Программа дисциплины Спецкурс «Теория представлений в нецелых размерностях» для направления 010100. 62 «Математика» - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Программа дисциплины Спецкурс «Гомологическая алгебра» для направления... 1 101.74kb.
Программа дисциплины Спецкурс «Дополнительные главы теории чисел... 1 128.3kb.
Программа дисциплины Спецкурс «Топологические векторные пространства»... 1 199.28kb.
Программа дисциплины Спецкурс «Алгебраические кривые: по направлению... 1 104.19kb.
Программа дисциплины Спецкурс «Доказательства и вычисления» для направления... 1 89.98kb.
Программа дисциплины Спецкурс для направления 010100. 62 «Математика»... 1 215.9kb.
Программа дисциплины нис «Модулярные формы»  для направления 010100. 1 155.71kb.
Программа дисциплины «Теория чисел» 1 151.99kb.
Программа дисциплины Инварианты и представления классических групп... 1 306kb.
Программа дисциплины нис для направления 010100. 62 «Математика»... 1 182.1kb.
Программа дисциплины Математические методы естественных наук  для... 1 168.93kb.
Международное движение по открытому доступу к научному и гуманитарному... 1 216.86kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

Программа дисциплины Спецкурс «Теория представлений в нецелых размерностях» для направления - страница №1/1

Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"

Факультет Математики



Программа дисциплины Спецкурс «Теория представлений в нецелых размерностях»

для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра

и направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра

Автор программы:

Рыбников Л.Г., к.ф.-м.н., leo.rybnikov@gmail.com

Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2011 г.

Председатель С.К.Ландо
Утверждена УС факультета математики «___»_____________2011 г.

Ученый секретарь Ю.М. Бурман ________________________

Москва, 2011

Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.

1Область применения и нормативные ссылки


Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.

Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра.



Программа разработана в соответствии с:

  • ГОС ВПО;

  • Образовательными программами: 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра.

  • Рабочими учебными планами университета: по направлению 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и по направлению 010100.68 «Математика» подготовки магистра, специализации Математика, утвержденными в 2011 г.


2Цели освоения дисциплины


Целями освоения дисциплины "Теория представлений в нецелых размерностях" являются

  1. получение представления об основных структурах, объектах и задачах теории представлений алгебраических групп;

  2. получение знания об основных понятиях и результатах классической теории инвариантов;

  3. получение представления о современных методах теории представлений;

  4. развитие математической интуиции.


3Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины


В результате освоения дисциплины студент должен:

  • Знать основные факты теории представлений классических групп.

  • Свободно пользоваться техникой тензорных категорий в представленческих задачах.

  • Приобрести опыт самостоятельного разбора оригинальных статей.


4Место дисциплины в структуре образовательной программы


Настоящая дисциплина относится к циклу специальных дисциплин и блоку дисциплин по выбору.
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:

  • Алгебра, алгебраическая геометрия

Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями:

  • Владение теорией представлений конечных групп (вплоть до классификации неприводимых представлений симметрической группы над полем характеристики нуль). Знание начал алгебраической геометрии (аффинные алгебраические многообразия, функтор точек).

  • Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:

  • Классические группы, их инварианты и представления


5Тематический план учебной дисциплины


1 курс магистратуры



Название раздела

Всего часов

Аудиторные часы

Самостоя­тельная работа

Лекции

Семинары

Практические занятия

1

Представления полной линейной группы, двойственность Шура—Вейля и функторы Шура.

18

8







10

2

Нейтральные таннакиевы категории. Восстановление алгебраической группы по тензорной категории ее представлений.

18

8







10

3

Примеры жестких симметрических тензорных категорий, не допускающих функтора слоя: GL_t, S_t, O_t, где t – непрерывный параметр.

18

8







10

4

Теорема Делиня о существовании (супер) функтора слоя.

18

8







10




Итого:

72

32







40

2 курс магистратуры





Название раздела

Всего часов

Аудиторные часы

Самостоя­тельная работа

Лекции

Семинары

Практические занятия

1

Представления полной линейной группы, двойственность Шура—Вейля и функторы Шура.

30

8







22

2

Нейтральные таннакиевы категории. Восстановление алгебраической группы по тензорной категории ее представлений.

32

8







24

3

Примеры жестких симметрических тензорных категорий, не допускающих функтора слоя: GL_t, S_t, O_t, где t – непрерывный параметр.

32

8







24

4

Теорема Делиня о существовании (супер) функтора слоя.

32

8







24




Итого:

126

32







94


6Формы контроля знаний студентов


Тип контроля

Форма контроля

1 год

Параметры **

1

2

3

4

Текущий

(неделя)


Контрольная работа

*

8







Письменная работа 90 мин

Итоговый

Зачет




v







Устная зачетная работа


6.1Критерии оценки знаний, навыков


Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.

7Содержание дисциплины


  1. Раздел 1 Представления полной линейной группы, двойственность Шура—Вейля и функторы Шура.

На лекциях предполагается разбор следующих тем:

      1. Представления полной линейной группы. 2 ч.

      2. Представления симметрической группы. 2 ч.

      3. Двойственность Шура—Вейля. 2 ч.

      4. Полная приводимость конечномерных представлений полной линейной группы. 2 ч.

Литература по разделу: Вейль Г. Классические группы. Их инварианты и представления. М: ИЛ, 1947 Roger Howe, Perspectives on invariant theory: Schur duality, multiplicity-free actions and beyond. The Schur lectures (1992) (Tel Aviv), 1–182, Israel Math. Conf. Proc., 8, Bar-Ilan Univ., Ramat Gan, 1995. .






