Решение задач с помощью диофантовых уравнений первой степени - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Решение задач с помощью квадратных уравнений 1 111.14kb.
Отчет по лр№1: «Решение систем линейных алгебраических уравнений... 1 62.18kb.
Уравнения с двумя неизвестными в целых числах 1 145.95kb.
Решение уравнений 1 65.62kb.
Тематическое планирование по алгебре 7 класс ( при 3 уроках в неделю 1 85.6kb.
Разработка урока «Решение задач с помощью уравнений по теме 1 82.38kb.
Решение задач по теме «Сложение и вычитание дробей с одинаковыми... 1 66.3kb.
Решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений... 4 559.7kb.
Решение уравнений n-ой степени с параметром 1 35.75kb.
Урок обобщения и систематизации знаний представляет собой разработку... 1 113.48kb.
Алгоритмы решения задач с помощью систем уравнений Объяснительная... 1 88.87kb.
«Решение линейных уравнений» 1 69.76kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

Решение задач с помощью диофантовых уравнений первой степени - страница №1/1

«Решение задач с помощью диофантовых уравнений»

Юрченко А.Ю.

8 класс, средняя школа № 11 г.Шахтинск

Власкова Е.А.
Решение задач с помощью диофантовых уравнений первой степени.

  1. Введение.

Решая различные задачи с помощью уравнений возможны два основных направления для размышлений: первое – увеличение степени уравнения, второе – увеличение количества неизвестных. Вспомним старинную задачу о фазанах и кроликах «Некто подошёл к клетке, в которой сидели фазаны и кролики. Сначала он сосчитал головы, их оказалось 15. Потом он подсчитал ноги, их было 42. Сколько кроликов и фазанов было в клетке?»

Если х – число кроликов, а у – число фазанов, тогда по условию задачи получаем систему уравнений : х + у=15,

4х +2у=42.

Решив систему получаем: х = 6, у = 9.Из уравнения : х+у=15, следует, что переменная х может принимать любые значения и тоже любые значения может принимать переменная у. Но число кроликов и фазанов не может быть ни дробным, ни отрицательным! В условии задачи это подразумевается, но в записи х+у=15 об этом ничего не сказано. А между тем, зная это дополнительное условие, иногда можно обойтись и без второго уравнения, получив вполне удовлетворяющие нас результаты из одного уравнения с двумя переменными.

Задачи, приводимые к уравнениям в которых количество неизвестных больше чем уравнений, очень много. И многие из них имеют практическое значение. Соответствующие уравнения могут иметь неизвестные не только в первой степени, но и в любой другой. Да и вопросы, вытекающие из дополнительных условий, могут оказаться самыми разнообразными. Ещё Диофант рассматривал уравнения, которые сегодня мы записали бы, например, так:

ах + ву = с;

а, в и с в этом уравнении являются целыми числами, и ответ должен быть дан только в целых числах, другими словами, это уравнение полагалось «решить в целых числах».

Такие уравнения теперь называют «диофантовыми». Раздел математики, изучающий их, называют «диофантовым анализом». Созданы специальные методы решения диофантовых ( их ещё называют неопределёнными) уравнений.

Данная работа посвящена решению задач приводимые к диофантовым уравнениям первой степени и изучению методов решения этих уравнений.

2.Методы решения диофантовых уравнений первой степени.

2.1 Метод рассеивания.

Общий метод для решения в целых числах неопределённых ( диофантовых) уравнений первой степени с целыми коэффициентами называется методом рассеивания (в смысле размельчения). Рассмотрим этот метод при решении следующей задачи.

Задача. «Найти два целых числа, зная, что разность произведений первого на 19 и второго на 8 равна 13».

