Программа дисциплины «Теория чисел» - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Программа-минимум кандидатского экзамена по специальности 01. 1 37.04kb.
Программа дисциплины «Политическая теория» 5 473.9kb.
Программа дисциплины специальная теория относительности Цикл дс специальность... 1 77.97kb.
Рабочая программа курса «Теория чисел» 1 40.06kb.
Программа дисциплины теория магнитного резонанса Цикл дс 1 62.01kb.
Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины а основная... 1 17.84kb.
Программа дисциплины теория вероятностей и математическая статистика... 1 91.28kb.
Программа дисциплины «Теория и методология политических исследований» 11 300.13kb.
Программа дисциплины «Теория и методология политических исследований» 11 302.53kb.
Рабочая программа по дисциплине «Теория и практика перевода» содержание... 15 624.28kb.
Рабочая программа по дисциплине «Теория и практика перевода» содержание... 7 810.32kb.
Математика Бюджетное отделение 1 90.26kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

Программа дисциплины «Теория чисел» - страница №1/1




Государственный университет – Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Теория чисел» для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра





Правительство Российской Федерации
Государственное образовательное бюджетное учреждение

высшего профессионального образования

«Государственный университет - Высшая школа экономики»

Факультет Математики


Программа дисциплины Теория чисел


для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра

и направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра

Автор программы: Зыкин А. И., PhD, alzykin@gmail.com


Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 201_ г.

Председатель С.М. Хорошкин

Утверждена УС факультета математики «___»_____________2013 г.

Ученый секретарь Ю.М. Бурман_____________________

Москва, 2012

Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.

1Область применения и нормативные ссылки


Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.

Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра.



Программа разработана в соответствии с:

  • ГОС ВПО;

  • Образовательными программами: 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра.

  • Рабочими учебными планами университета: по направлению 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и по направлению 010100.68 «Математика» подготовки магистра, специализации Математика, утвержденными в 2010 г.

2Цели освоения дисциплины


Целями освоения дисциплины «Теория Чисел» являются создание у учащихся целостного представления об идеях и методах теории чисел, обучение использованию для решения теоретико-числовых задач алгебраических, геометрических и аналитических методов.

3Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины


В результате освоения дисциплины студент должен:

  • Знать об основных понятиях теории чисел.

  • Уметь решать  различные конкретные теоретико-числовые задачи, с использованием теории Галуа, локальных полей, теории Дедекиндовых колец, теории эллиптических кривых и теории дзета- и L-функций.

  • Иметь навыки (приобрести опыт) применения алгебраической и аналитической техники в различных разделах теории чисел.

4Место дисциплины в структуре образовательной программы


Настоящая дисциплина относится к циклу специальных дисциплин и блоку дисциплин по выбору.

5Тематический план учебной дисциплины







Название раздела

Всего часов

Аудиторные часы

Самостоя­тельная работа

Лекции

Семинары

Практические занятия




Теория полей

20

20













Квадратичные формы и локальные поля

28

28













Разложение в полях алгебраических чисел

44

44













Эллиптические кривые

28

28













Дзета-функции

24

24













Итого:

144

144











6Формы контроля знаний студентов


Тип контроля

Форма контроля

1 год

2 год

Кафедра

Параметры **

1

2

3

4

1

2

3

4

Текущий

(неделя)


Контрольная работа

v




v



















Письменная, 80 мин

Промежу­точный

Зачет




v




v
















Письменный, 240 мин.

Итоговый

Экзамен
































6.1Критерии оценки знаний, навыков


На зачете студент должен продемонстрировать хорошее умение применять знания из первых трех разделов курса к конкретным задачам теории чисел. На экзамене требуется владение материалом всего курса, а также умение применять его в решении конкретных задач.

Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.


7Содержание дисциплины


Раздел представляется в удобной форме (список, таблица). Изложение строится по разделам и темам. Содержание темы может распределяться по лекционным и практическим занятиям.

  1. Раздел 1 Теория полей






Тема

Всего часов

Лекции

семинары

Самостоятельная работа



Конечные и алгебраические расширения полей и их свойства. Теорема о существовании алгебраического замыкания.

