Семинара «Симметрии: теоретические и методические аспекты», Стр. 9 15. Издательство «Астраханского Университета» - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
2 Законы сохранения, симметрии и их нарушения 7 Теорема Нётер. 1 152.02kb.
Доклады и участники семинара «Статистический анализ финансовых рынков» 1 27.82kb.
Хаммер М.,Чампи Дж 1 144.33kb.
Методические рекомендации по обобщению и систематизации зунов учащихся... 1 297.52kb.
Время быть счастливым 4 829.88kb.
Предотвращение дискриминации в трудовых отношениях: теоретические... 1 304.3kb.
А. А. Жданова л. М. Веккер психические процессы том 1 издательство... 31 6338.8kb.
Сведения о руководителе магистерской программы «Теоретические аспекты... 1 10.23kb.
Программа всероссийского научного семинара «ислам и межнациональные... 1 95.31kb.
Музеи университета Музей истории университета 1 14.99kb.
Теоретические и методические основы оценки ресурсов поверхностных... 3 698.35kb.
Аннотация рабочей программы дисциплины 1 30.47kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

Семинара «Симметрии: теоретические и методические аспекты», Стр. 9 15. Издательство - страница №1/1


Александр А.Зенкин, Антон А.Зенкин, «Зеркально-Симметричный» Путь к Решению Первой Проблемы Гильберта. – Труды Первого Международного семинара «Симметрии: теоретические и методические аспекты», Стр. 9 – 15. Издательство «Астраханского Университета». г. Астрахань, 15-17 сентября 2005 г.


«ЗЕРКАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЙ» ПУТЬ

К РЕШЕНИЮ ПЕРВОЙ ПРОБЛЕМЫ ГИЛЬБЕРТА.

Александр А.ЗЕНКИН, Антон А.ЗЕНКИН

Вычислительный Центр РАН, Россия, 117967 Москва ГСП-1, ул. Вавилова 40.

Тел.: 135-0440, Факс: (095) 135-6159, mailto: alexzen@com2com.ru

Abstract. - Cognitive Computer Graphics (CCG) aims to represent an essense of different scientific abstract domain in a visual graphic form in order to see and discover an essentially new knowledge of a conceptual kind [1].

In the paper, we use the CCG-approach for the cognitive visualization of some basic number systems in Cantor’s Set Theory. In particular we have visualized the famous Continuum Problem that is a problem on a Nature of a symmetrical connection between the deepest mathematical and philosophical conceptions of the "discreteness" and the "continuity". Then, basing on the CCG-image of Continuum Problem, we prove some new set-theoretical statements. The results show a real way to solve the First Hilbert Problem – the Continuum Problem.


АННОТАЦИЯ. - Когнитивная компьютерная графика (ККГ) предназначена для визуализации семантики научных абстракций с целью порождения принципиально нового знания концептуального уровня. В данной работе мы используем ККГ-подход для когнитивной визуализации некоторых числовых систем, используемых в теории множеств Г.Кантора. В частности мы визуализировали знаменитую Проблему Континуума, которая фактически представляет собой вопрос о природе симметрической связи между глубочайшими математическими и философскими концепциями "дискретности" и "непрерывности". Анализ ККГ-образа Проблемы Континуума позволил обнаружить визуально и затем строго доказать ряд принципиально новых теоретико-множественных утверждений. Эти результаты открывают реальный путь к решению Первой Проблемы Гильберта - знаменитой Проблемы Континуума.

В 1900, на Втором международном Конгрессе Математиков в Париже, Гильберт сформулировал свои знаменитые 23 открытые математические проблемы, которые были, по его мнению, наиболее важными для прогресса Математики в наступающем столетии. И Первой проблемой этого знаменитого списка была Гипотеза Континуума (КГ) Кантора. Кантор впервые анонсировал КГ в 1878 [1]. Смысл КГ состоит в следующем. Пусть X = [0,1] есть множество всех действительных чисел (или, что то же, всех правильных дробей, или, что то же, всех точек) отрезка [0,1], N - множество всех конечных натуральных чисел бесконечного ряда,


1,2,3, ..., n, ... , (*)
и запись |Y| обозначает количество элементов (или, что то же, мощность или кардинальное число) множества Y для любого бесконечного множества Y. Так что |N| = 0 есть, по определению, наименьшее бесконечное кардинальное число, и |X| = C - мощность континуума. Во второй половине XIX века Кантор создал теорию трансфинитных порядковых чисел (ординалов), построил ряд трансфинитных количественных чисел (кардиналов):

