Рабочая учебная программа по дисциплине «Алгебра и геометрия» для ооп по направлению «010400 Прикладная математика и информатика» - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Рабочая учебная программа по дисциплине «Архитектура компьютера»... 1 80.8kb.
Программа дисциплины для направления 010400. 62 «Прикладная математика... 1 243.61kb.
Программа дисциплины Операционная система unix для направления 010400. 1 201.94kb.
Программа дисциплины Современная прикладная алгебра для направления... 1 183.4kb.
Учебная программа для специальности: ( рабочий вариант) 1-31 03 03... 1 196.37kb.
Программа дисциплины Безопасность информационных сетей для направления... 1 210.13kb.
Программа дисциплины «Социология» для направления 010400. 62 "Прикладная... 1 291.63kb.
«Компьютерная алгебра» направления 010400. 62 «Прикладная математика... 1 29.59kb.
Программа дисциплины «История» для направления 231300. 62 и 230700. 5 676.37kb.
Программа дисциплины Комплексный анализ  для направления 010400. 1 140.73kb.
Рабочая программа учебной дисциплины Для подготовки бакалавров направления... 1 367.94kb.
Аддитивные генераторы 1 32.53kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

Рабочая учебная программа по дисциплине «Алгебра и геометрия» для ооп по направлению - страница №1/1



Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Уральский государственный педагогический университет»


Математический факультет

Кафедра алгебры и теории чисел



РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА

По дисциплине «Алгебра и геометрия»

для ООП по направлению «010400 – Прикладная математика и информатика»,

по циклу Б.2 – математический и естественнонаучный цикл,

базовая часть

Очная форма обучения

Курс – 1


Семестр – 1

Объём в часах всего – 216

в т. ч.: лекции – 40

практические занятия – 68

самостоятельная работа – 108

Экзамен – 1 семестры




Екатеринбург 2011

Рабочая учебная программа по дисциплине «Алгебра и геометрия» ГОУ ВПО «Уральский государственный педагогический университет» Екатеринбург, 2011. – 21 с.

Составитель:

Ершова Т.И., к.ф.-м.н., доцент кафедры алгебры и теории чисел, математический факультет УрГПУ

Рабочая учебная программа обсуждена на заседании кафедры алгебры и теории чисел УрГПУ (Протокол № 9 от 05.05.2011).


Зав. кафедрой С.С. Коробков
Согласовано с методической комиссией математического факультета
Председатель методической комиссии И.Н. Семенова
Декан математического факультета В.П. Толстопятов

  1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Программа курса «Алгебра и геометрия» состоит из ряда разделов, таких как «Комплексные числа», «Матрицы и определители», «Системы линейных уравнений», «Линейные векторные пространства», «Теория многочленов от одной переменной», «Алгебраические системы». Эта программа отличается достаточно высоким уровнем абстракции. Поэтому в целях лучшего усвоения студентами наиболее трудных разделов, при их изучении используется принцип постепенности. При этом изучение наиболее сложных понятий курса проводится поэтапно с постепенным нарастанием глубины проникновения в их сущность. Так знакомство с линейными векторными пространствами начинается с изучения достаточно прозрачной теории арифметических пространств (2 семестр). Более глубокие вопросы теории векторных пространств изучаются в 4-ом семестре. Аналогично, с понятиями группы, кольца, поля студенты сталкиваются на 1-ом курсе (2-й семестр), в то время как изучение более глубоких понятий теории групп проводится в 4-ом семестре.

Рабочая учебная программа дисциплины «Алгебра и геометрия» соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта третьего поколения (ФГОС-3) подготовки бакалавров по направлению «010400 – Прикладная математика и информатика».


    1. Цели и задачи дисциплины

Цели изучения дисциплины:

  • познакомить студентов с кругом задач классической и современной алгебры;

  • прояснить роль алгебраических понятий во взаимосвязи с другими математическими дисциплинами;

  • сформировать у студентов элементы математической культуры, которые смогут обеспечить ясное понимание смысла и значения разделов математики, изучаемых в школе;

Задачи изучения дисциплины:

  • научить студентов проявлять самостоятельность и творческий подход в овладении математическими дисциплинами;

  • научить студентов оперировать с классическими понятиями алгебры: решать алгебраические уравнения и системы уравнений, решать задачи, связанные с линейной зависимостью и линейной независимостью системы векторов, задачи, связанные с приводимостью и неприводимостью многочленов над различными числовыми полями;

  • на примере темы «Группы. Кольца. Поля» познакомить студентов с разделами современной алгебры и рассмотреть некоторые задачи из этих разделов.

1.2. Место дисциплины в структуре ПрОП

Дисциплина «Алгебра» изучается в рамках вариативной части профессионального цикла. Ее изучение основывается на таких математических понятиях, как множество, многочлен, функция, рассматриваемых в школьном курсе математики, и продолжает развитие идей и методов данного курса. Поэтому для успешного усвоения курса «Алгебра» необходимо знание основных формул, изучаемых в школьной алгебре, свойств элементарных функций, умение решать квадратные уравнения, знание основных значений тригонометрических функций.

Курс «Алгебра» имеет связи с различными математическими дисциплинами. Так раздел «Линейные векторные пространства» тесно связан с курсом «Геометрия», который дает для данного раздела многочисленные примеры. В свою очередь геометрия активно использует понятия линейно-зависимой и линейно-независимой системы векторов, которые изучаются в курсе алгебры. Умение оперировать комплексными числами и знание тригонометрической формы комплексного числа необходимы для изучения курса «Теория функций комплексного переменного». Понятие группы, кольца, поля, а также понятия гомоморфизма и изоморфизма алгебраических систем активно используются в курсе «Числовые системы».

