Учебно-методическое пособие по предмету «Математика» - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Учебно-методическое пособие Ижевск 2012 резьбовые соединения учебно-методическое... 3 420.6kb.
Учебно-методическое пособие 4-е издание Москва 2011 Учебно-научная... 5 515.45kb.
Учебно-методическое пособие по неорганической химии Барнаул 1999 3 526.62kb.
Учебно-методическое пособие Нижний Новгород 2006 ббк 81. 2 Англ. 6 550.99kb.
Учебно-методическое пособие А. В. Христофоров И. С. Абросимова Казань... 1 209.11kb.
Учебно-методическое пособие для лабораторной работы по дисциплине... 1 231.57kb.
Учебно-методическое пособие Новокубанск 2011 3 526.98kb.
Учебно-методическое пособие для семинарских занятий, самостоятельной... 1 350.47kb.
Учебно-методическое пособие для семинарских занятий, самостоятельной... 6 925.04kb.
Учебно-методическое пособие для студентов дистанционной формы обучения... 1 168.25kb.
Учебно-методическое пособие Тамбов 2010 (075. 8) Ббк 75. 719. 1 43.62kb.
Вопросы к экзамену по курсу "Дискретная математика" 8 467.03kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

Учебно-методическое пособие по предмету «Математика» - страница №1/1



Министерство образования Тверской области

Тверской колледж имени А.Н. Коняева

«Множества»

Учебно-методическое пособие по предмету «Математика»

Тверь,

2009


Учебно-методическое пособие содержит теоретический и практический материал по теме «Множества». Пособие предназначено для студентов, изучающих дисциплины «Математика», «Дискретная математика», а также может быть полезно преподавателям математики.

Оглавление




ВВЕДЕНИЕ 4

1. Основные понятия теории множеств 4

2. Изображение множеств 6

3. Операции над множествами 6

4. Основные свойства операций над множествами 9

5. Примеры решения задач 10

6. Задачи для самостоятельного решения 12

Приложение А 16

Список литературы 22



ВВЕДЕНИЕ


Теоретико-множественные понятия встречаются практически во всех разделах современной математики и составляют ее фундамент. Теоретико-множественный подход способствует развитию общей культуры студентов, помогает видеть связи между явлениями. Таким образом, теоретико-множественный подход при изучении курса математики создает благоприятные условия для целенаправленного изучения языка математики, способствует повышению научности и четкости в изложении материала, содействует выявлению связей между различными разделами математики, помогает развитию математической культуры студентов.

Основным средством формирования теоретико-множественных понятий и их применения при изучении программного материала является специальный подбор системы упражнений и задач. Предлагаемое пособие по теме «Множества» содержит как теоретический, так и практический материал. Рассматриваемая система упражнений рассчитана на овладение студентами общими методами рассуждений, активизацию их мыслительной деятельности, выработку творческого подхода к решению задач, установление связи теоретико-множественных понятий с окружающей действительностью.


1. Основные понятия теории множеств


Понятия множество, элементы множества – одни из основных неопределяемых понятий современной математики.

Под множеством (семейством, набором, ансамблем) понимается совокупность объектов, объединенных некоторым признаком, свойством. Объекты, из которых состоит множество, называются элементами.



Пример 1.1. - множество натуральных чисел, - множество целых чисел,

- множество рациональных чисел, - множество действительных чисел.

Запись означает, что элемент принадлежит множеству .

Запись означает, что элемент не принадлежит множеству .

Для обозначения множеств будем применять прописные буквы латинского алфавита, а элементов – строчные буквы латинского алфавита.



Способы задания множества:

  1. Перечислением, то есть

Указанием свойства, которым обладают элементы, принадлежащие этому множеству. Данное свойство называется характеристическим. Множество записывается следующим образом: , - характеристическое свойство.

Пример 1.2. - множество цифр, .

Определение 1.1. Множество называется пустым, если оно не содержит ни одного элемента. Обозначение - Ø.

Определение 1.2. Множество называется подмножеством множества , если всякий элемент множества является элементом множества . Обозначение - .

Определение 1.3. Универсальным называют множество , состоящее из всех возможных элементов, обладающих данным признаком.

Определение 1.4. Множества и называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Определение 1.5. Мощность множества - это число элементов множества . Обозначение - .

2. Изображение множеств


Множества принято изображать с помощью кругов Эйлера-Венна. Элементы множества изображаются точками внутри круга, если они принадлежат множеству, и точками вне круга, если они не принадлежат множеству. Тот факт, что является подмножеством , с помощью кругов Эйлера-Венна изображается следующим образом (рисунок 2.1).