В задаче требуется найти все целые решения уравнения

19х – 8у = 13. (1)

Выражая у – неизвестное с наименьшим по абсолютной величине коэффициентом через х, получим:

У = . (2)

Нужно узнать, при каких целых х соответствующее значение у являются тоже целыми числами. Перепишем уравнение (2) следующим образом:

У = 2х +  (3)

Из (3) следует, что у при целых х принимает целое значение только в том случае, если выражение  является целым числом, скажем у1. Полагая



у1, (4)

вопрос сводим к решению в целых числах уравнения (4) с двумя неизвестными х и у1; его можно записать так:

3х-8у1=13. (5)

Это уравнение имеет по сравнению с первоначальным (1) то преимущество, что 3 – наименьшая из абсолютных величин коэффициентов при неизвестных – меньше, чем в (1), т. е. 8. Это было достигнуто благодаря тому, что коэффициент при х (19) был заменен остатком от деления на 8.

Продолжая тем же способом, мы получим из (5):

Х= = 2у1 + . (6)

Итак неизвестное х при целом у1 только тогда принимает целые значения, когда  есть целое число, скажем у2:

 = у2 , (7)

или


2 – 2у1 = 13. (8)

Далее,


У1 =  = у2 + . (9)

Полагая


 = у3, (10)

Получим уравнение

У2 – 2у3 = 13. (11)

Это самое простое из всех рассмотренных неопределённых уравнений, так как один из коэффициентов равен 1.

Из (11) получаем:

У2 = 2у3 + 13. (12)

Отсюда видно, что у2 принимает целые значения при любых целых значениях у3. Из равенств (6), (9), (12), (3) путём последовательных подстановок можно найти следующие выражения для неизвестных х и у уравнении (1):

Х = 2у1 + у2 = 2(у2 + у3) + у2 = 3у2 + 2у3 = 3(2у3 + 13) + 2у3 = 8у3 + 39;

У = 2х +у1 = 2(8у3 + 39) + у2 + у3 = 19у3 + 91.

Таким образом, формулы

Х = 8у3 + 39,

У = 19у3 + 91

При у3 = 0,±1,±2,±3... дают все целые решения уравнения (1). В следующей таблице приведены примеры таких решений.

У3

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

х

7

15

23

31

39

47

55

63

71

у

15

34

53

72

91

110

129

148

167

2.2 Решение диофантовых уравнений первой степени по формулам.

Рассмотрим уравнение ах + ву = с, где а, в, с – произвольные целые числа, причём а,в ≠ 0. Поставим задачу нахождения всех целочисленных решений этого уравнения. В этом случае оно называется диофантовым. Пусть d = (а,в). Ясно, что если уравнение имеет решение, то d делит с. Пусть а =а1d, в = в1d, с = с1d. Понятно, что уравнение а1х + в1у = с1 и ах + ву = с равносильны. Значит можно считать, что в уравнении ах + ву = с коэффициенты а и в взаимно просты.

Опишем множество решений диофантова уравнения.

Терема. Пусть (х00) - некоторые решения диофантова уравнения ах + ву = с, причём а, в взаимно просты. Если (х;у) - произвольное решение этого уравнения, то

Х = х0 + вt,

У = у0 – аt, где t –целые.

Доказательство. Подставляя выражения х0 + вt, у0 + аt вместо х и у в уравнение получим:

а(х0 + вt) + в(у0 – аt) = ах0 +авt + ву0 – ваt = ах0 + ву0 = с. Таким образом, числа

Х0 + вt, у0 – аt образуют решение уравнения при любом целом t.

Пусть х,у – произвольное решении диофантова уравнения ах + ву = с. Кроме того ах0 + ву0 = с. Тогда ах + ву = ах0 + ву0, т.е. ах – ах0 + ву – ву0 = 0 , тогда а(х – х0) + в( у – у0) = 0. Поскольку а и в взаимно просты, то видно, что в делит х – х0 т.е. х – х0 = вt, теперь имеем: авt + в( у –у0) = с, откуда у- у0 = -аt т. е. имеем, что любое решение диофантова уравнения имеет вид:

Х = х0 + вt,

У = у0 – аt, где (вt; - аt) – общее решение линейного однородного диофантова уравнения; ( Х00) – частное решение линейного неоднородного диофантова уравнения.

Таким образом решение линейного диофантова уравнения есть сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и некоторого ( любого ) частного решения неоднородного уравнения.