  1. Раздел 2 Нейтральные таннакиевы категории. Восстановление алгебраической группы по тензорной категории ее представлений.



На лекциях предполагается разбор следующих тем:

      1. Аксиомы жесткой тензорной категории. 2 ч.

      2. Аффинные групповые схемы и аффинные алгебраические группы. 2 ч.

      3. Тензорные функторы. 2 ч.

      4. Аффинная алгебраическая группа как группа автоморфизмов забывающего функтора (слоя). 2 ч.

Литература по разделу: Deligne, P., and Milne, J.S., Tannakian Categories, in Hodge Cycles, Motives, and Shimura Varieties, LNM 900, 1982, pp. 101-228 .






  1. Раздел 3 Примеры жестких симметрических тензорных категорий, не допускающих функтора слоя: GL_t, S_t, O_t, где t – непрерывный параметр.



На лекциях предполагается разбор следующих тем:

      1. Категория Rep GL_t. Карубиево замыкание и полупростота. 2 ч.

      2. Категория Rep S_t. 2 ч.

      3. Конструкция Кнопа. 2 ч.

      4. Исключительная серия Делиня. 2 ч.

Литература по разделу:J. Comes and V. Ostrik, On blocks of Deligne' category Rep S_t, http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0910/0910.5695v1.pdf.


F.Knop, A construction of semisimple tensor categories. http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0605/0605126v2.pdf.
Akhil Mathew, Categories parametized by schemes and representation theory in complex rank. http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/1006/1006.1381v1.pdf.


  1. Раздел 4 Теорема Делиня о существовании (супер) функтора слоя.

На лекциях предполагается разбор следующих тем:



      1. Примеры алгебраических супергрупп. 2 ч.

      2. Алгебры в произвольной тензорной категории. 2 ч.

      3. Лемма Делиня о функторах Шура. 2 ч.

      4. Доказательство теоремы Делиня. 2 ч.

Литература по разделу:


P. Deligne, Cat´egories tensorielles, Moscow Math. Journal 2 (2002) no. 2, 227-248. (см. также V.Ostrik, Tensor categories (After P.Deligne), http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0401/0401347v1.pdf ).


8Образовательные технологии


На лекции даются необходимые определения и доказываются ключевые теоремы курса, разбираются поучительные примеры. Для самостоятельной работы студентам даются задачи исследовательского характера, требующие работы с источниками.

9Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента

9.1Примеры заданий промежуточного /итогового контроля





  1. Применив конструкцию Кнопа, постройте жесткую тензорную категорию $Rep\ GL_t(\mathbb{F}_q)$, где $q$ фиксировано, а $t$ – параметр.

  2. Покажите, что при $t\in\zz$ категория $Rep\ GL_t$ допускает бесконечное множество попарно неизоморфных тензорных функторов $Rep\ GL_t\to SVect_k$.


10Порядок формирования оценок по дисциплине


Оценка за текущий, промежуточный и итоговый контроль выставляется

по 10-балльной системе.


Результирующая оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по текущему контролю следующим образом:

Отекущий = n1* Ок/р + n2* Осам. работа

Преподаватель оценивает самостоятельную работу студентов: правильность выполнения домашних работ, задания для которых выдаются на семинарских занятиях, правильность решения задач на семинаре. Оценки за самостоятельную работу студента преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Накопленная оценка - Осам. работа определяется перед промежуточным (итоговым) контролем.

Сумма удельных весов должна быть равна единице: ∑ni = 1 Способ округления накопленной оценки текущего контроля в пользу студента.
Результирующая оценка за промежуточный (итоговый) контроль складывается из результатов накопленной результирующей оценки за текущий контроль, удельный вес которой составляет k1 = 0,5 и оценки за экзамен/зачет, удельный вес k2 = 0,5.

Опромежуточный/итоговый = 0,5 * Отекущий + 0,5 * Озачет/экзамен

Способ округления накопленной оценки промежуточного (итогового) контроля в форме зачета/экзамена в пользу студента.


Студент может получить возможность пересдать низкие результаты за текущий контроль.
В диплом ставится оценка за итоговый контроль, которая является результирующей оценкой по учебной дисциплине.

11Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

11.1Базовый учебник


Deligne, P., and Milne, J.S., Tannakian Categories, in Hodge Cycles, Motives, and Shimura Varieties, LNM 900, 1982, pp. 101-228 (см также http://www.jmilne.org/math/xnotes/tc.pdf ).

11.2Основная литература


P. Deligne, Cat´egories tensorielles, Moscow Math. Journal 2 (2002) no. 2, 227-248. (см. также V.Ostrik, Tensor categories (After P.Deligne), http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0401/0401347v1.pdf ).
J. Comes and V. Ostrik, On blocks of Deligne' category Rep S_t, http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0910/0910.5695v1.pdf.
F.Knop, A construction of semisimple tensor categories. http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0605/0605126v2.pdf.
Akhil Mathew, Categories parametized by schemes and representation theory in complex rank. http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/1006/1006.1381v1.pdf.
Вейль Г. Классические группы. Их инварианты и представления. М: ИЛ, 1947

Roger Howe, Perspectives on invariant theory: Schur duality, multiplicity-free actions and beyond. The Schur lectures (1992) (Tel Aviv), 1–182, Israel Math. Conf. Proc., 8, Bar-Ilan Univ., Ramat Gan, 1995.




Некоторые дети так любят школу, что хотят оставаться в ней всю жизнь. Из них-то и выходят ученые. Хуго Штейнхаус
ещё >>