0 , 1 , 2 ,..., n , ..., (**)


где 1 есть наименьший несчетный кардинал, и сформулировал CH в следующей форме.
КОНТИНУУМ ГИПОТЕЗА КАНТОРА [1,2]: C = 1, где C = 20 > 0 .
K.Goedel (1939) и P.Cohen (1962) доказали независимость КГ в рамках аксиоматической теории множеств Цермело-Френкеля, но доказать независимость континуум-гипотезы в рамках аксиоматики Цермело-Френкеля и решить проблему континуума - весьма различные вещи. Ситуация лучше всего описана самим P.Cohen. Касаясь разрешимости CH посредством современных мета-математических и теоретико-множественных методов, Коэн пишет в самом начале своей известной книги ([2], стр. 13): "... Гипотеза Континуума - довольно драматический пример того, что можно назвать (с нашей сегодняшней точки зрения) абсолютно неразрешимым утверждением ... ". И заканчивает книгу словами ([2], стр. 282): "Таким образом, C больше, чем n, , , где  = , и так далее. С этой точки зрения, C рассматривается как невероятно большое множество, которое дано нам некоторой новой смелой аксиомой и приблизиться к которому посредством любого последовательного процесса построения - невозможно." Принимая во внимание такое весьма пессимистического мнение ведущего эксперта в этой области относительно разрешимости CH, мы будем использовать следующую более слабую, но намного более общую формулировку CH или, более точно, - Проблемы Континуума (ПК) в целом [3,4,6,8].
ФОРМУЛИРОВКА ПРОБЛЕМЫ КОНТИНУУМА. Имеется ли хотя бы одно множество целых чисел, скажем D, такое, что взаимно-однозначное соответствие между множествами, D и X, может быть реализовано, так что |D| = |X| = C?
Рассмотрим хорошо известное в математике двоичное дерево (Рис. 1), т.е. когнитивно-визуальное представление (образ) (Zenkin, 1991) множества X или, что то же, континуума: любой бесконечный путь,
V a1 a2 a3 ... an ..., где i1 [[ai =0] или [ai =1]],
этого дерева представляет единственное д.ч. xX, и любое д.ч. xX определяет единственный путь этого дерева.

Таким образом существует 1-1-соответствие между X и множеством, скажем P, бесконечных путей этого дерева.


Здесь уместно продемонстрировать следующую неожиданную связь между чисто математическим объектом, представленным на Рис. 1, и самыми древними холистическими концепциями Человечества относительно Системы Универсума.

Согласно современной математической теории графов, граф, изображенный на Рис. 1, действительно называют деревом, вершину V этого графа называют корнем дерева, и главное топологическое свойство этого графа состоит в том, что любые два бесконечные пути дерева не имеют никаких общих точек, кроме корневой вершины V.

В далеких 70-ых годах прошлого столетия, когда старший из авторов занимался исследованием Проблемы Континуума и весь его письменный стол был завален бумагами, рукописями, и картинами, подобными Рис. 1, книга о древней индийской философии оказалась на столе, абсолютно случайно. Эта книга была открыта на какой-то странице, случайно. Эта страница говорила:
"Его корни вверху, его ветви внизу - такого это древнее фиговое дерево. Воистину, оно есть Истина. Оно есть Брахман. Все миры зиждутся на нем...."

[Познание брахмана. Катха-Упанишада, II, 3].


Неужели уже древние Индийцы были хорошо знакомы с этим Деревом и понимали, что отрезок [0,1] является математической моделью непрерывности, которая в свою очередь является одним из самых важных, основных понятий математики, которая, согласно Гауссу, есть "Королева всех наук", с помощью которой современное человечество пытается постигнуть истинный смысл Универсума и своего места в Нем?! [3,9].


Теперь обозначим дерево на Рис. 1. через TR, повернем его против часовой стрелки в 90, и поместим зеркало AB в его корень в вершине V параллельно его уровням. Тогда, мы можем видеть визуальный результат такого преобразования на Рис. 2, который демонстрирует когнитивно-визуальный образ зеркально-симметричного (ЗС) 1-1-соответствия, скажем , между исходным деревом TR и его зеркальным образом – деревом TL. Математическая интерпретация уровней деревьев TR и TL также указана на рис. 2.