5

5









Конечные поля – существование и свойства, теорема Шевалле-Варнинга.

5

5









Сепарабельные и нормальные расширения. Расширения Галуа. Основная теорема теории Галуа и ее приложения.

10

10










Итого:

120

220

3

2

Литература по разделу:



Манин Ю. И., Панчишкин А. А. Введение в современную теорию чисел. - М.: МЦНМО, 2009.

Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. - М.: Наука, 1985.

Ленг С. Алгебра. - М.: Мир, 1968.

Серр Ж.-П. Курс арифметики. - М.: Мир, 1972




  1. Раздел 2. Квадратичные формы и локальные поля






Тема

Всего часов

Лекции

семинары

Самостоятельная работа



Определение p-адических чисел. Нормирования поля рациональных чисел и пополнения. Теорема Островского. Лемма Гензеля.

6

6









Квадратичные формы над полями p-адических чисел, символ Гильберта – локальные и глобальные свойства.

10

10









Общие свойства билинейных и квадратичных форм. Теорема Минковского-Хассе. Приложения: теоремы Гаусса и Лагранжа

12

12










Итого:

128

728

3

3

Литература по разделу:



Коблиц Н. p-адические числа, p-адический анализ и дзета-функции. - М.: Мир, 1982.

Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. - М.: Наука, 1985.

Серр Ж.-П. Курс арифметики. - М.: Мир, 1972


  1. Раздел 3. Разложение в полях алгебраических чисел.






Тема

Всего часов

Лекции

семинары

Самостоятельная работа



Простые идеалы, нормы идеалов, разложение идеалов в произведение простых – существование и единственность.

10

10









Локальные поля. Лемма Краснера. Неразветвленные, слабо разветвленные, вполне разветвленные расширения.

12

12









Дискриминант и ветвление. Дифферента. Число классов идеалов и регулятор. Конечность числа классов идеалов, теорема Дирихле о единицах.

22

22










Итого:

144

444

3

1

Литература по разделу:



Коблиц Н. p-адические числа, p-адический анализ и дзета-функции. - М.: Мир, 1982.

Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. - М.: Наука, 1985.

Ленг С. Алгебра. - М.: Мир, 1968.

Ленг С. Алгебраические числа. - М.: Мир, 1972.



  1. Раздел 4. Эллиптические кривые.






Тема

Всего часов

Лекции

семинары

Самостоятельная работа



Эллиптические кривые над произвольными полями. Модель Вейерштрасса. Закон сложения точек на эллиптической кривой. Дискриминант, j-инвариант.

12

12









Слабая теорема Морделла-Вейля о рациональных точках на эллиптических кривых. Высоты и их свойства. Существование канонической высоты. Доказательство теоремы Морделла-Вейля. Целые точки на эллиптических кривых.

16

16










Итого:

128

228



3

Литература по разделу:



Манин Ю. И., Панчишкин А. А. Введение в современную теорию чисел. - М.: МЦНМО, 2009.

Кнапп Э. Эллиптические кривые. - М.: Факториал Пресс, 2004.



  1. Раздел 5. Дзета-функции.






Тема

Всего часов

Лекции

семинары

Самостоятельная работа



Дзета-функция Римана. Эйлеровское произведение. Аналитическое продолжение и функциональное уравнение. Нули дзета-функции и распределение простых. Гипотеза Римана.

10

10








Характеры и ряды Дирихле. Теорема Дирихле о простых числах в арифметических прогрессиях. Аналитическая формула для числа классов идеалов и регулятора. Аналитическое продолжение и функциональное уравнение для дзета-функции Дедекинда.

14

14










Итого:

124

224

7

3

Литература по разделу:



Манин Ю. И., Панчишкин А. А. Введение в современную теорию чисел. - М.: МЦНМО, 2009.

Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. - М.: Наука, 1985.

Ленг С. Алгебраические числа. - М.: Мир, 1972.

Серр Ж.-П. Курс арифметики. - М.: Мир, 1972



8Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента

8.1Тематика заданий текущего контроля


Примеры вопросов для домашнего задания:

  1. Посчитайте группу Галуа поля разложения x^4-x^2+x+1.

