Программа дисциплины Спецкурс «Топологические векторные пространства» для направления 010100. 62 «Математика» - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Программа дисциплины Спецкурс «Гомологическая алгебра» для направления... 1 101.74kb.
Программа дисциплины Спецкурс «Теория представлений в нецелых размерностях»... 1 99.43kb.
Программа дисциплины Спецкурс «Дополнительные главы теории чисел... 1 128.3kb.
Программа дисциплины Спецкурс «Алгебраические кривые: по направлению... 1 104.19kb.
Программа дисциплины Спецкурс «Доказательства и вычисления» для направления... 1 89.98kb.
Программа дисциплины Спецкурс для направления 010100. 62 «Математика»... 1 215.9kb.
Программа дисциплины нис «Модулярные формы»  для направления 010100. 1 155.71kb.
Программа дисциплины Инварианты и представления классических групп... 1 306kb.
Программа дисциплины нис для направления 010100. 62 «Математика»... 1 182.1kb.
Программа дисциплины Математические методы естественных наук  для... 1 168.93kb.
Программа дисциплины «Теория чисел» 1 151.99kb.
Кандидат наук 1 166.56kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

Программа дисциплины Спецкурс «Топологические векторные пространства» для направления - страница №1/1




Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Спецкурс «Топологические векторные пространства» для направления

010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и

010100.68 «Математика» подготовки магистра





Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"

Факультет Математики

Программа дисциплины Спецкурс «Топологические векторные пространства»


для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра

и направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра

Автор программы:

[Пирковский А.Ю., к.ф.-м.н., доц., apirkovskii@hse.ru]

Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2012 г.

Председатель С.М. Хорошкин

Утверждена УС факультета математики «___»_____________2012 г.

Ученый секретарь Ю.М. Бурман_____________________

Москва, 2012



Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.


1Область применения и нормативные ссылки


Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.

Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра.



Программа разработана в соответствии с:

  • ГОС ВПО;

  • Образовательными программами: 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра.

  • Рабочими учебными планами университета: по направлению 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и по направлению 010100.68 «Математика» подготовки магистра, специализации Математика, утвержденными в 2012 г.



2Цели освоения дисциплины


Целями освоения дисциплины «Топологические векторные пространства» являются создание у учащихся целостного представления об идеях и методах теории топологических векторных пространств и о некоторых ее приложениях в теории обобщенных функций и геометрии, выработка умения работать с конкретными топологическими векторными пространствами, возникающими в различных аналитических и геометрических задачах.

3Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины


В результате освоения дисциплины студент должен:

  • Знать об основных понятиях теории топологических векторных пространств.

  • Уметь решать различные задачи, связанные с использованием техники обратных и прямых пределов, теории двойственности, теории топологических тензорных произведений применительно к конкретным топологическим векторным пространствам.

  • Иметь навыки применения теории топологических векторных пространств к различным задачам анализа и геометрии.



4Место дисциплины в структуре образовательной программы


Настоящая дисциплина относится к циклу специальных дисциплин и блоку дисциплин по выбору.
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:

  • Математический анализ, алгебра, функциональный анализ-1.

Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями:

  • Владеть основными понятиями функционального анализа (нормированные, банаховы и гильбертовы пространства, ограниченные линейные операторы), теории меры и интеграла Лебега, общей топологии, линейной алгебры (тензорные произведения векторных пространств).

5Тематический план учебной дисциплины







Название раздела

Всего часов

Аудиторные часы

Самостоя­тельная работа

Лекции

Семинары

Практические занятия

1

Основные понятия и примеры

14

6







8

2

Конструкции

20

9







11

3

Обобщения классических теорем о банаховых пространствах

10

4







6

4

Двойственность

17


7







10

5

Тензорные произведения и ядерные пространства

17

8







9

6

Приложения

12

6







6




Итого:

90

40







50


6Формы контроля знаний студентов


Тип контроля

Форма контроля

1 год

2 год

Параметры **

1

2

3

4

1

2

3

4

Текущий

(неделя)


Контрольная работа










8













Письменная работа 80 минут

Итоговый

Экзамен











V













Письменный экзамен 180 мин

1 контрольная работа

6.1Критерии оценки знаний, навыков



На экзамене студент должен продемонстрировать хорошее умение применять знания, полученные в курсе, к задачам, связанным с использованием техники обратных и прямых пределов, теории двойственности, теории топологических тензорных произведений применительно к конкретным топологическим векторным пространствам.

Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.