Рассмотрим действительное число, x  [0,1], записанное в двоичной системе, и ее эквивалентное представление в форме соответствующей бесконечной суммы:
x = 0.a1 a2 a3 ... an ...  ,  i1 [[ai =0] или [ai =1]]. (2)
В силу зеркально-симметричного соответствия , только два случая представляют интерес.

СЛУЧАЙ 1. Пусть x является рациональным числом с 0-хвостом, то есть в (2) ki>k [ai =0]. Обозначим множество таких чисел как Q0. В силу , это число x связано с целым числом , обладающим следующим свойством:
, так что - конечное натуральное число, (3)
и мы получаем |Q0| = |N| = 0.

СЛУЧАЙ 2. Пусть x есть иррациональное (или рациональное с ненулевым хвостом) число, то есть, в (2) ik>i [ak = 1]. Обозначим множество таких чисел через D. Тогда, в силу , это число x связано с целым числом , обладающим следующим свойством:
= S,

Согласно математическому анализу, бесконечная сумма S равна пределу бесконечной последовательности его частичных сумм,


s1,s2,s3,...,sn, ..., where sn =< , так что sn есть конечное натуральное число (5)
Очевидно, что (5) является бесконечной подпоследовательностью ряда (1). Основные свойства этих новых математических объектов даются следующими зеркально-симметричные (далее - ЗС) утверждениями [4,6,8].
ЗС-ТЕОРЕМА 1. Для всякого D порядковый тип трансфинитного целого числа равен наименьшему трансфинитному порядковому числу Кантора .
Хорошо известно, что проблема существования абстрактных математических объектов (онтологическая проблема) является одной из наиболее трудных в математике. Математики до сих пор дискутируют о том, что является вещественными числами, существуют ли вещественные числа и если да, то в каком смысле, и так далее. ЗС-отображение дает нам уникальную возможность получить абсолютно строгие онтологические, хотя и условные, выводы относительно существования таких абстрактных объектов.

'ЕСЛИ-ТО' ЗС-ТЕОРЕМА 1. ЕСЛИ бесконечный (1)–путь дерева TR достигает -уровня ТО -связанный бесконечный (4)-путь TL также достигает -уровня дерева TL.

СЛЕДСТВИЕ 1. Все бесконечные (4)-пути дерева TL являются актуальными и достигают -уровня.

'ЕСЛИ-ТО' ЗС-ТЕОРЕМА 2. ЕСЛИ геометрическая точка x отрезка [0,1] существует как индивидуальный объект, ТО, в силу , существует (и в том же самом смысле!) соответствующее трансфинитное целое число -типа.

СЛЕДСТВИЕ 1. Любая бесконечная подпоследовательность натурального ряда (*) является индивидуальным математическим объектом, который является трансфинитным порядковым 'целым числом' -типа Кантора.

СЛЕДСТВИЕ 2. В силу , Card{всех TL } = Card{всех xTR }, т.е. |D|=|X|= C.
Таким образом, новые трансфинитные математические объекты (4) имеют тот же самый онтологический статус, как обычные иррациональные числа (2). Здесь уместно напомнить слова известного пророчества Г.Кантора: “Трансфинитные целые числа сами являются, в некотором смысле, новыми иррациональностями. [...] Можно определенно сказать: трансфинитные числа стоят и падают вместе с конечными иррациональными числами.” [1]. Все эти условные ЗС-утверждения имеют силу только, и если только, все бесконечные множества являются, согласно Кантору, актуальными. Относительно строгого алгоритмического определения понятий потенциальной и актуальной бесконечности см. [FOM]-сообщение в http://www.cs.nyu.edu/pipermail/fom/2002-December/006121.html, а также в [5]. Художественно-когнитивный, динамический кинофильм "Цвето-музыкальные "черные дыры" проблемы континуума" будет продемонстрирован во время нашего доклада (см. [7], а также см. галереи художественных математических абстракций на сайте http://www.ccas.ru/alexzen/index.html).
ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ. Обозначим через  множество всех счетных ординалов. Согласно КГ Кантора, , || = 1. С другой стороны, множество всех трансфинитных -ординалов является собственным подмножеством множества . Следовательно, || = C  || = 1, и КГ Кантора имеет таким образом следующее решение: C  1. Однако, доказанный факт, что существует не единственное канторовское порядкового число , но несчетное множество различных ординалов -типа, означает, что вся теория трансфинитных ординалов Кантора содержательно неполна, основана на сомнительной семантике, и должна быть существенно модифицирована в целом. Следует подчеркнуть еще раз, что все условные онтологические ЗС-ТЕОРЕМЫ, доказанные выше, имеют силу, если, и только если, имеет силу очень ненаивная аксиома Кантора "все бесконечные множества является актуальными", [4,5,6,8].