Как найти частное решение (х0; у0)? Договоримся, что НОД (а, в) = 1. Это означает, что найдутся такие u и v ⊂ Z, что аu +вv = 1, u, v находим с помощью алгоритма Евклида. Умножим теперь равенство аu + вv = 1 на с и получим:

а(uс) + в(vс) = с т.е. х0 = uс, у0 = vс.

Для сравнения методов покажем решение уравнения из выше предложенной задачи.

Решить уравнение: 19х – 8у = 13.

Решение. Найдём частное решение (х00). Для этого покажем линейное разложение 1, которая является НОД (19;8) = 1. Для нахождения НОД включим алгоритм Евклида.

19 = 8*2 + 3

8 = 3*2 + 2

3 = 2*1 + 1

2 = 2*1, тогда линейное разложение 1:

1 = 3 – 2*1 = 19 – 8*2 – ( 8 – 3*2) = 19 – 8*2 – 8 + 3*2 = 19 – 8*2 + ( 19 – 8*2)*2 = 19 -3*8 + 19*2 -8*4 = 19*3 – 8*7, тогда u= 3; v = 7. Получили:

Х0 = uс = 13*3 = 39;

У0 = vс = 13*7 = 91.

Таким образом решением уравнения 19х – 8у = 13 является:

Х = 39 – 8t:

У = 91 – 19t, и при целом t получаем все целые решения уравнения.

t

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

х

71

63

55

47

39

31

23

15

7

у

167

148

129

110

91

72

53

34

15

3.Примеры решений диофантовых уравнений первой степени

3.1. Решить уравнение: 2х + 7у = 20.

Решение. Включим алгоритм Евклида:

7 = 3*2 + 1

2 = 2*1. НОД (2;7) = 1 и линейное разложение 1:

1 = 7 – 2* 3 = 7*1 + 2*(-3), т.е. u= -3: v = 1. Тогда частное решение: х0 = uс = -3*20 = -60;

У0 = 1*20 = 20, общее решение исходного уравнения:

Х = -60 + 7t,

У = 20 -2t, при целом t получаем все целые решения уравнения.

3.2 .Решить уравнение ; 6х – 27у = 21.

Решение. Упростим уравнение.

Разделив обе части на 3, получим: 2х – 9у = 7.

Включим алгоритм Евклида:

9 = 2*4 + 1

4 = 4*1 т.е. НОД (2;9) = 1 и линейное разложение 1:

1 =9 – 4*2 = 2*(-4) – 9*(-1); u = -4; v = -1. Тогда частное решение: х0 = -28; у0 = -7.

Общее решение уравнения 6х – 27у = 21

Х = -28 – 9t,

У = -7 – 2t, прицелом t получаем все целые решения исходного уравнения.

3.3. Решить уравнение: 11х + 99у = 41, т.к НОД (11;99) = 11, а 11 не является делителем числа41, то уравнение не имеет решения.

4. Решение задач с помощью диофантовых уравнений первой степени.

Задачи, предложенные в работе можно разбить на три группы:



  1. Практические задачи.

  2. Задачи на нахождение чисел.

  3. Задачи – фокусы.

4.1 Практические задачи.

4.11. Вы - Хроном ,придуманный Хулио Картосаром в книжке « Из жизни хронов и фамов». Вам нужно расплатиться в магазине за синюю пожарную кишку. Ибо красная в хозяйстве уже есть. У вас в кармане монеты достоинством только 7 и 12 копеек, а вам надо уплатить 43 копейки. Как это сделать?

Решим уравнение: 7х + 12у = 43.

Включим алгоритм Евклида

12 = 7 * 1 + 5

7 = 5 * 1 + 2

5 = 2 * 2 + 1

2 = 1*2


Значит наибольший общий делитель чисел 7 и 12 равен 1, а его линейное выражение таково:

1 = 5 -2 *2 = 5 –(7 * 2) *2 = ( 12 – 7) – (7 – (12 – 7) * 2) = 12 * 3 + 7 *(-5) т.е.

u = - 5, v = 3.

Частное решение:

х0 = uс = (-5) * 43 = -215,

у0 = vс = 3 * 43 = 129.

