Учебное пособие рпк «Политехник» Волгоград 2008 ббк 65В631 м 90 - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Учебное пособие рпк «Политехник» Волгоград 2007 (075. 8) 5 723.62kb.
Учебное пособие рпк «Политехник» Волгоград 2006 ббк 65. 042. 7 1194.58kb.
Учебное пособие Волгоград 2008 ббк 81. 2 Нем. 7я723 3 331.6kb.
Методические указания к практическим занятиям рпк «Политехник» Волгоград... 3 546.59kb.
Учебное пособие Волгоград 2009 ббк 63. 3(2)я73 5 1156.76kb.
Учебное пособие Волгоград 2010 ббк 87. 4я723 4 840.34kb.
Учебное пособие Волгоград 2011 ббк 65. 291. 212я73 9 1439.68kb.
Методические указания рпк «Политехник» 1 94.87kb.
Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Математика»... 1 219.78kb.
Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Теоретическая... 1 207.8kb.
Методические указания к практическому занятию рпк «Политехник» Волгоград... 1 196.2kb.
Теорема 4 (второй достаточный признак экстремума) 1 164.28kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

Учебное пособие рпк «Политехник» Волгоград 2008 ббк 65В631 м 90 - страница №1/4



С. В. Мягкова, Л. Л. Савелло, Е. В. Морозова

Применение аналитической

геометрии и математического

анализа в экономике

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ



КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

ВОЛГОГРАДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

С. В. Мягкова, Л. Л. Савелло, Е. В. Морозова

Применение аналитической геометрии

и математического анализа в экономике
Учебное пособие

РПК «Политехник»

Волгоград

2008

ББК 65В631

М 90

Рецензенты: ст. преподаватель «СГА Камышинский филиал» Н. В. Выпова; директор представительства ВЗФЭИ И. А. Крантиков
Мягкова С. В. и др. Применение аналитической геометрии и математического анализа в экономике: Учеб. пособие / Мягкова С. В., Савелло Л. Л., Морозова Е. В. / ВолгГТУ, Волгоград, 2008. – 44 с.
ISBN 5-230-05095-0
Содержит математические формулировки ряда экономических понятий, краткие теоретические сведения, рассматриваются задачи высшей математики в экономике с решениями и для самостоятельной работы.

Предназначено для студентов экономических специальностей.

Ил. 12. Табл. 3. Библиогр.: 3 назв.
Печатается по решению редакционно-издательского совета

Волгоградского государственного технического университета

ISBN 5-230-05095-0  Волгоградский

государственный



технический

университет, 2008



Введение
Совершение деятельности в любой области экономики (управлении, финансово-кредитной сфере, маркетинге, учете, аудите) в значительной мере связано с применением в экономической науке и практике математических методов исследования.

Цель курса математики в системе подготовки экономиста – освоение необходимого математического аппарата, помогающего анализировать, моделировать и решать прикладные экономические задачи.

Математический анализ и аналитическая геометрия являются фундаментом математического образования экономиста. В данном пособии приводятся математические законы и формулировки ряда экономических понятий (закон убывающей доходности, закон предельной полезности и т. д.), рассматриваются некоторые задачи высшей математики в экономике с решениями и для самостоятельной работы.

1. Применение аналитической геометрии
1.1. Линейная модель амортизации
Существуют различные модели начисления амортизации на купленное предприятием оборудование. Наиболее простая из них – линейная модель. Пользуясь этой моделью, предприятие относит стоимость купленного оборудования на затраты производства равными долями. Если известны начальная стоимость оборудования P, остаточная стоимость S и срок службы T, то ежегодная амортизация:

Стоимость оборудования после t лет эксплуатации:



.

Последнее уравнение определяет прямую линию.


1.2. Линейная модель издержек. Точка безубыточности
При производстве х единиц любой продукции совокупные издержки (затраты) С(х) состоят из двух слагаемых – постоянных (фиксированных) и переменных издержек:

С(х) = F + V.

Постоянные издержки F это издержки, не зависящие от числа единиц произведенной продукции. Они включают в себя амортизацию, аренду помещения, проценты по займам и т. п.

Переменные издержки V это издержки, напрямую зависящие от количества произведенной продукции. Они включают в себя стоимость сырья, рабочей силы и т. п.

В простейшем случае переменные издержки прямо пропорциональны х количеству произведенной продукции. Коэффициент пропорциональности а это переменные затраты по производству одной единицы продукции.