6.2Порядок формирования оценок по дисциплине

Накопленная оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по текущему контролю следующим образом:

Онакопленная= Отекущий = Оконтр.работа
Результирующая оценка за дисциплину рассчитывается следующим образом:

Орезульт = 0.2* Онакопл +0.8 *·Озач

Способ округления накопленной оценки промежуточного (итогового) контроля в форме зачета: в пользу студента.


Студент может получить возможность пересдать низкие результаты за текущий контроль.


7Содержание дисциплины





  1. Раздел 1. Основные понятия и примеры.





    Тема

    Всего часов

    Лекции

    семинары

    Самостоятельная работа



    Понятие топологического векторного пространства. Топология, порожденная семейством полунорм. Примеры.

    5

    2




    3



    Локально выпуклые пространства (ЛВП). Эквивалентность локальной выпуклости и полинормируемости.

    4

    2




    2



    Критерии непрерывности полунормы на ЛВП и линейного оператора между ЛВП. Критерии нормируемости и метризуемости.

    5

    2




    3




    Итого:

    114

    16

    3

    28

    Литература по разделу:


Шефер Х. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1971.

Богачев В. И., Смолянов О. Г., Соболев В. И. Топологические векторные пространства и их приложения. РХД, 2012.

Meise, R. and Vogt, D. Introduction to Functional Analysis. Clarendon Press, Oxford, 1997.

Робертсон А. П., Робертсон В. Дж.. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1967.

Treves, F. Topological Vector Spaces, Distributions, and Kernels. Academic Press, New York-London, 1967.

Horváth, J. Topological vector spaces and distributions. Addison-Wesley, 1966.

Эдвардс Р. Функциональный анализ. М.: Мир, 1969.

Jarchow, H. Locally convex spaces. Teubner, Stuttgart, 1981.

Köthe, G. Topological Vector Spaces. Vol I, Springer, 1969.

Бурбаки, Н. Топологические векторные пространства. М.: ИЛ, 1959.

Khaleelulla, S. M. Counterexamples in topological vector spaces. Springer, 1982.





  1. Раздел 2. Конструкции.



    Тема

    Всего часов

    Лекции

    семинары

    Самостоятельная работа



    Факторпространства.

    2

    1




    1



    Проективные топологии. Произведения. Обратные пределы

    4

    2




    2



    Индуктивные топологии. Прямые суммы. Прямые пределы.

    5

    2




    3



    Топологии на пространствах отображений

    2

    1




    1



    Полнота. Пополнение

    3

    1




    2



    Топологические тензорные произведения

    4

    2




    2




    Итого:

    120

    19

    3

    211

    Литература по разделу:





Шефер Х. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1971.

Богачев В. И., Смолянов О. Г., Соболев В. И. Топологические векторные пространства и их приложения. РХД, 2012.

Meise, R. and Vogt, D. Introduction to Functional Analysis. Clarendon Press, Oxford, 1997.

Робертсон А. П., Робертсон В. Дж.. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1967.

Treves, F. Topological Vector Spaces, Distributions, and Kernels. Academic Press, New York-London, 1967.

Horváth, J. Topological vector spaces and distributions. Addison-Wesley, 1966.

Jarchow, H. Locally convex spaces. Teubner, Stuttgart, 1981.

Köthe, G. Topological Vector Spaces. Vol I, Springer, 1969; Vol. II, Springer, 1979.

Бурбаки, Н. Топологические векторные пространства. М.: ИЛ, 1959.

Grothendieck, A. Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires. Mem. Amer. Math. Soc. 1955, no. 16A.

Taylor, J. L. Notes on locally convex topological vector spaces. Univ. of Utah, 1995.

Thomas, E. Nuclear spaces and topological tensor products. 2001.

Douady, R. Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires. In: “Quelques problèmes de modules'' (Sém. Géom. Anal. École Norm. Sup., Paris, 1971-1972), pp. 7-32. Asterisque, No. 16, Soc. Math. France, Paris, 1974.

Khaleelulla, S. M. Counterexamples in topological vector spaces. Springer, 1982.

Ryan, R. Tensor products of Banach spaces. Springer, 2002.

Grothendieck, A. Résumé de la théorie métrique des produits tensoriels topologiques. Bol. Soc. Mat. São Paulo 8 (1953), 1-79.

Diestel, J., Fourie, J. H., and Swart, J. The metric theory of tensor products. Grothendieck's Résume revisited. AMS, 2008.

Defant, A. and Floret, K. Tensor norms and operator ideals. North-Holland, 1993.