Итак надо отобрать у кассира 215 семикопеечных монет и дать ему 129 двенадцатикопеечных. Однако процедуру можно упростить, если записать общее решение неоднородного диофантова уравнения:

Х = -215 – 12t

У = 129 + 7t

И видно, что при t = -18, получаем вполне разумные х = 1, у = 3 поэтому дубасить кассира необязательно.

4.12 «Некто покупает в магазине вещь стоимостью в 19р. У него имеются лишь 15 трёхрублёвок, у кассира же – лишь 20 пятирублёвок. Можно ли расплатиться и как?»

Задача сводится к решению в целых положительных числах диофантова уравнения:

3х -5у = 19.

Решение.


Х =  = 6 + у +  = 6 +у + у1.

Далее,


1 – 2у = 1,

У = 1 +  = у1 + у2,

У1 – 2у2 = 1, у1 = 2у2 + 1,

откуда


х = 5у2 + 8, у = 3у2 + 1.

Т.к. х и у положительные и учитывая условие задачи, легко установить, что

0≤ у2<2,

Т.е. у2 может принимать только два значения: 0; 1. Отсюда вытекает два возможных решения:





х

8

13

у

1

4

4.13» Можно ли отвесить 28г некоторого вещества на чашечных весах, имея только гири весом в 3г и семь гирь весом в 5г?»

Решим диофантово уравнение:

3х + 5у = 28.

Имеем:


Х =  = 9 – у +  = 9 – 2у +  ,  = у1, у = 3у1 – 1,

Х = 9 -2(3у1 – 1) + у1 = 11 -5у1.

Итак,

Х = 11 -5у1,



У = 3у1 -1.

Из условия задачи вытекает, что у1 нельзя давать отрицательные значения ( это приведёт к отрицательному у). Далее, должно быть у1< 3, для того чтобы х не был отрицательным. Значит,

0≤у1≤ 2.

Однако у1 = 0 и у1 = 1 противоречат условию задачи х ≤ 4. Таким образом. Возможно только у1 = 2. При х = 1, у = 5 - единственное решение.

4.14. Вот отрывок свидетельских показаний: «Когда я был в магазине, к кассиру подошёл человек и уплатил за партию кресел, которую он купил. Я видел, что он уплатил пятёрками не менее 200рублей и что кассир дал ему сдачи 1 рубль. Кресла он погрузил на машину – думаю, что их было не более двух десятков. Потом я узнал, что каждое кресло стоило 13 рублей» Можно ли по этим данным восстановить сколько кресел было куплено?

Задача сводится к неопределённому уравнению 5х – 13у = 1. Нетрудно подметить частное решение: х0 = 8, у0 = 3. Поэтому общее решение таково:



Х = 8 + 13t, у = 3 + 5t ( t - целое число). По условию 5х = 5(8 + 13t)> 200 и

У = 3 + 5t ≤ 20, откуда 2 ≤ t≤ 3 , т.е. t = 3, у = 18.

4.15. Однажды встретились четыре любителя математики. Во время их разговора один, между прочим, сказал: «Я ещё помню, как разделить окружность на 5 равных частей». «А вот я знаю, как разделить окружность на 17 равных частей,» - заметил второй. «Я не помню того, что ты помнишь,» - сказал третий первому – «и не знаю того, что ты знаешь,» - сказал он второму. «Но если вы оба сказали правду, то я сумею предложить способ, как разбить окружность на 85 равных частей. « Ну, если они оба сказали правду»,- заметил четвёртый, - «то я сумею предложить бесконечно много способов. Сумеете ли вы сделать то, что обещал третий и четвёртый?

Допустим, что уже построили  окружности и  окружности. Подберём затем целые числа х и у так, чтобы

х – у = . (1)

Иначе говоря, 17х – 5у = 1. Частным решением является, например, пара чисел:

х0 = 3 и у0 = 10. Действительно,

17*3 – 5*10 = 1. (2)

Из (1) и (2) видно, что 17(х-3) – 5(у- 10) = 0, откуда

 =  = t (t - целое число).

Давая t –произвольные целочисленные значения, получим бесконечно много способов для решения задачи.