1.3. Требования к результатам освоения дисциплины
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование профессиональной компетенции, определенной вузом (ПКВ-1):

способен демонстрировать, применять, критически оценивать и пополнять математические знания,

а также части общепрофессиональной компетенции, определенной вузом (ОПКВ-1):



готов организовывать различные виды учебно-исследовательской и проектной деятельности обучающихся.
1.4. Объем дисциплины и виды учебной работы
Согласно учебному плану курс «Алгебра и геометрия» на очном отделении изучается бакалаврами на 1курсе в 1 семестре, форма контроля – экзамен в 1 семестре. На изучение курса отводится 216 учебных часа, в т.ч. 108 уч.ч. аудиторных занятий и 108 уч.ч. самостоятельной работы студентов (СРС). Аудиторные занятия включают 40 уч.ч. лекций и 68 уч.ч. практических занятий. Предусматривается также выполнение двух контрольных работ в каждом семестре в соответствии с графиком проведения контрольных мероприятий. Контроль и организация самостоятельной работы студентов осуществляются с помощью домашних заданий, охватывающих все наиболее важные разделы курса.
Общая трудоемкость дисциплины составляет шесть зачетных единиц.

  1. УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ



2.1. Учебно-тематический план очной формы обучения

1 семестр

п/п



Наименование

раздела, темы

Всего


тру-

доем-


кость

Аудиторные

занятия

Самостоя-

тель-


ная

работа

Все-

го


Лек-


ции

Пра-

кти-


чес-

кие


Ла-

бора-


тор-

ные


1

Комплексные числа

72

36

14

22




36

2

Определители

72

36

14

22




36

3

Системы линейных уравнений, метод Гаусса, метод Крамера

72

36

12

24




36




Итого

216

108

40

68




108



  1. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

    1. Структурированное содержание дисциплины



№ п/п

Наименование раздела (темы)

Содержание раздела

1

Комплексные числа.

Алгебраическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами, записанными в алгебраической форме. Тригонометрическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами, записанными в тригонометрической форме. Извлечение корня n-й степени из комплексного числа.

2

Определители.

Перестановки. Инверсии. Транспозиции. Определители n-ого порядка. Свойства определителей. Разложение определителя по строке (столбцу).


3

Системы линейных уравнений. Метод Гаусса. Метод Крамера.

Эквивалентные преобразования систем линейных уравнений. Решение систем методом Гаусса. Теорема Крамера.

4

Матрицы и действия с ними.

Операции сложения и умножения матриц. Свойства этих операций. Обратная матрица.

5

Линейные векторные пространства.

Определение и свойства векторных пространств. Понятия линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. Арифметическое n-мерное векторное пространство. Основная теорема о линейной зависимости. Максимальная линейно независимая подсистема системы векторов. Ранг системы векторов. Базис и размерность векторного пространства.

6

Ранг матрицы.

Теорема о ранге матрицы. Критерий совместности системы линейных уравнений.

7

Однородные системы линейных уравнений.

Однородные системы линейных уравнений. Связь между множеством решений произвольной системы линейных уравнений и соответствующей однородной системой.


8

Алгебраические операции. Понятие алгебры. Группы. Кольца. поля.

Определение алгебраической операции. Понятие группы, подгруппы. Критерий подгруппы. Понятие кольца, подкольца. Критерий подкольца. Понятие поля, подполя. Критерий подполя. Числовые поля. Изоморфизм алгебраических систем. Свойства изоморфизма.


9

Кольцо многочленов от одной переменной. Отношение делимости. НОД многочленов. Взаимно простые многочлены.

Построение кольца многочленов от одной переменной над полем. Отношение делимости в кольце многочленов, его свойства. Теорема о делении с остатком. НОД многочленов. Алгоритм Евклида. Взаимно простые многочлены, их свойства.


10

Корни многочлена. Основная теорема алгебры многочленов. Решение алгебраических уравнений.

Основная теорема алгебры многочленов, ее следствия. Схема Горнера. Формулы Виета. Решение уравнений 2-й, 3-ей, 4-й степени. Нахождение рациональных корней многочленов с целыми коэффициентами.


11

Приводимые и неприводимые многочлены

Понятие приводимости и неприводимости многочлена над полем. Неприводимые многочлены над полями C, R, Q. Критерий Эйзенштейна.





12

Векторные пространства. Пересечение и сумма подпространств. Изоморфизм векторных пространств.

Понятие подпространства. Критерий подпространства. Пересечение и сумма подпространств. Прямая сумма подпространств. Теорема об изоморфизме векторных пространств.


13

Преобразование координат.

Произведение числовой матрицы на векторную матрицу-столбец. Свойства этого произведения. Матрица перехода от одного базиса к другому. Связь координат одного и того же вектора в разных базисах.


14

Линейные операторы. Собственные вектора и собственные значения линейного оператора.

Линейные операторы векторных пространств. Образ и ядро линейного оператора. Матрица линейного оператора. Связь между матрицами линейного оператора в разных базисах. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Линейные операторы с простым спектром. Приведение матрицы к диагональному виду.


15

Группы. Циклические группы. Смежные классы. Теорема Лагранжа. Нормальные делители. Фактор группы.

Свойства групп. Конечные и бесконечные циклические группы. Смежные классы. Теорема Лагранжа. Нормальные делители. Фактор группа по нормальному делителю. Теоремы о гомоморфизмах.