  1. Раздел 3. Обобщения классических теорем о банаховых пространствах





    Тема

    Всего часов

    Лекции

    семинары

    Самостоятельная работа



    Борнологические и бочечные пространства.

    3

    1




    2



    Равностепенная непрерывность. Теоремы Банаха-Штейнгауза и Банаха-Алаоглу-Бурбаки.

    4

    2




    2



    Теорема Банаха об открытом отображении, об обратном операторе и о замкнутом графике для пространств Фреше

    3

    1




    2




    Итого:

    110

    14

    3

    26

    Литература по разделу:


Шефер Х. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1971.

Богачев В. И., Смолянов О. Г., Соболев В. И. Топологические векторные пространства и их приложения. РХД, 2012.

Meise, R. and Vogt, D. Introduction to Functional Analysis. Clarendon Press, Oxford, 1997.

Робертсон А. П., Робертсон В. Дж.. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1967.

Treves, F. Topological Vector Spaces, Distributions, and Kernels. Academic Press, New York-London, 1967.

Horváth, J. Topological vector spaces and distributions. Addison-Wesley, 1966.

Эдвардс Р. Функциональный анализ. М.: Мир, 1969.

Jarchow, H. Locally convex spaces. Teubner, Stuttgart, 1981.

Köthe, G. Topological Vector Spaces. Vol I, Springer, 1969; Vol. II, Springer, 1979.

Бурбаки, Н. Топологические векторные пространства. М.: ИЛ, 1959.

Taylor, J. L. Notes on locally convex topological vector spaces. Univ. of Utah, 1995.

Pérez Carreras, P. and Bonet, J. Barrelled locally convex spaces. North-Holland, 1987.

Khaleelulla, S. M. Counterexamples in topological vector spaces. Springer, 1982.





  1. Раздел 4. Двойственность



    Тема

    Всего часов

    Лекции

    семинары

    Самостоятельная работа



    Дуальные пары и слабые топологии. Поляры и аннуляторы. Теорема о биполяре.

    5

    2




    3



    Топологии, согласованные с двойственностью. Теорема Макки-Аренса. Топология Макки. Сильная топология. Теоремы Банаха-Макки и Макки. Следствия.

    5

    2




    3



    Полурефлексивные и рефлексивные пространства. Двойственность и конструкции. Двойственность и линейные операторы. Точные последовательности пространств Фреше.

    7

    3




    4




    Итого:

    117

    17

    3

    210

    Литература по разделу:





Шефер Х. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1971.

Богачев В. И., Смолянов О. Г., Соболев В. И. Топологические векторные пространства и их приложения. РХД, 2012.

Meise, R. and Vogt, D. Introduction to Functional Analysis. Clarendon Press, Oxford, 1997.

Робертсон А. П., Робертсон В. Дж.. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1967.

Treves, F. Topological Vector Spaces, Distributions, and Kernels. Academic Press, New York-London, 1967.

Horváth, J. Topological vector spaces and distributions. Addison-Wesley, 1966.

Эдвардс Р. Функциональный анализ. М.: Мир, 1969.

Jarchow, H. Locally convex spaces. Teubner, Stuttgart, 1981.

Köthe, G. Topological Vector Spaces. Vol I, Springer, 1969; Vol. II, Springer, 1979.

Бурбаки, Н. Топологические векторные пространства. М.: ИЛ, 1959.

Taylor, J. L. Notes on locally convex topological vector spaces. Univ. of Utah, 1995.

Pérez Carreras, P. and Bonet, J. Barrelled locally convex spaces. North-Holland, 1987.

Khaleelulla, S. M. Counterexamples in topological vector spaces. Springer, 1982.




  1. Раздел 5. Тензорные произведения и ядерные пространства





    Тема

    Всего часов

    Лекции

    семинары

    Самостоятельная работа



    Ядерные операторы

    2

    1




    1



    Ядерные пространства. Основные свойства. Примеры

    4

    2




    2



    Совпадение проективного и инъективного тензорных произведений для ядерных пространств. Операторная интерпретация тензорных произведений.

    5

    2




    3



    Операторы Гильберта-Шмидта и абсолютно суммирующие операторы. Теорема Гротендика о факторизации. Характеризация ядерных пространств.

    6

    3




    3




    Итого:

    117

    18

    3

    29

    Литература по разделу:





Шефер Х. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1971.

Meise, R. and Vogt, D. Introduction to Functional Analysis. Clarendon Press, Oxford, 1997.

Treves, F. Topological Vector Spaces, Distributions, and Kernels. Academic Press, New York-London, 1967.