Если обозначить через b фиксированные затраты, то получится уравнение, которое называется линейной моделью издержек:

С(х) = в + ах.

Совокупный доход или выручка R(x), получаемый предприятием от продажи х единиц продукции, определяется формулой:

R(х) = рх,

где р цена единицы товара.

Очевидно, что область определения этой функции {х: х > 0} и

R(0) = 0. Если произведено и продано х единиц продукции, то прибыль Р(х) определяется формулой:

Р(х) = R(х) - С(х).
Задача 1
Фиксированные издержки составляют 10000 руб. в месяц, переменные издержки – 30 руб, выручка – 50 руб за единицу продукции. Составить функцию прибыли и построить ее график.
Решение
C(x) = F + V.

F = 10 000, V = 30x C(x) = 10 000 + 30x,

R(x) = 50x.

Таким образом, прибыль:



P(x) = 50x – 10 000 – 30х = 20x – 10 000.





Рис. 1.

Рис. 2.

При малых значениях x прибыль отрицательна, т. е. производство убыточно. При увеличении х прибыль возрастает, в точке x = 500 она обращается в нуль и после этого становится положительной величиной (рис. 1).

Точка, в которой прибыль обращается в нуль, называется точкой безубыточности (рис. 2).


Задача 2
Издержки производства 100 шт. некоторого товара составляют 300 руб, а 500 шт. – 600 руб. Определить издержки производства 400 шт. товара при условии, что функция издержек линейна.
Решение
Даны две точки прямой: М1(100; 300) и М2(500; 600). Подставляя ко-

ординаты точек M1 и М2 в уравнение:



,

последовательно получаем:





.

Если x = 400,

то: ,

то есть искомая величина составляет 525 руб.


Задача 3
Издержки перевозки двумя средствами транспорта выражаются функциями y = 150 + 50x и y = 250 +25x, где x расстояние перевозки в сотнях километров, а y – транспортные расходы в денежных единицах. Определить, начиная с какого расстояния более экономичным становится второе средство?
Решение



Рис. 3.

Решив систему уравнений:



.

Найдем точку пересечения прямых. Получаем M (4; 350). Сделаем чертеж (рис. 3). Из рисунка видно, что при расстояниях, превышающих 400 км, более экономичны перевозки вторым средством транспорта.



1.3. Законы спроса и предложения
Количество товара, которое покупатели приобретут на рынке, зависит от цены на этот товар. Соотношение между ценой и количеством купленного товара называется функцией или законом спроса.

Количество товара, которое производители выставят на продажу, также зависит от цены на этот товар. Соотношение между ценой и количеством товара, выставленного на продажу, называется функцией или законом предложения.

В

Рис. 4.
простейшем случае эти функции линейны (рис. 4). Закон спроса обозначен через D, закон предложения – через S; х количество товара, р цена на этот товар.

Уравнение спроса можно составить, если заданы две точки, лежащие на его графике. Для этого нужно использовать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

Точка пересечения кривых спроса и предложения (х0, р0) называется точкой рыночного равновесия. Соответственно, р0 называется равновесной ценой, а х0 равновесным количеством (объемом продаж).

Если известен закон спроса р(х), то совокупный доход R = хр можно выразить через х.

Очень часто правительство вводит налог t на товар или предоставляет субсидию s, чтобы население могло приобрести этот товар по разумной цене.

При использовании линейных моделей предполагается, что спрос определяется только ценой товара на рынке рD, а предложение – только ценой ps,, получаемой поставщиками. Эти цены связаны между собой следующими уравнениями:

pD = ps + t,

pD = ps - s,

г


Рис. 5.
де t и s – соответственно налог и субсидия на единицу товара.

Таким образом, при введении налога или субсидии уравнение спроса D не изменится. График функции предложения поднимется на t единиц вверх (S') или опустится на s единиц вниз (S") (см. рис. 4).

Вместо субсидии иногда вводится минимальная цена. В этом случае правительство скупает излишек продукции, равный xs - xD (рис. 5)

Некоторые налоги, например НДС (налог на добавленную стоимость), пропорциональны цене. В этом случае остается той же точка пересечения графика функции предложения с осью Ох и меняется угол наклона графика к оси Оx.
Задача 4
Законы спроса и предложения на некоторый товар определяются уравнениями:

рD = -2х + 12,

рs = х + 3.

а) Найти точку рыночного равновесия.

б) Найти точку равновесия после введения налога, равного 3. Найти увеличение цены и уменьшение равновесного объема продаж.