Рисунок 2.1. Иллюстрация кругами Эйлера-Венна


3. Операции над множествами


  1. Под объединением двух множеств и (обозначение ) понимается множество тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств и (рисунок 3.1).



Рисунок 3.1. Объединение множеств



Пример 3.1. Даны множества и . Тогда объединение этих множеств: .

  1. Под пересечением двух множеств и (обозначение ) понимается множество тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно множествам и (рисунок 3.2.).



Рисунок 3.2. Пересечение множеств



Пример 3.2. Даны множества и . Тогда пересечение этих множеств:

  1. Разностью множеств и (обозначение ) называется множество тех и только тех элементов , которые не принадлежат множеству (рисунок 3.3.).



Рисунок 3.3. Разность множеств



Пример 3.3. Даны множества и . Тогда разность этих множеств: .

  1. Симметрической разностью множеств и (обозначения или ) называется множество тех и только тех элементов, которые принадлежат одному из множеств, но не являются общими элементами (рисунок 3.4.).



Рисунок 3.4. Симметрическая разность множеств



Пример 3.4. Даны множества и . Тогда симметрическая разность этих множеств: .

  1. Дополнением к множеству (обозначение ) называется множество тех и только тех элементов, которые не принадлежат множеству , то есть дополняют его до универсального множества (рисунок 3.5.).



Рисунок 3.5. Дополнение к множеству


4. Основные свойства операций над множествами


  1. Коммутативные законы (переместительные)

,

  1. Ассоциативные законы (сочетательные)

,

  1. Дистрибутивные законы (распределительные)

,

  1. Законы поглощения

,

  1. Законы идемпотентности

,

  1. Свойства разности

,

,



  1. Свойства дополнения ,

,


5. Примеры решения задач


  1. Определить мощность множества .

Решение. Элементами данного множества являются корни квадратного уравнения , дискриминант уравнения больше нуля, следовательно, уравнение имеет два корня. Тогда .

  1. Доказать, что для любых множеств выполняется свойство .

Доказательство. Если , то и , но тогда и . Следовательно, и . Поэтому .

Если , то и . Следовательно, , и . Но тогда и .

Таким образом, мы доказали, что эти множества совпадают.


  1. Доказать, что для любых множеств выполняется закон .

Доказательство. Пусть элемент . Следовательно, элемент входит в и, кроме того, по крайней мере, в одной из множеств или . Но тогда принадлежит хотя бы одному из множеств или , то есть .

Обратно, если , то или , следовательно, и, кроме того, или , то есть . Таким образом, .



Так как любой элемент левой части входит в правую и наоборот, то эти множества совпадают.

  1. Пятьдесят лучших студентов колледжа наградили за успехи поездкой в Англию и Германию. Из них 5 не владели ни одним разговорным иностранным языком, 34 знали английский язык и 27 – немецкий. Сколько студентов владели двумя разговорными иностранными языками?

Решение. Введём обозначения множеств:

- множество студентов, не владеющих ни одним иностранным языком, ;

- множество всех студентов, ;

- множество студентов, владеющих английским языком, ;

- множество студентов, владеющих немецким языком, ;

- множество студентов, владеющих английским и немецким языками, . Найдем из уравнения или 34+27-=50-5, отсюда .

6. Задачи для самостоятельного решения


  1. Укажите множество действительных чисел, соответствующее записи:









  2. Изобразить на координатной прямой множество , если









  3. Укажите три элемента множества:









  4. Задайте характеристическим свойством множество:

    1. Всех параллелограммов;

    2. Всех прямоугольников;

    3. Всех квадратов;

    4. Всех равнобедренных треугольников;

    5. Всех ромбов;

    6. Всех прямоугольных треугольников.

  5. Даны промежутки , , . Найдите следующие множества:











  6. Выполните действия и определите мощность полученного множества:









  7. Из 35 студентов, побывавших на каникулах в Москве, все, кроме двоих, делились впечатлениями. О посещении Большого театра с восторгом вспоминали 12 человек, Кремля – 14, а 16 – о концерте, по три студента запомнили посещение театра и Кремля, а также театра и концерта, а четверо – концерта и пребывания в Кремле. Сколько студентов сохранили воспоминания одновременно о театре, концерте и Кремле?

  8. Каждый студент группы программистов занимается в свободное время либо в НСО, либо спортом. Сколько студентов в группе, если 23 увлекаются спортом, 12 занимаются в НСО, а 7 совмещают занятия в НСО и увлечение спортом?

  9. Докажите свойства объединения и пересечения множеств.

После выполнения всех заданий данного пособия можно предложить студентам пройти тест (приложение А) для проверки усвоения материала.