Пич А. Ядерные локально выпуклые пространства. М.: Мир, 1967.

Jarchow, H. Locally convex spaces. Teubner, Stuttgart, 1981.

Grothendieck, A. Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires. Mem. Amer. Math. Soc. 1955, no. 16A.

Taylor, J. L. Notes on locally convex topological vector spaces. Univ. of Utah, 1995.

Thomas, E. Nuclear spaces and topological tensor products. 2001.

Douady, R. Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires. In: “Quelques problèmes de modules'' (Sém. Géom. Anal. École Norm. Sup., Paris, 1971-1972), pp. 7-32. Asterisque, No. 16, Soc. Math. France, Paris, 1974.




  1. Раздел 6. Приложения





    Тема

    Всего часов

    Лекции

    семинары

    Самостоятельная работа



    Обобщенные функции. Теорема Шварца о ядре.

    4

    2




    2



    Пучки и когомологии. Комплексные многообразия. Когерентные пучки. Теорема Шварца о компактных возмущениях. Теорема конечности Картана-Серра.

    8

    4




    4




    Итого:

    112

    16

    3

    26

    Литература по разделу:





Treves, F. Topological Vector Spaces, Distributions, and Kernels. Academic Press, New York-London, 1967.

Horváth, J. Topological vector spaces and distributions. Addison-Wesley, 1966.

Taylor, J. L. Notes on locally convex topological vector spaces. Univ. of Utah, 1995.

Thomas, E. Nuclear spaces and topological tensor products. 2001.

Эдвардс Р. Функциональный анализ. М.: Мир, 1969.

Douady, R. Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires. In: “Quelques problèmes de modules'' (Sém. Géom. Anal. École Norm. Sup., Paris, 1971-1972), pp. 7-32. Asterisque, No. 16, Soc. Math. France, Paris, 1974.

Р. Ганнинг, Х. Росси. Аналитические функции многих комплексных переменных. М.: Мир, 1969.

Р. Уэллс. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях. М.: Мир, 1976.

Гриффитс Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии. Т. I. М.: Мир, 1982.

Demailly, J.-P. Complex analytic and differential geometry. Université de Grenoble I, 2009.




8Образовательные технологии




8.1Методические рекомендации преподавателю

8.2Методические указания студентам




9Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента

9.1Тематика заданий текущего контроля


Примерные задания для контрольной работы:

  1. Докажите, что прямая сумма семейства локально выпуклых пространств метризуема тогда и только тогда, когда число слагаемых конечно и все они метризуемы.

  2. С помощью функций Эрмита постройте топологический изоморфизм между пространством Шварца и пространством быстро убывающих последовательностей.

  3. Докажите полноту пространства ростков голоморфных функций в точке.



9.2Вопросы для оценки качества освоения дисциплины


  1. Докажите, что топологическое векторное пространство локально выпукло тогда и только тогда, когда его топология порождается семейством полунорм. Приведите несколько примеров локально выпуклых пространств.

  2. Сформулируйте и докажите критерий метризуемости локально выпуклого пространства. Приведите примеры метризуемых и неметризуемых локально выпуклых пространств.

  3. Дайте определение факторполунормы и фактортопологии. Докажите универсальное свойство факторпространств.

  4. Дайте определение проективной топологии. Дайте определение и предъявите конструкцию обратного предела локально выпуклых пространств. Представьте пространство гладких функций на многообразии в виде обратного предела банаховых пространств.

  5. Дайте определение индуктивной локально выпуклой топологии. Дайте определение и предъявите конструкцию прямого предела локально выпуклых пространств. Представьте пространство ростков голоморфных функций в точке в виде прямого предела банаховых пространств.

  6. Дайте определение топологии равномерной сходимости на семействе ограниченных множеств. Укажите ее базу в нуле. Сравните сильную операторную и слабую операторную топологии.

  7. Дайте определение пополнения локально выпуклого пространства. Докажите теорему существования пополнения и теорему о представлении полного локально выпуклого пространства в виде обратного предела банаховых пространств.

  8. Дайте определение проективного и инъективного тензорных произведений локально выпуклых пространств. Докажите их функториальные свойства.

  9. Докажите теорему о проективном тензорном произведении пространств типа L^1, об инъективном тензорном произведении пространств типа C(K) и о тензорных произведениях пространств голоморфных функций.

  10. Докажите, что полные проективные и инъективные тензорные произведения коммутируют с приведенными обратными пределами.

  11. Дайте определение борнологических и бочечных пространств, приведите соответствующие примеры и контрпримеры.