4.16. Три школьника – Алик. Боря и Володя – Купили книги. Среди купленных книг имеются книги четырёх наименований стоимостью в 50, 20, 10, 5 копеек. Каждый школьник уплатил 2 рубля и купил 20 книг четырёх различных наименований. Алик купил больше книг стоимостью по 10 копеек, чем Боря, но меньше, чем Володя. Сколько книг каждого наименования купил каждый школьник?

Решение. Пусть какой-либо из трёх школьников купил х - книг по 50 коп., у - по20 коп., z – по 10 коп., и u – по 5 коп. Тогда 5х + 2у + z +  u = 20; х + у + z + u = 20. Отсюда u = 8х + 2у, (1)

z = 20 – 9у – 3у. (2)

Так как ученик купил книги четырёх различных наименований, то х≥ 1, у≥1, z≥1, u≥1. Из (2) ясно, что х≤ 1. Значит х = 1, u = 8 + 2у, z = 11 – 3у. Ясно, что у≤ 3. Результат рассмотрим в виде таблицы






х

у

z

u

1-я возможность

1

1

8

10

2-я возможность

1

2

5

12

3-я возможность

1

3

2

14

По возможным значениям для z (8,5,2) заключаем, что Алик воспользовался второй возможностью, Боря 3-й, а Володя – первой.

4.17.На складе имеются гвозди в ящиках по 16,17 и 40 кг. Может ли кладовщик выдать 100кг гвоздей, не вскрывая ящики?

Попробуем решить задачу, составив уравнения обычным путём.

Итак, допустим, что задача решена: ящиков по 16кг будет х штук, по 17кг – у штук, по 40кг – z штук. Всего выдано 100кг, отсюда уравнение:

16х + 17у + 40z = 100.

И что делать с этим уравнением - совершенно непонятно.

Но можно рассуждать и так. Ящиков по 40кг не может быть больше двух, ибо 40*3=120, это больше чем надо. И два тоже быть не может, ибо 40*2=80, 100-80=20, а 20кг можно набрать только вскрыв хотя бы один ящик.

Может быть, взять один ящик по 40кг. А оставшиеся набрать, комбинируя ящики по 16 и 17кг: если взять один ящик 17кг, то останется 43кг и набрать их ящиками по 16кг не возможно; если взять два ящика по 17кг. То 60 -17*2 = 26 и целых ящиков по 16кг не получится; если же взять три ящика по 17кг, то останется 9кг, которые придётся выдавать, вскрыв какой-нибудь ящик. Получается, что ящики по 40кг нам вовсе не нужны. Если задача имеет решение, то комбинировать придётся ящики только по 16 и 17кг. Значит, получаем уравнение:

16х +17у = 100.

Решим полученное уравнение. НОД(16;17) = 1. Для линейного разложения 1 включим алгоритм Евклида:

17 = 16*1 +1

16 = 16*1, тогда 1 = 17 – 16*1 = 17*1 + 16* (-1), т.е. u = -1; v = 1. Тогда х0 = -100; v = 100.Тогда:

Х = -100 + 17t

У =100 - 16t Т.к х и у положительные, то единственное решение уравнения , следовательно и задачи при t =6, является пара чисел х = 2 и у= 4 т.е. 2 ящика по 16кг и 4 ящика по 17 кг.

4.18. Задача Алькуина. «Разделить сто мер пшеницы между 100 лицами так, чтобы каждый мужчина получил 3, каждая женщина 2, а каждое дитя  меры. Сколько мужчин, женщин и детей?»

Решение. Пусть х- мужчин, у-женщин и z-детей. Получим уравнения: 3х + 2у +z = 100 \*2, тогда

6х + 4у + z = 200 (1), и

х + у + z = 100 (2). Из (2): z = 100 – х – у (3). (3) подставим в (1): 6х +4у+100 – х – у = 200, имеем

5х + 3у = 100. Решим полученное уравнение. НОД(5;3) = 1. Чтобы записать линейное разложение 1 включим алгоритм Евклида:

5 +3*1 + 2

3 = 2*1 + 1

2 + 2*1, тогда 1+ 3 – 2+ 3 – (5 – 3) = 3 – 5 + 3 = 3*2 – 5 = 3*2 + 5*(-1) и u = -1, v =2, следовательно

Х0 = -100; у0 = 200. Получили решение уравнения

Х = -100 +3t

У=200 – 5t. Учитывая, что х, у и z – натуральные числа, то задача имеет 6 решений.

t

34

35

36

37

38

39

х

2

5

8

11

14

17

у

30

25

20

15

10

5

z

68

70

72

74

76

78

4.2. Задачи на нахождение чисел.