в) Какая субсидия приведет к увеличению объема продаж на две единицы?

г) Вводится пропорциональный налог, равный 20 %. Найти новую точку равновесия и доход правительства.

д) Правительство установило минимальную цену, равную 7. Сколько денег будет израсходовано на скупку излишка?


Решение
а) Находим точку равновесия М:

х + 3 = -2х + 12, 

х = +3, р = 6.


Рис. 6.
Точка М (3, 6) является точкой равновесия (рис. 6).

б) Если введен налог t = 3, то система уравнений для определения новой точки равновесия примет вид

D: рD = -2х + 12,

S: рs = х + 3.

Pc = Ps + 3.

Используя соотношение между ценой на рынке pD, и ценой рc. получаемой поставщиками, имеем следующую систему для определения точки рыночного равновесия:



Решая эту систему, получаем новую точку равновесия М(2, 8). Следовательно, после введения налога равновесная цена увеличилась на две единицы, а равновесный объем уменьшился на одну единицу.

в) Если предоставлена субсидия, то система уравнений для определения точки равновесия имеет вид:

D: рс = -2х + 12,

S: ps = х + 3,

pc = ps – s.

Новый объем продаж равен пяти единицам (3 + 2). Подставляя х = 5 в систему, находим:



pc =2, ps = 5, s = ps – pc = 3.

г) Если налог составляет 20 %, то вся рыночная цена составляет 120 %, из них 100 % получают поставщики товара, 20 % – государство. Итак, поставщики получают:



.

Уравнение спроса остается неизменным, а в уравнение предложения подставляем :



Решая эту систему, находим новую точку равновесия M:



,

,

,

.

Очевидно, что доход правительства R равен площади заштрихованного прямоугольника (см. рис. 6):



д) Если установлена минимальная цена, то из уравнений спроса и предложения можно найти объемы спроса и предложения. Разницу между

ними скупает правительство. Так как p = 7, то:

xs = p – 3 = 7 – 3 = 4,

Затраты правительства составят:



(xsxD)p = (4 – 2,5).7 = 10,5.


Рис. 7.
Точка рыночного равновесия называется устойчивой, если при малых отклонениях от равновесного значения цена стремится к этому равновесному значению.

Пусть p > p0, тогда xs > xD (рис. 7). Поскольку предложение превышает спрос, то цена падает и р – р0. Если

р < р0, то xs < xD (см. рис. 7). Поскольку спрос превышает предложение, то цена растет р – р0. Следовательно, точка рыночного равновесия, изображенная на рис. 7устойчива.
Задача 5
Прибыль от продажи 50 шт. некоторого товара составляет 50 руб, 100 шт. – 200 руб. Определить прибыль от продажи 500 шт. товара при условии, что функция прибыли линейна.
Задача 6
Прибыль от продажи некоторого товара в двух магазинах выражается функциями у = -2+ 3х и , где x – количество товара в сотнях штук, а y – прибыль в тысячах рублей. Определить, начиная с какого количества товара, более выгодной становится продажа во втором магазине?
Задача 7
Предприятие купило автомобиль стоимостью 24000 руб. Ежегодная норма амортизации составляет 10 % от цены покупки. Написать уравнение, определяющее стоимость автомобиля в зависимости от времени t, построить график. Найти стоимость автомобиля:

а) через 5 лет;

б) через 6 лет и 3 месяца.
Задача 8
Фирма купила четыре одинаковых компьютера. Первоначальная стоимость каждого компьютера составляет 3000 руб., остаточная – 200 руб. Срок жизни компьютера по норме – четыре года. Через два года компьютеры были проданы по цене 1800 руб каждый. Построить график функции, определяющей стоимость четырех компьютеров в зависимости от времени t. Какую прибыль получило предприятие после продажи?
Задача 9
Цена телевизора 1000 руб, остаточная стоимость равна нулю, а срок службы составляет пять лет. Построить график функции, определяющей стоимость телевизора в зависимости от времени t. За сколько нужно продать телевизор после трех с половиной лет эксплуатации, чтобы получить прибыль 100 руб?
Задача 10
Станок был куплен за 12000 руб. По нормам его остаточная стоимость равна нулю, а срок службы составляет восемь лет. Написать уравнение, определяющее стоимость станка в зависимости от времени t, построить график. Найти стоимость станка через семь лет и три месяца эксплуатации.
Задача 11
Маша купила автомобиль за 60000 руб, чтобы ездить на работу. Норма амортизации составляет 12 % от первоначальной стоимости. Написать уравнение, определяющее стоимость автомобиля в зависимости от времени t. Поскольку транспортное средство используется для поездок на работу, Маше разрешили вычитать его годовую амортизацию из суммы, подлежащей обложению подоходным налогом. Какую сумму Маша будет экономить ежемесячно, если подоходный налог составляет 20 %?
Задача 12
Газовая плита была куплена за 800 руб. Амортизация начисляется линейно и составляет 15 % в год от первоначальной стоимости.

