарифм частного равен разности логарифмов.

  2. х=аlogах, откуда хр=( аlogах)ррlogах. Следовательно, по определению логарифмов logахр=рlogах. Говорят, что логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени.

Основные свойства логарифмов широко применяются в ходе преобразования выражений, содержащих логарифмы. Естественно их надо знать наизусть.

Рассмотрим еще одну формулу, необходимую в таких преобразованиях, называется она формула перехода от одного основания логарифма к другому основанию:

logах=logbх/logbа.

Докажем ее.

Эта формула верна, если обе ее части имеют смысл, т.е. при х>0, а>0 и а≠1, b>0 и b≠1.

По правилу логарифмирования степени и основному логарифмическому тождеству получаем:

logbх=logblogах), откуда logbх=logах∙logbа

Разделив обе части полученного равенства на logbа, приходим к нужной формуле.

С помощью формулы перехода можно найти значение логарифма с произвольным основанием а, имея таблицы логарифмов, составленные для какого-нибудь основания b. Наиболее употребительны таблицы десятичных и натуральных логарифмов. Десятичными называют логарифмы по основанию 10 и обозначают lg, а натуральными называются логарифмы по основанию е, с ними, как и с числом е, мы познакомимся позже, обозначаются ln.

Запишем еще одну формулу, которая, возможно, вам пригодится:

аlogbсlogbа.

Пример 4.

Известно, что log25=а и log23=b. Выразить log2300 через а и b.

Пользуясь основными свойствами логарифмов, получаем:

log2300=log2(3∙52∙22)=log23+2log25+2log22=b+2а+2.



Пример 5.

Выразить логарифм выражения 8а3 7√b4 через log2а и log2b. (Коротко говорят: прологарифмируем данное выражение по основанию 2).

Пользуясь основными свойствами логарифмов, получаем:

log2(8а3 7√b4)=log2(23∙а3∙b4/7)=3log22+3log2а+4/7log2b=3+3log2а+4/7log2b.



Пример 6.

Найти х, если log5х=log57+2log53-3log52.

Сначала преобразуем правую часть данного равенства, пользуясь основными свойствами логарифмов:

log5х=log57+log532-log523=log57∙9/8=log563/8,

т.е. log5х=log563/8 и потому х=63/8=7,875.

Пример 7.

Найти значение выражения (lg72-lg9)/(lg28-lg7).

Пользуясь основными свойствами логарифмов, преобразуем числитель и знаменатель этой дроби: lg72-lg9=lg72/9=lg8=3lg2; lg28-lg7=lg28/7=lg4=2lg2. Следовательно, (lg72-lg9)/(lg28-lg7)=3lg2/2lg2=3/2.


  1. Закрепление материала.

Самостоятельная работа (4 варианта разного уровня сложности).


I вариант

1. Найти логарифм по основанию а числа, представленного в виде степени с основанием а:

а) 9 ½=3;

б) 70=1.

2. Проверьте справедливость равенства:

а) log8=6;

б) log9=-2.

3. Упростить выражение, пользуясь основными логарифмическими тождествами:

а) 1,7log1,72;

б) 2log25.

4. Вычислить:

а) lg8+lg125;

б) log27-log27/16

в) log316/log34.



II вариант

1. Найти логарифм по основанию а числа, представленного в виде степени с основанием а:

а) 32 1/5=2;

б) 3-1=1/3.

2. Проверьте справедливость равенства:

а) log27=-6;

б) log0,54=-2.

3. Упростить выражение, пользуясь основными логарифмическими тождествами:

а) 51+log53;

б) 101-lg2

4. Вычислить:

а) log124+log1236;

б) lg13-lg130;

в) (lg8+lg18)/(2lg2+lg3).



III вариант

1. Найти логарифм по основанию а числа, представленного в виде степени с основанием а:

а) 272/3=9;

б) 323/5=8.

2. Проверьте справедливость равенства:

а) log2128=;

б) log0,20,008=3.