Подход, основанный на когнитивной визуализации математических абстракций, несомненно является перспективным направлением в современном научном образовании [3,9].




ЛИТЕРАТУРА

1. Кантор Георг, " Труды по Теории Множеств". - Москва: НАУКА, 1985.

2. Коэн, Пауль Дж. Теория Множеств и Континуум Гипотеза. - Москва: МИР, 1969.

3. Зенкин А.А., Когнитивная компьютерная графика. - Москва: "Наука", 1991. См. Резюме в: http://www.ccas.ru/alexzen/index.html

4. Alexander Zenkin, Anton Zenkin, Ontology of Mirror Symmetry in Logic and Set Theory As a Way To Solve the First Hilbert's Problem. - Proceedings of the SYMMETRY FESTIVAL 2003 where Science Meets Art, 18-24 August, 2003, Budapest , Hungary.

5. Zenkin A.A., Scientific Intuition Of Genii Against Mytho-"Logic" Of Transfinite Cantor's Paradise. International Symposium - Philosophical Insights into Logic and Mathematics (PILM 2002): The History and Outcome of Alternative Semantics and Syntax, Nancy, France, 2002. Proceedings, pp. 141-148. http://www.philosophy.ru/library/math/sci_intuition.pdf

6. A.A.Zenkin, Cognitive (Semantic) Visualization Of The Continuum Problem And Mirror Symmetric Proofs In The Transfinite Numbers Theory. - The e-journal "VISUAL MATHEMATICS", Volume 1, No. 2, 1999. at the WEB-Sites:

http://members.tripod.com/vismath1/zen/index.html

7. Alexander A.Zenkin, Anton A.Zenkin, Presentation "The Unity of the Left-Hemispheric, Rational, Abstract Thinking and the Right-Hemispheric, Intuitive, Visual One. Intellectual Aesthetics of Mathematical Abstractions". – The 5th International Congress & Exhibition of the International Society for the Interdisciplinary Study of Symmetry. Sydney, 8-14 July, 2001. Intersections of Art and Science.



http://alexzen.by.ru/gallery2/Gallery-2.htm

http://alexzen.by.ru/gallery/Gallery.html

http://www.isis-s.unsw.edu.au/interact/gallery/image_files/zenkin/a_zenkin.html

8. A.A.Zenkin, Cognitive Visualization of the Continuum Problem and of the Hyper-Real Numbers Theory. - International Conference "Analyse et Logique", UMH, Mons, Belgia, 25-29 August, 1997. Abstarcts, pp. 93-94 (1997)

9. Alexander A.Zenkin, Anton A.Zenkin, "Cognitive Reality World Of Natural Numbers: Education Via Discoveries". - International Conference "Creativity in Mathematics Education and the Education of Gifted Students". - University of Latvia, Riga, Latvia, July, 2002. Proceedings, pp. 113-115.
См. также

A.A.Zenkin, Scientific Intuition of Genii Against Mytho-‘Logic’ of Cantor’s Transfinite ‘Paradise’. - Philosophia Scientia, 9 (2), 145 – 163 (2005). Published by Laboratory of Philosophy and History of Science - Archives H. Poincarй

At http://alexzen.by.ru/papers/2005/Zenkin-PhilSc-9-2-2005.pdf

A.A.Zenkin, Logic of Actual Infinity and G.Cantor’s Diagonal Proof of the Uncountability of the Continuum. - The Review of Modern Logic, Vol. 9, Number 3&4, 27-82 (2004). http://alexzen.by.ru/papers/2005/Zenkin-Review%20of%20ML-2004.pdf











Если один кандидат получает бесплатное время на телевидении, его оппонент требует столько же времени, чтобы все отрицать.
ещё >>