    1. Перечень тем лекционных занятий

1 семестр

На очном отделении:

Лекция № 1. Алгебраическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами, записанными в алгебраической форме.

Лекция № 2. Тригонометрическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами, записанными в тригонометрической форме.

Лекция № 3. Извлечение корня n-й степени из комплексного числа.

Лекция № 4. Перестановки. Инверсии. Транспозиции. Теорема о транспозиции в перестановке.

Лекция № 5. Определители порядка n. Свойства определителей.

Лекция № 6. Миноры. Алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке (столбцу).

Лекция № 7. Элементарные преобразования систем линейных уравнений. Равносильные системы.

Лекция № 8. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Лекция № 9. Решение систем линейных уравнений методом Крамера.



На заочном отделении:

Лекция № 1. Комплексные числа.

Лекция № 2. Определители.

2 семестр

На очном отделении:

Лекция № 1. Операции над матрицами. Свойства этих операций.

Лекция № 2. Обратная матрица. Критерий существования обратной матрицы.

Лекция № 3. Векторные пространства. Свойства векторных пространств.

Лекция № 4. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.

Лекции № 5,6. Максимальные линейно независимые подсистемы системы. Основная теорема о линейной независимости.

Лекция № 7. Базис векторного пространства. Координаты вектора в базисе.

Лекция № 8. Эквивалентные системы векторов. Линейная оболочка системы векторов.

Лекция № 9. Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы.

Лекция № 10. Критерий совместности системы линейных уравнений.

Лекции № 11, 12. Однородные системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений однородной системы.

Лекция № 13. Алгебраические операции. Свойства.

Лекция № 14. Группы. Свойства групп.

Лекция № 15. Подгруппы. Признаки подгруппы.

Лекция № 16. Кольца. Свойства колец. Подкольца.

Лекция № 17. Поля. Свойства полей. Подполя.



На заочном отделении:

Лекция № 1.Матрицы и действия с ними.

Лекция № 2. Линейные векторные пространства.

Лекция № 3. Ранг матрицы.

Лекция № 4. Однородные системы линейных уравнений.

Лекции № 5. Группы. Кольца. Поля.


3 семестр

На очном отделении:

Лекция № 1. построение кольца многочленов от одной переменной.

Лекция № 2. Отношение делимости. НОД многочленов.

Лекция № 3. Взаимно простые многочлены.

Лекция № 4. Корни многочлена. Кратные корни. Схема Горнера.

Лекция № 5. Основная теорема алгебры многочленов. Следствия. Формулы Виета.

Лекция № 6. Решение уравнений 3-й степени.

Лекция № 7. Приводимые и неприводимые многочлены. Свойства.

Лекция № 8. Разложение многочлена на неприводимые множители. Неприводимость многочлена над полями и .

Лекция № 9. Неприводимость многочлена над полем . Критерий Эйзенштейна.



На заочном отделении (6 семестр):

Лекция № 1. Отношения делимости в кольце многочленов от одной переменной.

Лекция № 2. Основная теорема алгебры многочленов.

Лекция № 3. Рациональные корни многочленов с рациональными коэффициентами.

Лекция № 4. Приводимые и неприводимые многочлены.
4 семестр

На очном отделении:

Лекция № 1. Векторные пространства. Базис и размерность пространства. Подпространство.

Лекции № 2,3 Пересечение и сумма подпространств. Прямая сумма подпространств. теорема о размерности суммы подпространств.

Лекция № 4. Изоморфизм векторных пространств.

Лекция № 5,6. Произведение числовой матрицы на векторную матрицу-столбец. Свойства этого произведения. Матрица перехода от одного базиса к другому.

Лекция № 7. Линейные операторы векторного пространства. Ядро и образ линейного оператора. Матрица линейного оператора.

Лекция № 8. Связь между матрицами одного и этого же линейного оператора в разных базисах.

Лекция № 9. Характеристический многочлен и характеристические корни матрицы линейного оператора.

Лекция № 10. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

Лекция № 11. Линейные операторы с простым спектром. Приведение матрицы к диагональному виду.

Лекция № 12. Группы. Свойства групп. Подгруппы.

Лекция № 13. Циклические группы.

Лекция № 14. Классификация циклических групп.

Лекция № 15. Смежные классы по подгруппе. Свойства. Теорема Лагранжа.

Лекция № 16. Нормальные делители. Фактор-группы.

Лекция № 17. Теоремы о гомоморфизмах.



На заочном отделении (7 семестр):

Лекция № 1. Векторные пространства. Изоморфизм векторных пространств.

Лекция № 2. Преобразования координат.

Лекция № 3.Линейные операторы.

Лекция № 4. Группа. Циклические группы.



    1. Перечень тем практических занятий


1 семестр

На очном отделении:

Занятие № 1. Алгебраическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами, записанными в алгебраической форме.

Занятие № 2. Тригонометрическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами, записанными в тригонометрической форме.

Занятие № 3. Извлечение корня n-й степени из единицы.

Занятие № 4. Четные и нечетные перестановки. Вычисление определителей 2-ого и 3-его порядков.

Занятие № 5. Вычисление определителей с использованием свойств.

Занятие № 6. Вычисление определителей путем разложения по строке или столбцу.

Занятие № 7. Решение систем линейных уравнений методом подстановки и методом алгебраического сложения.

Занятие № 8. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Занятие № 9. Решение систем линейных уравнений методом Крамера.


На заочном отделении:

Занятие № 1. Комплексные числа.

Занятие № 2. Определители.