Найти:


а) стоимость газовой плиты через t лет;

б) стоимость газовой плиты через шесть лет после начала эксплуатации;

в) срок службы плиты.

Задача 13
Газовая плита была куплена за 800 руб. Амортизация начисляется ежегодно по норме 15 % в год от последней стоимости газовой плиты (нелинейная модель).

Найти:


а) стоимость газовой плиты через t лет;

б) стоимость плиты через шесть лет после начала эксплуатации;

в) срок службы газовой плиты, если ее остаточная стоимость равна 50 руб.
Задача 14
Станок был куплен за 10000 руб, его остаточная стоимость – 300 руб. Определить срок службы станка, если:

а) амортизация начисляется ежегодно из расчета 10 % от последней стоимости станка;

б) норма амортизации составляет 10 % от первоначальной стоимости.
Задача 15
Функция издержек производства шин имеет вид С(х) = ЗОх + 2100.

Цена одной шины 60 руб. Найти точку безубыточности. Построить графики.


Задача 16
Постоянные издержки при производстве ручных часов составляют 12000 руб в месяц, а переменные – 300 руб за одни часы. Цена часов 500 руб. Написать функции дохода и издержек. Построить графики. Найти точку безубыточности.
Задача 17
Мебельная фабрика продает каждый стул по цене 3000 руб. Функция издержек линейная. Издержки составляют 48000 руб за десять стульев и 43200 руб за шесть стульев. Составить функцию дохода и функцию издержек. Найти точку безубыточности.
Задача 18
Постоянные издержки производства некоторой продукции составляют 125000 руб в месяц, а переменные – 700 руб за единицу продукции. Продукция продается по цене 1200 руб за единицу. Составить функцию прибыли. Определить:

а) точку безубыточности;

б) сколько единиц продукции нужно произвести, чтобы прибыль составила 105000 руб в месяц.
Задача 19
Настольные лампы продаются по цене 1200 руб каждая. Постоянные издержки составляют 24000 руб в месяц, а переменные – 800 руб за лампу.

а) Найти точку безубыточности, построить график.

б) Сколько ламп фабрика должна произвести и продать, чтобы получить 15 % дохода на деньги, вложенные в фиксированные затраты?
Задача 20
Издержки производства х единиц продукции определяются функцией С(х) = 0,1х2 + 2х + 80. Цена одной единицы равна восьми. Найти точку безубыточности.
Задача 21
Фабрика продает одну единицу продукции по цене 1,2 руб. Постоянные издержки составляют 300 руб в день, а переменные – 0,9 руб за штуку.

а) Найти точку безубыточности.

б) Фабрика может купить новый станок. При этом постоянные издержки возрастут до 360 руб в день, а переменные снизятся до 0,8 руб за штуку. Выгодно ли это?
Задача 22
Найти точку рыночного равновесия для следующих функций спроса и предложения:

а) б) рD = -x + 4,



рS = 0,5x + 1.

Построить графики.


Задача 23
Спрос на некоторый товар равен десяти единицам при цене 300 руб за штуку и двадцати единицам при цене 280 руб. Поставщик согласен продать восемь единиц товара при цене 84 руб и пять единиц при цене 60 руб. Найти точку рыночного равновесия.

Задача 24
При цене 100 руб покупают тридцать единиц некоторого товара, а при цене 140 руб – только двадцать единиц. Поставщик продает восемь единиц товара по цене 150 руб и пятнадцать единиц по цене 255 руб. Найти точку рыночного равновесия и построить графики.
Задача 25
Пусть предложение и спрос на некоторый товар определяются уравнениями:

pS = 0,5x + 5,

pD = -0,5x + 45

а) Найти точку рыночного равновесия.

б) Правительство ввело налог, равный 5. Найти новую точку рыночного равновесия.

в) Была предоставлена субсидия, равная трем на единицу товара. Найти новую точку рыночного равновесия.


следующая страница >>



Факты — упрямая вещь. Тобайас Смоллетт
ещё >>