Системы счисления - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Системы счисления. Позиционные и непозиционные системы счисления 1 164.59kb.
Основные понятия 1 96.31kb.
Урока: Разработала: учитель информатики и икт петечел Е. И. 1 81.29kb.
Записать развернутую форму числа 1 52.5kb.
Карточка №3 фио вариант 1 Позиционные системы счисления 1 34.43kb.
Позиционные и непозиционные системы счисления 1 178.35kb.
Конспект урока информатики и икт по теме «Перевод чисел из десятичной... 1 72.51kb.
Представление числовой информации в различных системах счисления 1 84.59kb.
Правила перевода в различные позиционные системы счисления; 1 173.35kb.
Системы счисления в цифровой электронике 1 56.88kb.
Урока математики по теме «Системы счисления. Построение и измерение... 1 176.73kb.
Понятие о кодировании информации. Универсальность дискретного (цифрового) 1 54.52kb.
Понятие о кодировании информации. Универсальность дискретного (цифрового) 1 54.52kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

Системы счисления - страница №1/1




Системы счисления

Система счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемыми цифрами.

Системы счисления делятся на непозиционные и позиционные.



Непозиционная система счисления – система счисления, в которой значение цифры не зависит от ее позиции в записи числа.

Примеры непозиционных систем счисления: унарная (единичная) система счисления, римская система счисления, алфавитная система счисления.

Унарная (единичная) система счисления характеризуется тем, что в ней для записи чисел применяется только один вид знаков – палочка. Каждое число в этой системе счисления обозначалось с помощью строки, составленной из палочек, количество которых равнялось обозначаемому числу. Неудобства такой системы счисления очевидны: это громоздкость записи больших чисел, значение числа сразу не видно, чтобы его получить, нужно сосчитать палочки.

В римской системе счисления для обозначения чисел используются заглавные латинские буквы, являющиеся «цифрами» этой системы счисления:



1

5

10

50

100

500

1000

I

V

X

L

C

D

M

Число в римской системе счисления обозначается набором стоящих подряд «цифр». Значение числа равно:

  1. сумме значений идущих подряд нескольких одинаковых «цифр» (назовем их группой первого вида);

  2. разности значений большей и меньшей «цифр», если слева от большей «цифры» стоит меньшая (группа второго вида);

  3. сумме значений групп и «цифр», не вошедших в группы первого и второго видов.

Примеры.

1. Число 32 в римской системе счисления имеет вид:

XXXII = (X+X+X)+(I+I) =30+2 (две группы первого вида)

2. Число 444 в римской системе счисления имеет вид:

CDXLIV = (D-C)+(L-X)+(V-I) (= 400 + 40 + 4 – три группы второго вида)


  1. Число 1974:

MCMLXXIV = M+(M-C)+L+(X++X)+(V-I) = 1000+900+50+20+4 (наряду с группами обоих видов в формировании числа участвуют отдельные «цифры»)

  1. Число 2005:

MMV = (M+M) +V = 1000+1000+5 (две группы первого вида)

Позиционные системы счисления характеризуется тем, что количественное значение цифры зависит от ее позиции в числе. Каждая позиционная система счисления имеет определенный алфавит цифр и основание, равное количеству цифр (знаков в ее алфавите).

Наиболее распространенными позиционными системами счисления являются десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная.

Десятичная система счисления имеет алфавит из десяти цифр: 0, 1, …, 9.

Двоичная система счисления имеет алфавит из двух цифр: 0, 1.

Например, в числе 198710 цифра «1» обозначает одну тысячу (1*103),

цифра «9» обозначает девять сотен (9*102),

цифра «8» обозначает восемь десятков (8*101),

цифра «7» обозначает семь единиц (7*100).

В общем виде, если запись числа в системе счисления с основанием n>1 выглядит как abcd, то само число равно значению выражения an3+bn2+cn1+dn0.

Перевод целого числа из двоичной системы счисления в десятичную.

Пример.

1012 = 1*22 + 0*21 + 1*20 = 1*4 + 0 +1 = 510



Задание 12.

Переведите число 1011012 в десятичную систему счисления.



Решение.

1011012=1*25+0*24+1*23+1*22+0*21+1*20=32+8+4+1=4510



Ответ: 1011012=4510

Перевод целого числа из десятичной системы счисления в двоичную.

Алгоритм

1. Последовательно выполнить деление исходного целого десятичного числа и получаемых целых частных на основание системы (на 2) до тех пор, пока не получится частное, меньшее делителя (т.е. меньшее 2).



2. Записать полученные остатки в обратной последовательности.

Пример. Решение.

32510 = 1010001012

325

2


































-324

162

2































1

-162

81

2































0

-80

40

2































1

-40

20

2































0

-20

10

2































0

-10

5

2































0

-4

2

2































1

-2

1


































0








Задание 13.