Занятие № 3. Системы линейных уравнений, метод Гаусса, метод Крамера.


2 семестр

На очном отделении:

Занятие № 1. Операции над матрицами.

Занятия № 2,3. Нахождение обратной матрицы.

Занятие № 4. Векторные пространства. Подпространства.

Занятие № 5. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.

Занятия № 6,7. Максимальные линейно независимые подсистемы системы векторов.


Занятие № 8. Базис векторного пространства. Координаты вектора.

Занятие № 9. Линейная оболочка системы векторов.

Занятие № 10. Ранг матрицы.

Занятие № 11. Критерий совместности системы линейных уравнений.

Занятие № 12. Решение однородной системы линейных уравнений.

Занятие № 13. Алгебраические операции.

Занятие № 14. Группы.

Занятие № 15. Подгруппы.

Занятие № 16. Кольца. Подкольца.

Занятие № 17. Поля. Подполя.


На заочном отделении:

Занятие № 1. Матрицы и действия с ними.

Занятия № 2. Обратная матрица.

Занятие № 3. Линейные векторные пространства.

Занятие № 4. Ранг матрицы.

Занятие № 5. Однородные системы линейных уравнений.

Занятие № 6. Фундаментальные системы линейных уравнений.

Занятие № 7. Группы. Кольца.


3 семестр

Занятия № 1,2,3. Деление многочлена на многочлен. Алгебраическое и функциональное равенства многочленов.

Занятие № 4. Алгоритм Евклида.

Занятие № 5. Линейная форма НОД многочленов.

Занятие № 6. Взаимно простые многочлены.

Занятие № 7. Теорема Безу. Схема Горнера.

Занятие № 8. Производная многочлена. Кратность корня.

Занятия № 9,10. Формулы Виета.


Занятия № 11, 12, 13. Решение уравнений 2-й, 3-й и 4-й степени.

Занятия № 14, 15. Нахождение рациональных корней многочленов с целыми коэффициентами.

Занятие № 16. Приводимость и неприводимость многочленов над полями рациональных, действительных и комплексных чисел.

Занятие № 17. Отделение кратных множителей.

Занятие № 18. Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби.
На заочном отделении (6 семестр):

Занятие № 1. Делимость многочленов.

Занятие № 2. НОД многочленов.

Занятие № 3. Схема Горнера.

Занятие № 4. Уравнения 3-й и 4-й степени.

Занятие № 5. Нахождение рациональных корней многочленов с рациональными коэффициентами.

Занятие № 6. Приводимые и неприводимые многочлены.
4 семестр

Занятия № 1,2. Векторное пространство. Подпространство. Базис и размерность.

Занятие № 3. Пересечение и сумма подпространств.

Занятия № 4,5. Нахождение базиса суммы и базиса пересечения подпространств.

Занятия № 6,7. Матрица перехода от одного базиса к другому. Связь между координатами одного и этого же вектора в разных базисах.

Занятия № 8,9. Линейные операторы. Матрица линейного оператора.

Занятие № 10, 11. Собственные векторы и собственные значения.

Занятие № 12. Группы. Подгруппы.

Занятие № 13. Циклические группы. Изоморфизмы.

Занятие № 14. Смежные классы. Теорема Лагранжа.

Занятие № 15. Нормальные делители.

Занятия № 16,17. построение фактор-группы по нормальному делителю.



На заочном отделении (7 семестр):

Занятия № 1. Линейные векторные пространства.

Занятие № 2. Пересечение и сумма подпространств.

Занятия № 3. Преобразование координат.

Занятия № 4. Линейные операторы.

Занятия № 5. Собственные векторы линейного оператора.



Занятие № 6. Группы. Смежные классы. Фактор группа.


    1. Перечень тем лабораторных работ

Согласно учебному плану выполнение лабораторных работ по данной дисциплине не предусмотрено.


    1. Вопросы для контроля и самоконтроля


1 семестр

  1. Алгебраическая форма комплексного числа.

  2. Действия над комплексными числами, записанными в алгебраической форме.

  3. Тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль и аргумент комплексного числа.

  4. Действия над комплексными числами, записанными в тригонометрической форме.

  5. Формула Муавра.

  6. Формула извлечения корня n-й степени из комплексного числа.

  7. Корни n-й степени из единицы.

  8. Понятие инверсии и понятие транспозиции в перестановке.

  9. Четные и нечетные перестановки.

  10. Способы вычисления определителей 2-ого и 3-его порядков.

  11. Определение детерминанта (определителя) порядка n.

  12. Свойства определителей.

  13. Определение минора и алгебраического дополнения.

  14. Формула разложения определителя по строке, по столбцу.

  15. Определение решения системы линейных уравнений.

  16. Определение равносильных систем уравнений.

  17. Эквивалентные преобразования систем линейных уравнений.

  18. Возможное число решений системы линейных уравнений.

  19. Какие системы можно решить методом Крамера и сколько решений имеют такие системы.

2 семестр

  1. Действие сложения матриц. Какие матрицы можно складывать?

  2. Свойства операции сложения.

  3. Действие умножения матрицы на число. Свойства этого умножения.

  4. Действие умножения матриц. Какие матрицы можно перемножать?

  5. Свойства операции умножения.

  6. Определение обратной матрицы. Для каких матриц существует обратная матрица?

  7. Формула для вычисления обратной матрицы.

  8. Определение векторного пространства.

  9. Примеры векторных пространств.

  10. Определение линейно зависимой системы векторов.

  11. Определение линейно независимой системы векторов.

  12. Определение максимальной линейно независимой подсистемы системы векторов.