  2. Чему равно число классов идеалов кольца целых поля Q(157^{1/2})?

  3. Вычислите вычет в $s=1$ дзета-функции поля Q(163^{1/2}).

  4. Какие простые числа имеют вид x^2+64y^2?

8.2Вопросы для оценки качества освоения дисциплины


1. Чем характеризуются нормальные расширение полей?

2. Что такое сепарабельные и чисто несепарабельные расширения? Каковы их свойства?

3. Какие имеются нормирования поля рациональных чисел? Полей алгебраических чисел?

4. Докажите теорему Минковского-Хассе.

5. Сформулируйте критерий эквивалентности квадратичных форм над Q.

6. Сформулируйте и докажите теорему об однозначности разложения на простые идеалы в полях алгебраических чисел.

7. Как связаны простые идеалы и нормирования полей алгебраических чисел?

8. Дайте классификацию неразветвленных и вполне разветвленных расширений локальных полей.

9. Что такое число классов идеалов и почему оно конечно?

10. Докажите теорему Дирихле о единицах. Какова ее связь с представлением чисел полными разложимыми формами?

11. Как характеризуются ветвящиеся простые в расширении полей?

12. Докажите границу Минковского для дискриминанта

13. Как задавать закон сложения на эллиптической кривой? Каковы его свойства?

14. Cформулируйте и докажите теорему Лутца-Нагеля о точках конечного порядка на эллиптических кривых.

15. Сформулируйте и докажите слабую теорему Морделла-Вейля.

16. Что такое дзета-функция Дедекинда и какова ее связь с арифметикой числовых полей?

17. Почему дзета-функция Дедекинда продолжается на всю комплексную плоскость?

18. Вычислите вычет дзета-функции Дедекинда в s=1.

19. Докажите теорему Дирихле о простых числах в арифметических прогрессиях.

8.3Примеры заданий промежуточного /итогового контроля


Примеры экзаменационных задач:

1. Почему корни третей степени из различных простых чисел линейно независимы над Q?

2. Классифицируйте группы автоморфизмов эллиптических кривых.
3. При каких a в Q_p разрешимо уравнение x^2+axy+axz+z^2=0?

9Порядок формирования оценок по дисциплине


Преподаватель оценивает самостоятельную работу студентов: оценивается количество решенных задач из списка для самостоятельной работы. Оценки за самостоятельную работу студента преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Результирующая оценка по 10-ти балльной шкале за самостоятельную работу определяется перед промежуточным или итоговым контролем – Осам. работа.

Результирующая оценка за промежуточный (итоговый) контроль в форме зачета выставляется по следующей формуле, где Озачет – оценка за работу непосредственно на зачете:



Опромежуточный = 0.7·Озачет + 0.3· Осам. работа

Результирующая оценка за итоговый контроль в форме экзамена выставляется по следующей формуле, где Оэкзамен – оценка за работу непосредственно на экзамене:



Оитоговый = 0.7·Оэкзамен + 0.3· Осам. работа
На пересдаче студенту не предоставляется возможность получить дополнительный балл для компенсации оценки за текущий контроль.
В диплом ставится оценка за итоговый контроль, которая является результирующей оценкой по учебной дисциплине.

10Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

10.1Базовый учебник

Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. - М.: Наука, 1985.

10.2Основная литература




Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. - М.: Наука, 1985.



Кнапп Э. Эллиптические кривые. - М.: Факториал Пресс, 2004.



Ленг С. Алгебра. - М.: Мир, 1968.



Ленг С. Алгебраические числа. - М.: Мир, 1972.



Серр Ж.-П. Курс арифметики. - М.: Мир, 1972

10.3Дополнительная литература




Коблиц Н. p-адические числа, p-адический анализ и дзета-функции. - М.: Мир, 1982.



Манин Ю. И., Панчишкин А. А. Введение в современную теорию чисел. - М.: МЦНМО, 2009.







Театр превосходно обходился без режиссеров приблизительно две тысячи пятьсот тридцать пять лет. Уолтер Керр
ещё >>