3. Упростить выражение, пользуясь основными логарифмическими тождествами:

а) 42log43;

б) 5-3log51/2.

4. Вычислить:

а) log612+log618;

б) log714-log76+log721;

в) (log73/log713)∙log3169.



IV вариант

1. Найти логарифм по основанию а числа, представленного в виде степени с основанием а:

а) 813/4=27;

б) 1252/3=25.

2. Проверьте справедливость равенства:

а) log50,2=-2;

б) log0,2125=-3.

3. Упростить выражение, пользуясь основными логарифмическими тождествами:

а) (1/2)4log1/23;

б) 6-2log65.

4. Вычислить:

а) log1442-log143;

б) log220-log225+log280;

в) log748/log74- 0,5log23.



Ответы к самостоятельной работе.

I вариант

1. а)log93=1|/2; б)log71=0;

2. а) (√2)6=8; б) (1/3)-2=9.

3. а) 2; б) 5.

4. а) 3; б) 4; в) 2.


II вариант

1.а) log322=1/5; б) log31/3=-1.

2.а) (√1/3)-6=27; б) 0,5-2=4.

3.а) 15; б) 5.

4.а) 2; б) -1; в) 2.


III вариант

1. а) log279=2/3); б) log328=3/5

2. а) (√2)14/3=128; б) 0,23=0,008

3. а) 9; б) 8.

4. а) 3; б) 2; в) 2.


IV вариант

1. а) log8127=3/4); б) log12525=2/3.

2. а) (√5)-2=0,2; б) 0,2-3=125.

3. а) 81; б) 1/25.

4. а) 1; б) 6; в) 2.





  1. Домашнее задание:

Д/м - С-17 - 1, 2, 3 и 4 варианты (класс разбит на 4 группы, каждой группе свой вариант).

Литература.

  1. Учебник «Алгебра и начала анализа» 10-11 класс, под редакцией А.Н. Колмогорова, Просвещение, Москва 1997;

  2. Дидактические материалы по Алгебре и началам математического анализа за 11 класс, Б.М. Ивлев, С.М. Саакян, С.И. Шварцбурд, 11 издание, Просвещение, Москва, 2008;

  3. Учебное пособие, ЕГЭ шаг за шагом, Алгебра и начала анализа, П.В. Семенов, 2 издание, Мнемозина, Москва, 2008;

  4. Учебно-методическое пособие, Математика ЕГЭ – 2009, Вступительные испытания, под редакцией Ф.Ф. Лысенко, Легион, Ростов-на-Дону, 2008;

  5. Сборник тренировочных работ, Математика, ЕГЭ 2010, под редакцией А.Л. Семенова и И.В. Ященко, МЦНМО, Москва, 2009.


Самоанализ урока.

В рамках подготовки учащихся к обучению в высших учебных заведениях теория преподносилась в виде лекции. На уроке применялся интегрированный подход к учащимся, так как класс условно разделен на 4 группы по успеваемости. Теория была дана в полном объеме, тема раскрыта полностью. Приведены примеры для решения любого типа заданий, обратившись к которым учащиеся смогут решить любое задание на данную тему. Хорошо отработаны практические задания.

Считаю очень целесообразным решение некоторых номеров из учебника на доске, вместе со всем классом, сразу после получения начальных знаний, еще до ознакомления со свойствами логарифмов. Так как эта остановка в потоке информации дает время учащимся освоиться и привыкнуть к новым обозначениям. Это облегчает усвоение свойств, при рассмотрении примеров учащиеся уже принимают участие в решении, и, уже, более спокойно реагируют на самостоятельную работу. Ведь во второй части этого занятия учащиеся самостоятельно, без помощи учителя, должны справиться с предложенными заданиями.

Домашнее задание дано из Дидактических материалов, с разным уровнем сложности, что дает еще более прочное закрепление пройденной темы.










Сладчайшая месть — это прощение. Исраэл Фридман
ещё >>