4.21. «Было написано трёхзначное число, затем из его цифр были составлены всевозможные двузначные числа ( с неповторяющимися цифрами ) и найдена их сумма. Оказалось, что она вдвое больше исходного трёхзначного числа. Какое же это было трёхзначное число?»

По условию задачи имеем уравнение:

2хуz =ху + ух + хz + zх +уz+ zу, где 1≤х≤9

0≤у≤9

0≤z≤9


( 100х + 10у + z)*2 = 10х+у =10у +х +10х + z + 10z + х +10у + z + 10z + у.

Выполнив алгебраические преобразования, получим линейное диофантово уравнение с тремя неизвестными:

89х – у – 10z = 0;

У = 89х – 10z.

Легко констатировать, что единственным решением является

х = 1, у = 9, z = 8.

Искомое число равно 198.

4.22. Задача Леонардо Фибоначчи (12 век). Некто купил 30 птиц за 30 монет (одного достоинства ). За каждых три воробья уплачена одна монета, за каждых 2 снегиря – тоже одна монета, а за каждого голубя – по 2 монеты. Сколько было птиц каждого вида?

Решение. Пусть х – количество воробьёв, у – снегирей, z – голубей. По условию задачи составим два уравнения: х + у + z = 30 (1),  +  +2z = 30 (2). ( 2) умножим на 6 и (2) – (1), получим х = 30 – у –z (3), х + 2у + 11z = 150 (4). В (4) вместо х подставим (3). Имеем 30 – у – z + 2у + 11z = 150 (5), преобразуем (5), тогда у + 10z = 120, у = 120 – 10z, а х,у,z - целые числа и

0

4.23. К трёхзначному числу прибавили 7, и оказалось, что сумма кратна 7. Когда к полученной сумме прибавили 8, то оказалось, что результат кратен 8, а когда прибавили 9, то сумма разделилась на 9. Какое число задумано, если известно, что все его цифры различны.

Решение. Обозначим искомое число через х.. Тогда х + 7 = 7у (1), 7у + 8 = 8z (2),

8z + 9 = 9t (3), где у, z, t – целые числа. Решая уравнение (2), получим z = 1 + 7v, у = 8v. Аналогично из уравнения (3) t = 1 + 8u, z = 9u ( u, v – целые ). v,u связаны между собой. Это следует из равенства z = 1 + 7v и z=9u. Решая уравнение 1 + 7v = 9u, найдём

u = 7k – 3, v = 9k – 4 ( k – любое целое ). Тогда у = 8( 9k – 4), а х = 7( 72k – 33 ). Трёхзначные числа получим при k = 1(273) и k = 2( 777 ). Подходит нам очевидно 273.

4.24. Задумали трёхзначное число. Когда к нему прибавили 7, то оно разделилось нацело на 7. К результату такого деления прибавили 8, и тогда полученное число разделилось на 8 без остатка. После этого деления к полученному частному прибавили 9, и тогда результат разделился нацело на 9, Задуманное число оканчивается на 5, Какое число задумали?

Решение. Пусть х задуманное число, тогда х + 7 = 7у (1); 7у : 7 = у, у + 8 = 8z (2), 8z : 8 = z,

z + 9 =9а (3), Из (2) получим у = 8z – 8 (4). Из (3) имеем : z = 9а – 9 (5). (5) подставим в (4),тогда: у = 8(9а – 9) – 8, после преобразования: х = 504а – 567, т. к х>0, то очевидно, при а = 3, х = 945.

4.3 Задачи- фокусы.