  13. Определение ранга системы векторов.

  14. Определение базиса и размерности векторного пространства.

  15. Привести примеры базиса и определить размерность векторных пространств

  16. Определение строчного ранга матрицы.

  17. Определение столбцового ранга матрицы.

  18. Определение минорного ранга матрицы.

  19. Формулировка теоремы о ранге матрицы.

  20. Формулировка Теоремы Кронекера-Капелли.

  21. Однородная система линейных уравнений.

  22. Сколько решений может иметь однородная система линейных уравнений?

  23. Фундаментальная система решений однородной системы.

  24. Определение и примеры бинарных алгебраических операций.

  25. Определение и примеры унарных алгебраических операций.

  26. Определение и примеры группы.

  27. Свойства групп.

  28. Определение и примеры подгруппы.

  29. Критерий подгруппы.

  30. Определение и примеры кольца.

  31. Свойства колец.

  32. Определение и примеры подкольца.

  33. Критерий подкольца.

  34. Определение и примеры поля.

  35. Свойства поля.

  36. Определение и примеры подполя.

  37. Критерий подполя.

3 семестр

  1. Определение степени многочлена.

  2. Действия над многочленами.

  3. Частное и остаток от деления многочлена на многочлен.

  4. Определение НОД многочленов.

  5. Способ нахождения НОД двух многочленов.

  6. Способ нахождения НОД трех многочленов.

  7. Взаимно простые многочлены.

  8. Свойства взаимно простых многочленов.

  9. Определение кратности корня.

  10. Основная теорема алгебры многочленов.

  11. Следствия из основной теоремы алгебры.

  12. Теорема Безу.

  13. Схема Горнера.

  14. Формулы Виета.

  15. Способ нахождения рациональных корней многочленов с целыми коэффициентами.

  16. Определение приводимого многочлена.

  17. Определение неприводимого многочлена.

  18. Свойства неприводимых многочленов.

  19. Какие многочлены приводимы и какие многочлены неприводимы над

полем С?

  1. Какие многочлены приводимы и какие многочлены неприводимы над

полем R?

  1. Необходимое и достаточное условие приводимости многочлена 2-й или 3-ей степени над полем Q.

  2. Критерий Эйзенштейна.

  3. Привести пример многочлена 6-й степени, приводимого над полем Q и пример многочлена 6-й степени, неприводимого над полем Q.

4 семестр

  1. Определение и критерий подпространства векторного пространства.

  2. Пересечение подпространств.

  3. Сумма подпространств.

  4. Будет ли объединение подпространств подпространством?

  5. Прямая сумма подпространств.

  6. Критерий прямой суммы подпространств.

  7. Определение изоморфизма векторных пространств.

  8. Определение матрицы перехода от одного базиса к другому.

  9. Какими свойствами обладает матрицы перехода?

  10. Какова связь координат одного и это же вектора в разных базисах?

  11. Определение и примеры линейного оператора.

  12. Матрица линейного оператора.

  13. Образ линейного оператора.

  14. Ядро линейного оператора.

  15. Связь между матрицами линейного оператора в разных базисах.

  16. Определение и примеры собственного вектора линейного оператора.

  17. Определение характеристического корня матрицы.

  18. Связь между собственными значениями линейного оператора и характеристическими корнями матрицы.

  19. Линейный оператор с простым спектром.

  20. В каком базисе матрица линейного оператора диагональна?

  21. Определение и примеры групп.

  22. Определение циклической группы, порожденной элементом «а».

  23. Бесконечная циклическая группа.

  24. Конечная циклическая группа порядка n.

  25. Определение смежного класса по подгруппе.

  26. Свойства смежных классов.

  27. Теорема Лагранжа.

  28. Найти все подгруппы циклической группы порядка 8

  29. Определение нормального делителя.

  30. Критерий нормального делителя.

  31. Строение фактор-группы по нормальному делителю.



    1. Перечень тем занятий, реализуемых в активной и интерактивной формах

Каждая лекция содержит в себе интерактивные фазы проведения занятия. Так, например, при изучении первой темы «Системы линейных уравнений» студенты обсуждают методы решения систем линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными, встречающиеся в школьном курсе математик. При изучении темы «Делимость многочленов» обсуждается вопрос об основании деления многочлена на многочлен углом. При рассмотрении вопроса о наибольшем общем делителе многочленов студенты участвуют в обсуждении возможности переноса определения НОД для целых чисел на многочлены.



Все практические занятия проводятся в интерактивной форме, начиная с анализа условия задач до обсуждения вариантов решения.
4. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА И ОРГАНИЗАЦИЯ

КОНТРОЛЬНО-ОЦЕНОЧНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
4.1. Темы, вынесенные на самостоятельное изучение для студентов очной и заочной форм обучения
1 семестр

  1. Извлечение корня n-й степени из единицы.

  2. Формулы для вычисления определителей треугольного вида относительно главной или побочной диагонали.

  3. Теорема об определителе произведения двух матриц.

  4. Доказательство равносильности систем линейных уравнений, получающихся при применении каждого из элементарных преобразований.

2 семестр

  1. Транспонированная матрица. Свойства транспонированных матриц.

  2. Элементарные преобразования системы векторов. Доказательство того, что применение любого из элементарных преобразований к системе векторов I приводит к системе векторов II, эквивалентной системе векторов I.

  3. Изоморфизм векторных пространств. Доказательство того, что отношение изоморфизма является отношением эквивалентности. Критерий изоморфизма для арифметических векторных пространств.