Приложение А


Тест № 1 (1 – вариант)

Тема: «Множества»

Вопрос № 1. Запись означает:

а) принадлежит множеству ;

б) не принадлежит множеству ;

в) подмножество множества ;

г) нет верного ответа.

Вопрос № 2. Множество считается заданным, если:

а) перечислены все его элементы;

б) указано свойство, которым обладают элементы, принадлежащие множеству;

в) нет верного ответа.

Вопрос № 3. Множество целых чисел принято обозначать:

а) N;

б) Z;


в) Q;

г) R.


Вопрос № 4. Множество принято изображать с помощью:

а) кругов Эйлера-Венна;

б) кругов Гаусса;

в) кругов Крамера;

г) нет верного ответа.

Вопрос № 5. Мощность множества – это:

а) число подмножеств данного множества;

б) число элементов данного множества;

в) число равных множеств данному множеству;

г) нет верного ответа.

Вопрос № 6. Множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно множествам , называется:

а) пересечением множеств ;

б) объединением множеств ;

в) разностью множеств ;

г) нет верного ответа.

Вопрос № 7. Даны множества: , и . - это:

а) пересечением множеств ;

б) объединением множеств ;

в) разностью множеств ;

г) нет верного ответа.

Вопрос № 8. Пустым называется множество:

а) состоящее из нулевого элемента;

б) не содержащее элементов;

в) содержащее один элемент;

г) нет верного ответа.

Тест № 1 (2 - вариант)

Тема: «Множества»

Вопрос № 1. Запись означает:

а) принадлежит множеству ;

б) не принадлежит множеству ;

в) подмножество множества ;

г) нет верного ответа.

Вопрос № 2. Множество считается заданным, если:

а) перечислены все его элементы;

б) указано свойство, которым обладают элементы, принадлежащие множеству;

в) нет верного ответа.

Вопрос № 3. Множество натуральных чисел принято обозначать:

а) N;

б) Z;


в) Q;

г) R.


Вопрос № 4. Множество принято изображать с помощью:

а) кругов Эйлера-Венна;

б) кругов Гаусса;

в) кругов Крамера;

г) нет верного ответа.

Вопрос № 5. Мощность множества – это:

а) число подмножеств данного множества;

б) число элементов данного множества;

в) число равных множеств данному множеству;

г) нет верного ответа.

Вопрос № 6. Множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств , называется:

а) пересечением множеств ;

б) объединением множеств ;

в) разностью множеств ;

г) нет верного ответа.

Вопрос № 7. Даны множества: , и . - это:

а) пересечением множеств ;

б) объединением множеств ;

в) разностью множеств ;

г) нет верного ответа.

Вопрос № 8. Пустым называется множество:

а) состоящее из нулевого элемента;

б) не содержащее элементов;

в) содержащее один элемент;

г) нет верного ответа.

Тест № 1 (3 – вариант)

Тема: «Множества»

Вопрос № 1. Запись означает:

а) принадлежит множеству ;

б) не принадлежит множеству ;

в) подмножество множества ;

г) нет верного ответа.

Вопрос № 2. Множество считается заданным, если:

а) перечислены все его элементы;

б) указано свойство, которым обладают элементы, принадлежащие множеству;

в) нет верного ответа.

Вопрос № 3. Множество рациональных чисел принято обозначать:

а) N;

б) Z;


в) Q;

г) R.


Вопрос № 4. Множество принято изображать с помощью:

а) кругов Эйлера-Венна;

б) кругов Гаусса;

в) кругов Крамера;

г) нет верного ответа.

Вопрос № 5. Мощность множества – это:

а) число подмножеств данного множества;

б) число элементов данного множества;

в) число равных множеств данному множеству;

г) нет верного ответа.

Вопрос № 6. Множество, состоящее из тех и только тех элементов множества , которые не принадлежат множеству , называется:

а) пересечением множеств ;

б) объединением множеств ;

в) разностью множеств ;

г) нет верного ответа.

Вопрос № 7. Даны множества: , и . - это:

а) пересечением множеств ;

б) объединением множеств ;

в) разностью множеств ;

г) нет верного ответа.

Вопрос № 8. Пустым называется множество:

а) состоящее из нулевого элемента;

б) не содержащее элементов;

в) содержащее один элемент;



г) нет верного ответа.

Список литературы


  1. Дадаян А.А. Сборник задач по математике. – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2007. – 352 с.

  2. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. – М.: Наука, 1984.

  3. Спирина М.С. Дискретная математика. – М.: Издательский центр «Академия», 2004. – 368 с.

  4. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. – М.: Высш. школа, 2002.








Ничего не объяснять и ни на что не пенять! Девиз Бенджамина Дизраэли
ещё >>