Как представляется число 2510 в двоичной системе счисления?



1) 10012

2) 110012

3) 100112

4) 110102

Решение.




25

2


































24

12

2































1

-12

6

2































0

-6

3

2































0

-2

1


































1



















2510=100112, что соответствует ответу №2.

Ответ: 2.

Перевод дробного числа из двоичной системы счисления в десятичную.

Пример.

111,012 = 1*22 + 1*21 + 1*20 + 1*2-1 + 1*2-2 = 1*4 + 1*2 +1+ 0*+1* =

= 4+2+1+0,5+0,25 = 7,7510

Перевод дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную.

Алгоритм.


  1. Последовательно умножать (в исходной системе счисления) данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы (на 2) до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или будет достигнута требуемая точность представления данного числа.

  2. Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами в числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системе счисления.

  3. Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.

П
Пример.

0,710 ≈ х 2



Решение.

0,




7




х

2

1




4




х

2

0




8




х

2

1




6




х

2

1




2




х

2

0




4


ример.

0,562510 = 0,10012.



Р
Очевидно, что этот процесс может продолжаться до бесконечности. Обрывают процесс на шаге, когда получена требуемая точность вычисления (количество знаков после запятой) .

0,710 ≈ 0,10110 2


ешение.


0,

5625




х

2

1

1250




х

2

0

2500




х

2

0

5000




х

2

1

0000

5. Арифметические операции в двоичной и кратных ей системах счисления.

Арифметические операции в позиционных системах счисления производится по единому алгоритму. Так, сложение двоичных чисел происходит по классическому алгоритму «столбиком» с переносом числа, кратного двум, единицей в следующий разряд.

Рассмотрим этот алгоритм на примере двух двоичных чисел 10101012 и 1101112:


Дописывание единицы

1

1

1




1

1

1




Первое слагаемое




1

0

1

0

1

0

1

Второе слагаемое




0

1

1

0

1

1

1

Сумма

1

0

0

0

1

1

0

0

Результат сложения выглядит как 100011002. Проверим результат сложения, для чего переведем все числа в десятичную систему счисления:

10101012=8510, 1101112=5510, 100011002=14010, 8510+5510=14010.



Двоичная система, являющаяся основой компьютерной арифметики, весьма громоздка и неудобна для использования человеком. Поэтому программисты используют две кратные двоичной системы счисления: восьмеричную и шестнадцатеричную. В случае шестнадцатеричной системы арабских цифр не хватает, и в качестве цифр используются первые шесть заглавных букв латинского алфавита. Примеры записи натуральных чисел от 1 до 16 в четырех системах счисления помещены в Таблице 2.

Таблица 2. Примеры записи натуральных чисел от 1 до 16

в четырех системах счисления

10-чная

2-чная

8-чная

16-ичная

0

0

0

0

1

1

1

1

2

10

2

2

3

11

3

3

4

100

4

4

5

101

5

5

6

110

6

6

7

111

7

7

8

1000

10

8

9

1001

11

9

10

1010

12

А

11

1011

13

В

12

1100

14

С

13

1101

15

D

14

1110

16

E

15

1111

17

F

16

10000

20

10

Из Таблицы 2 видно, что в двоичной системе запись чисел второй восьмерки (от 8 до 15) отличается от записи первой восьмерки (от 0 до 7) наличием единицы в четвертом (справа) разряде. На этом основан алгоритм перевода двоичных чисел в восьмеричные «по триадам». Для применения этого алгоритма надо разбить двоичное число на тройки цифр (считая справа) и записать вместо каждой из троек восьмеричную цифру:

101011012 → 10 101 101 → 2558.

2 5 5

Крайняя левая тройка может быть неполной (как в примере), для получения полных троек можно приписать слева недостающие нули.



Убедимся в правильности алгоритма:

101011012 → 1*27+1*25+1*23+2*21+1*20=17310;

2558 →2*26+5*23+5*20=17310.

Для перевода чисел из восьмеричной системы в двоичную используется обратный алгоритм: восьмеричные цифры заменяются на тройки двоичных цифр (при необходимости слева дописываются недостающие нули):

3258 → 3 2 5 → 11 010 101 → 110101012.

011 010 101

Для перевода чисел из двоичной системы в шестнадцатеричную используется алгоритм «по тетрадам». Строка двоичных цифр разбивается на четверки и вместо них записываются шестнадцатеричные цифры:

101011012 → 1010 1101 → AD16.

А D

Аналогично работает и обратный алгоритм: вместо шестнадцатеричных цифр подставляются четверки двоичных цифр.



Из восьмеричной системы в шестнадцатеричную и обратно проще переводить через двоичную систему:

D516→ D 5 →1101 0101 → 110101012 → 11 010 101 → 3258.

D 5 3 2 5

При выполнении заданий на сложение чисел разных систем счисления их нужно перевести в одну систему счисления. Лучше всего пользоваться той системой, в которой должен быть представлен результат.