3 семестр

  1. Алгебраическое и функциональное равенство многочленов. Их равносильность.

  2. Аксиоматическое построение кольца многочленов над полем.

  3. Решение уравнений 4-й степени.

  4. Нахождение рациональных корней многочленов с целыми коэффициентами.

  5. Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби.

4 семестр

  1. Алгебра линейных операторов. Изоморфизм алгебры линейных операторов и алгебры матриц.

  2. Теорема о сумме ранга и дефекта линейного оператора.

  3. Вырожденные и невырожденные линейные операторы.



4.2. Темы контрольных работ для студентов очной и заочной форм обучения
1 семестр

  1. Комплексные числа

  2. Решение систем линейных уравнений

2 семестр

  1. Векторные пространства.

  2. Алгебраические операции. Группы. Кольца.

3 семестр

  1. Отношение делимости в кольце многочленов. НОД многочленов.

  2. Решение алгебраических уравнений.

4 семестр

  1. Линейные операторы.

  2. Группы.



4.3. Примерные темы курсовых работ


  1. Симметрические многочлены.

  2. Линейные неравенства.

  3. Строение конечных абелевых групп.

  4. Строение конечных полей.

  5. Группы самосовмещений фигур и тел.

  6. Группы подстановок.

  7. Алгебры с делением над полем .

  8. Частично упорядоченные множества.

  9. История развития теории решения уравнений в радикалах.

  10. Элементы теории полей.

  11. Циклические группы. Кольца на циклических группах.

  12. Отделение действительных корней многочленов с действительными коэффициентами.

  13. Тело кватернионов.

  14. Арифметика кольца целых гауссовых чисел.




    1. Вопросы для подготовки к теоретической части экзамена.


1 семестр

  1. Операция сложения комплексных чисел, записанных в алгебраической форме. Свойства сложения.

  2. Операция умножения комплексных чисел, записанных в алгебраической форме. Свойства умножения.

  3. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме.

  4. Формула Муавра. Деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме.

  5. Извлечение корня n-й степени из комплексного числа.

  6. Извлечение корня n-й степени из единицы.

  7. Перестановки. Инверсии. Транспозиции. Теорема о транспозиции в перестановке.

  8. Определение детерминанта (определителя) порядка n. Свойства 15.

  9. Определение детерминанта (определителя) порядка n. Свойства 610.

  10. Вычисление определителей 2-ого и 3-его порядков. Способы вычисления определителей порядка n.

  11. Миноры. Алгебраические дополнения. Теорема о разложении определителя по строке.

  12. Миноры. Алгебраические дополнения. Теорема о сумме произведений элементов некоторой строки определителя на алгебраические дополнения к элементам этой строки.

  13. Равносильные системы. Элементарные преобразования систем линейных уравнений.

  14. Метод Гаусса.

  15. Теорема Крамера.

2 семестр

  1. Операции сложения матриц и умножения матрицы на число. Свойства этих операций.

  2. Операция умножения матриц. Свойства умножения.

  3. Обратная матрица. Критерий существования обратной матрицы.

  4. Определение векторного пространства. Примеры, свойства.

  5. Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. Свойства.

  6. Основная теорема о линейной зависимости.

  7. Максимальная линейно независимая подсистема системы векторов. Свойства.

  8. Базис векторного пространства. Свойства.

  9. координаты вектора в базисе. Координаты суммы векторов и произведения вектора на число.

  10. Отношение «линейно выражаться» на множестве всех подсистем векторного пространства. Свойства этого отношения.

  11. Элементарные преобразования систем векторов. Эквивалентные системы векторов.

  12. Линейная оболочка системы векторов. Теорема о линейной оболочке.

  13. Критерий равенства линейных оболочек подсистем A и B.

  14. Строчный, столбцовый ранги матрицы. Доказать, что строчный ранг матрицы не изменится, если переставить местами 2 строки или 2 столбца данной матрицы.

  15. Строчный, столбцовый, минорный ранги матрицы. Теорема о ранге матрицы.

  16. Теорема Кронекера-Капелли.

  17. Подпространство решений однородной системы. Теорема о связи множества решений неоднородной системы и множества решений соответствующей однородной системы.

  18. Теорема о числе решений фундаментальной системы.

  19. Алгебраические операции, примеры. Свойства бинарных операций.

  20. Определение группы, примеры. Единственность нейтрального и обратного элемента в группе.

  21. Определение группы. Примеры. Свойства групп.

  22. Подгруппы. Признаки подгруппы.

  23. Определение кольца. Свойства колец. подкольца. Признаки подкольца.

  24. Определение поля. Свойства полей. Подполе. Признак подполя.

3 семестр

  1. Построение кольца многочленов от одной переменной.

  2. Отношение делимости в кольце многочленов. Свойства.

  3. Теорема о существовании частного и остатка.

  4. Теорема единственности частного и остатка.

  5. НОД многочленов. Алгоритм Евклида.

  6. Свойства НОДа.

  7. Линейная форма НОД двух многочленов.

  8. Взаимно простые многочлены. Свойства.

  9. Производная многочлена. Свойства производной.

  10. Кратность корня. Связь кратности корня с производной данного многочлена.

  11. Теорема Безу. Схема Горнера.

  12. Основная теорема алгебры многочленов. Следствия из неё.

  13. Формулы Виета.

  14. Решение уравнений 3-ей степени.

  15. Решение уравнений 4-ей степени.

  16. Приводимые и неприводимые многочлены. Свойства.

  17. теорема о разложении многочлена на неприводимые множители.

  18. Неприводимость и приводимость многочленов над полями и .