4.31. «Вот один забавный фокус с угадыванием чисел. На спинках трёх стульев приклеены номера 3, 5, 8. Ведущий предлагает трём школьникам А., Б., В. подойти к стульям. Сам он отворачивается от них и предлагает им сесть на эти стулья (он не видит, кто на какой стул сел). Затем он говорит : « А., умножь номер твоего стула на 2; Б., припиши к номеру твоего стула справа 0; В., умножь номер своего стула на 11. Полученные три числа сложите. Сколько получилось?» ( пусть получилось 141)

Ведущий угадывает: « А. сел на стул № 3, Б. – на стул № 8, В. – на стул № 5».

Этот фокус можно разгадать привлекая неопределенные уравнения.

Пусть ученик А сел на стул номером х, Б – на стул с номером у, а В – на стул с номером z. Тогда

2х + 10у + 11z = S, (1)

Где S – сумма, которую ребята сообщают ведущему ( в нашем примере S = 141).

Кроме того, сумма всех трёх номеров равна 3 + 5 + 8 = 16, т.е.

х + у + z = 16. (2)

Из (2): z =16 –х – у (3), (3) подставим в (1), получим:

2х + 10у + 11( 16 – х –у ) = S,

То есть

9х + у = 176 – S,



Х + = . (4)

Так как 0<у<9, то из (4) следует, что х – частное от деления числа 176 – S на 9, а у – остаток. Если S = 141, то 176 – S = 35;  = 3 +  ; х = 3, у = 8.

4.32. Три студента Александр, Борис и Владимир вместе со своими младшими сёстрами Леной, Машей и Олей зашли в книжный магазин. Александр купил 1 книгу, Борис – 2, Владимир – 3. В другом отделе магазина они вновь купили книги: брат Лены – ещё столько, сколько купил раньше; брат Маши вдвое больше, чем прежде, брат Оли – вчетверо больше, чем прежде. Всего они купили в магазине 23 книги. Кто чей брат?

Решение. Пусть в первом отделе х книг купил брат Лены, у – брат Маши, z – брат Оли. Тогда во втором отделе брат Лены купил х книг, брат Маши - 2у, брат Оли - 4z. Составим уравнения:

Х +2у + 4z = 17 (1), х + у + z = 6 (2). Из (1) вычтем (2), получим у - 3z = 11, у = 11 – 3z, т. к.

1≤z≤3, то очевидно: z = 3, у =2, х = 1. По условию задачи имеем: 1 книгу купил Александр, то он брат Лены, 2 книги купил Борис, то он брат Маши и 3 книги купил Владимир – он брат Оли.

Есть задачи на отгадывание чисел и дат рождения их решение основывается на диофантовых уравнениях. Так , например. Чтобы отгадать дату рождения (месяц и число) собеседника. Достаточно узнать у него сумму, получаемую от сложения двух произведений: числа даты (х) на 12 и номер месяца (у) на 31.

4.33. « Пусть сумма произведений, о которых идёт речь. Равна 330. Найти дату рождения».

Решим неопределённое уравнение

12х + 31у = 330

С помощью метода рассеивания получим

Х = 43 – 31 у4,

У = 6 -12у4.

Ввиду ограничений 0<х≤31,

0<у≤12

Легко констатировать, что единственным решением является



У4 = 1, х = 12, у= 6.

Итак, дата рождения: 12-е число 6-го месяца, т.е. 12июня.

5. Заключение.

Алгебраические задачи на составление уравнений, в которых количество неизвестных превышали количества уравнений, обычно, вызывали трудности и в большенстве случаев не поддавались решению.

Изученные методы решения диофантовых уравнений первой степени , рассмотренные в работе, позволили значительно облегчить процесс отыскания неизвестных в задачах приводимые к диофантовым уравнениям. Кроме этого работа над этой темой углубила и расширила запас знаний по теории решения алгебраических уравнений, что позволило, в некоторых задачах найти значения неизвестных не применяя специальные приёмы и методы.

Использованная литература:



  1. Глейзер Г.И. « История математики в школе.»

  2. Пичурин Л.Ф. «за страницами учебника алгебры.»

  3. Балк М.Б, Балк Г.Д. «Математика после уроков.»








Человек есть животное, производящее орудия. Бенджамин Франклин
ещё >>