Решение задач в системах счисления
Задание 14.
Вычислите значение суммы в десятичной системе счисления:

102+108+1016 = ?10


Решение.
Переведем все числа в десятичную запись:

102+108+1016 = (1*21+0*20) + (1*81+0*80) + (1*161+0*160) = 2+8+16=2610.


Ответ: 26.

Задание 15.
Найдите сумму x+y, если x=11101012 , y=10110112. Ответ представьте в восьмеричной системе.
Решение.

Найдем сумму: 11101012 + 10110112 :



Дописывание единицы




1

1

1

1

1

1




Первое слагаемое




1

1

1

0

1

0

1

Второе слагаемое




1

0

1

1

0

1

1

Сумма

1

1

0

1

0

0

0

0

11101012 + 10110112 = 110100002

Переведем получившееся число из двоичной системы счисления в восьмеричную:



11 010 000 → 3208.
3 2 0
Ответ: 320.
Задание 16.
В системе счисления с некоторым основанием число 1210 записывается в виде 110. Найдите это основание.
Решение.
Обозначим искомое основание через n.

1210 = 110n

Исходя из правил записи чисел в позиционных счислениях

110n=1*n2+ 1*n1+0*n0.

Составим уравнение: n2+n=12, найдем корни: n1=-4, n2=3.

Корень n1=-4 не подходит, так как основание системы счисления, по определению, натуральное число большее единицы.

Проверим, подходит ли корень n=3:

1103=1*32+1*31+0=9+3=1210


Ответ: 3.
Задание 17.

В классе 11112 девочек и 11002 мальчиков. Сколько учеников в классе?


Решение.

11112=1*23+1*22+1*21+1*20→8+4+2+1=1510.

11002=1*23+1*22+0*21+0*20→8+4=1210

1510+1210=2710


Ответ: в классе 27 учеников.

Задание 18.
В саду 100х фруктовых деревьев, из них 33х яблони, 22х груши, 16х слив и 5х вишен. В какой системе счисления посчитаны деревья?

Решение.
100х = 33х + 22х + 16х + 5х

1*х2=3*х1+3*х0+2*х1+2*х0+ 1*х1+6*х0+5*х0

х2=3х+3+2х+2+ 1х+6+5

х2-6х-16=0

D=b2-4ac=36+4*16=36+64=100

x1,2= = (6±10)/2

x1= - 2 – не удовлетворяет смыслу задачи,

x2= 8 – основание искомой системы счисления.


Ответ: деревья посчитаны в восьмеричной системе счисления.
Задание 19-а.
Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 22 оканчивается на 4.
Решение.
Воспользуемся развернутой формой записи числа

Aq = an–1 qn–1 an–2 qn–2 + … + a1 q1a0 q0,

где Aq = 22, a0 = 4.
Если отнять от числа Aq число a0, то полученное число будет кратно основанию системы счисления q. Aq – a0 = 22 – 4 = 18.
Теперь выпишем все делители числа 18: 2, 3, 6, 9, 18. Цифры 4 нет в 2, 3 с/с.
Ответ: 6, 9, 18
Задание 19-б.
Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 17 оканчивается на 2.
Решение.
Последняя цифра в записи числа представляет собой остаток от деления числа на основание системы счисления. Этот остаток мы отнимем.

Теперь это число будет кратно (т.е. будет делиться нацело) искомому основанию. Поскольку 17-2=15, то искомые основания систем счисления будут являться делителями 15, это: 3, 5, 15.



Проверим наш ответ, представив число 17 в соответствующих системах счисления:


17

3










17

5







17

15




-15

5

2







-15

3

2




-15

1




2

-4

2

2




2

-2

1




2










1

-2

1







1






















0
































































1710 = 10123




1710 = 1125




1710 = 1215


Ответ: 3, 5, 15.


Задание 20.
В системе счисления с некоторым основанием

число 1710 записывается как 101.

Укажите это основание.
Решение.
1710 = 101х

1710 = 1*х2 + 0*х1+ 1 х0

17=х2+1 → х2=16,→ x1,2=±4

x1= - 4 – не удовлетворяет смыслу задачи,

x2= 4 – основание искомой системы счисления.
Ответ: 4.
Задание 21.
В какой системе счисления 21 + 24 = 100?

Решение.

Пусть x — искомое основание системы счисления.


Тогда 100x = 1 · x2 + 0 · x1 + 0 · x0,    21x = 2 · x1 + 1 · x0,    24x = 2 · x1 + 4 · x0.
Таким образом, x2 = 2x + 2x + 5 или x2 - 4x - 5 = 0.
Положительным корнем этого квадратного уравнения является x = 5.

Ответ. Числа записаны в пятеричной системе счисления.




Искусство чтения состоит в том, чтобы знать, что пропустить. Филип Хамертон
ещё >>