  12. Сформулируйте и докажите теоремы Банаха-Штейнгауза и Банаха-Алаоглу-Бурбаки.

  13. Сформулируйте и докажите теоремы Банаха об открытом отображении, об обратном операторе и о замкнутом графике для пространств Фреше.

  14. Дайте определение слабой топологии для дуальных пар. Сформулируйте и докажите теорему о биполяре.

  15. Сформулируйте и докажите теорему Макки-Аренса. Дайте определение топологии Макки и сильной топологии. Приведите примеры ситуаций, когда эти топологии совпадают и когда не совпадают.

  16. Дайте определения полурефлексивных и рефлексивных пространств, приведите соответствующие примеры и контрпримеры.

  17. Сформулируйте и докажите теорему о точных последовательностях пространств Фреше.

  18. Дайте несколько эквивалентных определений ядерных пространств и докажите их эквивалентность.

  19. Докажите свойства перманентности ядерности. Приведите примеры ядерных пространств.

  20. Докажите совпадение проективного и инъективного тензорных произведений для ядерных пространств.

  21. Докажите точность функтора полного тензорного произведения на ядерное пространство Фреше. Дайте операторную интерпретацию тензорных произведений для ядерных пространств.

  22. Дайте определение абсолютно суммирующего оператора. Сформулируйте и докажите теорему Гротендика о факторизации.

  23. Сформулируйте и докажите теорему о характеризации ядерных пространств в терминах тензорных произведений.

  24. Дайте определения пространств обобщенных функций, обобщенных функций с компактным носителем (два эквивалентных определения) и обобщенных функций умеренного роста. Сформулируйте и докажите теорему Шварца о ядре.

  25. Сформулируйте и докажите теорему Шварца о компактных возмущениях. Выведите из нее теорему Картана-Серра о конечномерности когомологий когерентных аналитических пучков на компактных комплексных многообразиях.

10Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

10.1Базовый учебник


Шефер Х. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1971.

10.2Основная литература


Богачев В. И., Смолянов О. Г., Соболев В. И. Топологические векторные пространства и их приложения. РХД, 2012.

Meise, R. and Vogt, D. Introduction to Functional Analysis. Clarendon Press, Oxford, 1997.


10.3Дополнительная литература

Робертсон А. П., Робертсон В. Дж.. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1967.

Treves, F. Topological Vector Spaces, Distributions, and Kernels. Academic Press, New York-London, 1967.

Horváth, J. Topological vector spaces and distributions. Addison-Wesley, 1966.

Эдвардс Р. Функциональный анализ. М.: Мир, 1969.

Пич А. Ядерные локально выпуклые пространства. М.: Мир, 1967.

Jarchow, H. Locally convex spaces. Teubner, Stuttgart, 1981.

Köthe, G. Topological Vector Spaces. Vol I, Springer, 1969; Vol. II, Springer, 1979.

Бурбаки, Н. Топологические векторные пространства. М.: ИЛ, 1959.

Grothendieck, A. Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires. Mem. Amer. Math. Soc. 1955, no. 16A.

Taylor, J. L. Notes on locally convex topological vector spaces. Univ. of Utah, 1995.

Thomas, E. Nuclear spaces and topological tensor products. 2001.

Douady, R. Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires. In: “Quelques problèmes de modules'' (Sém. Géom. Anal. École Norm. Sup., Paris, 1971-1972), pp. 7-32. Asterisque, No. 16, Soc. Math. France, Paris, 1974.

Pérez Carreras, P. and Bonet, J. Barrelled locally convex spaces. North-Holland, 1987.

Khaleelulla, S. M. Counterexamples in topological vector spaces. Springer, 1982.

Ryan, R. Tensor products of Banach spaces. Springer, 2002.

Grothendieck, A. Résumé de la théorie métrique des produits tensoriels topologiques. Bol. Soc. Mat. São Paulo 8 (1953), 1-79.

Diestel, J., Fourie, J. H., and Swart, J. The metric theory of tensor products. Grothendieck's Résume revisited. AMS, 2008.

Defant, A. and Floret, K. Tensor norms and operator ideals. North-Holland, 1993.

Р. Ганнинг, Х. Росси. Аналитические функции многих комплексных переменных. М.: Мир, 1969.

Р. Уэллс. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях. М.: Мир, 1976.

Гриффитс Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии. Т. I. М.: Мир, 1982.



Demailly, J.-P. Complex analytic and differential geometry. Université de Grenoble I, 2009.




В борьбе с мафией мафия на нашей стороне. Аркадий Давидович
ещё >>