  19. Критерий приводимости многочленов 2-й и 3-ей степени над полем .

  20. примитивный многочлен. Представление всякого многочлена из Q[x] в виде произведения примитивного многочлена на некоторое рациональное число.

  21. Лемма Гаусса.

  22. Критерий Эйзенштейна.

4 семестр

  1. Определение векторного пространства, примеры, свойства.

  2. Подпространства. Примеры. Критерий подпространства.

  3. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Свойства.

  4. Пересечение и сумма подпространств.

  5. Прямая сумма подпространств. Критерий прямой суммы.

  6. Теорема о размерности суммы подпространств.

  7. Нахождение базиса суммы и базиса пересечения подпространств.

  8. Изоморфизм векторных пространств. Теорема об изоморфизме конечномерных векторных пространств.

  9. Критерий линейной независимости образов системы векторов при изоморфизме векторных пространств.

  10. Умножения числовой матрицы на векторную матрицу-столбец. Свойства этого умножения.

  11. Матрица перехода от одного базиса к другому. Невырожденность матрицы перехода.

  12. Связь между матрицей перехода от базиса е к базису е' и матрицей перехода от базиса е' к базису е. Связь между координатами одного и того же вектора в разных базисах.

  13. Определение линейного оператора. Свойства линейного оператора. Матрица линейного оператора.

  14. Образ и ядро линейного оператора.

  15. Теорема о сумме ранга и дефекта.

  16. Теорема о существовании и единственности линейного оператора, переводящего линейно независимую систему из k векторов в произвольную систему из k векторов.

  17. Подобные матрицы. Подобие матриц одного и того же линейного оператора в разных базисах.

  18. Характеристическая матрица. Характеристические корни матрицы. Равенство характеристических многочленов подобных матриц.

  19. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Теорема о связи между собственными значениями линейного оператора и характеристическими корнями матрицы этого линейного оператора.

  20. Критерий диагональности матрицы линейного оператора.

  21. Линейная независимость собственных векторов линейного оператора, относящихся к различным собственным значениям.

  22. Группы. Свойства групп. Подгруппы.

  23. Действия над степенями элемента в группе.

  24. Бесконечная циклическая группа. Теорема об изоморфизме бесконечной циклической группы и аддитивной группы целых чисел.

  25. Конечные циклические группы.

  26. Смежные классы по подгруппе. Свойства.

  27. Теорема Лагранжа.

  28. Определение нормального делителя. Критерий нормального делителя.

  29. Фактор группа по нормальному делителю.

  30. Гомоморфный образ группы. Первая теорема о гомоморфизмах групп.

  31. Вторая теорема о гомоморфизмах групп.




    1. Типы задач для подготовки к практической части экзамена.


1 семестр

  1. Решите задачу, применяя действия над комплексными числами, записанными в алгебраической форме.

  2. Найдите тригонометрическую форму комплексного числа.

  3. Решите задачу, применяя действия над комплексными числами, записанными в тригонометрической форме.

  4. Решите задачу, применяя определение корня n-ой степени из комплексного числа.

  5. Вычислите определитель различными способами.

  6. Решите систему линейных уравнений методом Гаусса.

  7. Решите систему линейных уравнений методом Крамера.

  8. Оцените правильность и рациональность предложенного решения задачи, способа ее решения.

  9. Составьте несколько задач по указанным данным и опишите способы их решения.


2семестр

  1. Решите задачу, применяя действия над матрицами.

  2. Вычислите обратную матрицу.

  3. Решите задачу, применяя проверку аксиом векторного пространства.

  4. Решите задачу, применяя линейную зависимость и линейную независимость системы векторов.

  5. Найдите базис векторного пространства.

  6. Найдите координаты вектора в базисе.

  7. Применяя различные способы, найдите ранга матрицы.

  8. Решите однородную систему линейных уравнений. Найдите фундаментальную систему решений.

  9. Решите задачу, применяя проверку аксиом группы, кольца.

  10. Решите задачу, применяя признаки подгруппы или подкольца.

  11. К предложенному математическому тексту поставьте вопросы, направленные на оценку понимания текста, и ответьте на них.



3 семестр

  1. Найдите частное и остаток при делении многочлена на многочлен.

  2. Решите задачу, применяя НОД двух многочленов и линейную форму НОД.

  3. Решите задачу, применяя схему Горнера.

  4. Решите задачу, применяя формулы Виета.

  5. Решение уравнения 3-й или 4-й степени.

  6. Найдите рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами.

  7. Определите, приводим или неприводим многочлен над различными числовыми полями.

  8. Расположите указанные утверждения в порядке увеличения общности.

  9. Для указанного множества объектов и указанного отношения постройте соответствующий граф.

  10. Укажите несколько вариантов формулировок характеристических свойств для указанного множества объектов.



4 семестр

  1. Решите задачу, применяя признак подпространства линейного векторного пространства. Найдите базис и размерность подпространства.

  2. Найдите базис суммы и пересечения подпространств.

  3. Найдите матрицу перехода от одного базиса к другому. Найдите связь между координатами одного и того же вектора в разных базисах.

  4. Решите задачу, применяя определение линейного оператора. Найдите матрицу линейного оператора в данном базисе.

  5. Найдите собственные векторы линейного оператора.

  6. Проверьте выполнимость аксиом группы, на заданном подмножестве.

  7. Решите задачу, применяя определение циклической группы.

  8. Проверьте, будет ли данная подгруппа группы нормальным делителем.

  9. Постройте факторгруппу по нормальному делителю.

  10. Решите задачу, применяя определение изоморфизма групп.

  11. Сравните заданные математические объекты. Выделите свойства, присущие всем указанным объектам. Сформулируйте свойства, присущие только некоторым (не всем) объектам. Укажите свойства, которыми не обладает ни один из указанных объектов.

  12. Сравните заданные различные определения одного и того же математического объекта. Проанализируйте, какие математические сведения необходимы для этих определений. Докажите равносильность этих определений.


5. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
5.1. Рекомендуемая литература

Основная


  1. Н.Я. Виленкин. Алгебра и теория чисел. Ч.3: учебное пособие для студентов-заочников пед. ин-тов. – Просвещение, 1984. – 192 с.

  2. Ершова Т.И., Смирнова Н.И. Индивидуальные задания по алгебре для студентов математического факультета: метод. разраб. Урал. гос. пед. ун-т. – Екатеринбург: УрГПУ, 1992. – 34 с.

  3. Ершова Т.И., Неешпапа Т.А., Смирнова Н.И. Комплексные числа: метод. разраб. Урал. гос. пед. ун-т. – Екатеринбург: УрГПУ, 1995. – 20 с.

  4. Ильиных А.П. Контрольные задания по линейной алгебре: методическая разраб. Свердл. гос. пед. ин-т. – Свердловск: СГПИ, 1990. – 30 с.

  5. Мурзинова Г.С. Контрольные задания по теме «Алгебраические системы»: метод. разраб. Урал. гос. пед. ун-т. – Екатеринбург: УрГПУ, 2000. – 30 с.

  6. Куликов Л.Я. .Алгебра и теория чисел: учеб. пособие для пед. ин-тов по спец. «Математика», «Математика и физика», «Физика и математика» – М.: Высшая школа, 1976. – 559 с.

  7. Курош А.Г. Курс высшей алгебры: учеб. для вузов по спец. «Математика», «Прикладная математика» – СПб.: Лань, 2004. – 432 с.

  8. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. – М.: Наука, 1984. – 336 с.

  9. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре: учеб. пособие для вузов мат. спец. 3-е изд., стер. – СПб.: Лань, 2004. – 416 с.

  10. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Задачи по высшей алгебре: учеб. пособие для вузов мат. спец. – 15-е изд., стер. – СПб.: Лань, 2005. – 288 с.


Дополнительная


  1. Бортаковский, А.С. Линейная алгебра в примерах и задачах [Текст]: учеб. пособие для втузов / А.С. Бортаковский, А.В. Пантелеев. – М.: Высш. шк., 2005. – 591 с.

  2. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Алгебра. Элементы теории множеств. Линейные уравнения и неравенства. Матрицы и определители: учебное пособие для студентов-заочников физико-математических ф-тов пединститутов. – М.: Просвещение, 1974. – 160 с.

  3. Ильиных А.П. Сборник задач по алгебре. – Свердл. гос. пед. ин-т. – Свердловск: СГПИ, 1976. – 97 с.

  4. Куликов Л.Я., Москаленко А.И., Фомин А.А. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – М.: Просвещение, 1993.

  5. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. Ч. 1. – М., Просвещение, 1974. – 383 с.



  6. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. Ч. 2. – М., Просвещение, 1978. – 447 с.

  7. Мурзинова Г.С. Сборник контрольных заданий по теме «Алгебра многочленов» для студентов 2-го курса матем. ф-та: метод. разраб.; Свердл. гос. пед. ин-т. – Свердловск: СГПИ, 1983. – 30 с.

  8. Фрейдман П.А. Индивидуальные задания по теме «Кольца, идеалы» для студентов матем. ф-та: метод. разраб. /; Урал. гос. пед. ун-т. – Екатеринбург: УрГПУ, 1992. – 7 с.

  9. Шнеперман Л.Б. Курс алгебры и теории чисел в задачах и упражнениях. Учебное пособие для студентов пединститутов в 2-х частях. Минск, Высшая школа, 1987.

  10. Шнеперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел: учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. вузов. – Минск.: Дизайн ПРО., 2000. – 240 с.

5.2. Информационное обеспечение дисциплины

При изучении данной дисциплины рекомендуется использовать:




  1. Электронный оптический диск (CD-ROM), подготовленный для студентов математического факультета с учебными и методическими материалами по дисциплинам кафедры алгебры и теории чисел.

  2. Цифровые образовательные ресурсы сети Интернет

    1. www.exponenta.ru;

    2. www.school.edu.ru),

    3. http://e-lib.uspu.ru.



6. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ И ДИДАКТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
При изучении дисциплины «Алгебра» рекомендуется использовать технические средства обучения (персональные компьютеры, медиа проектор).
8. СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ ПРОГРАММЫ
Ершова Тамара Ивановна

к.ф.-м.н.,

доцент каф. алгебры и теории чисел УрГПУ

Рабочий телефон: (343) 371-45-97


РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА

По дисциплине «Алгебра и геометрия»

для ООП по направлению «010400 – Прикладная математика и информатика»,

по циклу Б.2 – математический и естественнонаучный цикл,

базовая часть

Подписано в печать Формат 6084/16

Бумага для множительных аппаратов. Усл. печ. л. .

Тираж экз. Заказ .

Уральский государственный педагогический университет

620017 Екатеринбург, пр. Космонавтов, 26








Один из наиболее удивительных феноменов последнего десятилетия: лучшее, с чем можно прийти на свидание, — не цветы, не коробка шоколадных конфет и не жемчужное ожерелье, а справка от врача. Линда Саншайн
ещё >>