Программа дисциплины Спецкурс «Гомологическая алгебра» для направления 010100. 62 «Математика» - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Программа дисциплины Спецкурс «Дополнительные главы теории чисел... 1 128.3kb.
Программа дисциплины Спецкурс «Теория представлений в нецелых размерностях»... 1 99.43kb.
Программа дисциплины Спецкурс «Топологические векторные пространства»... 1 199.28kb.
Программа дисциплины Спецкурс «Алгебраические кривые: по направлению... 1 104.19kb.
Программа дисциплины Спецкурс «Доказательства и вычисления» для направления... 1 89.98kb.
Программа дисциплины Спецкурс для направления 010100. 62 «Математика»... 1 215.9kb.
Программа дисциплины нис «Модулярные формы»  для направления 010100. 1 155.71kb.
Программа дисциплины Инварианты и представления классических групп... 1 306kb.
Программа дисциплины нис для направления 010100. 62 «Математика»... 1 182.1kb.
Программа дисциплины «Гомологическая алгебра» 1 76kb.
Программа дисциплины Математические методы естественных наук  для... 1 168.93kb.
Вопрос Ответ 1 16.47kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

Программа дисциплины Спецкурс «Гомологическая алгебра» для направления 010100. 62 - страница №1/1

Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"

Факультет Математики

Программа дисциплины Спецкурс «Гомологическая алгебра»

для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра

и направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра

Автор программы:

Посицельский Л.Е., PhD, positselski@yandex.ru
Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2012 г.

Председатель С.М. Хорошкин

Утверждена УС факультета математики «___»_____________2012 г.

Ученый секретарь Ю.М. Бурман_____________________

Москва

2012
Рабочая программа составлена на основе государственных требований к минимуму содержания и уровню подготовки бакалавров и магистров Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, 010100.68 «Математика» подготовки магистра.


Рабочая программа предназначена для методического обеспечения дисциплины основной образовательной программы по направлению 010100.62 «Математика», 010100.68 «Математика».

Пояснительная записка
Автор программ: PhD Л.Е.Посицельский
Требования к студентам: спецкурс рекомендован для студентов бакалавриата и магистратуры. От студентов требуется владение общими базовыми курсами алгебры и топологии.
Аннотация.

Дисциплина «Гомологическая алгебра» предназначена для подготовки бакалавров и магистров по направлению 010100.62 «Математика» и 010100.68 «Математика».


Гомологическая алгебра представляет собой мощный арсенал технических средств, использующийся во многих разделах современной математики, в особенности алгебры и топологии. В свою очередь, эти разделы доставляют ключевые мотивирующие примеры, необходимые для понимания абстрактных алгебраических конструкций. Круг задач, решаемых настоящим курсом, обусловлен таким двояким взаимодействием с этими дисциплинами.
Первая часть курса посвящена теории когомологий и началам теории категорий. Параллельно с с этим на практических занятиях происходит отработка навыков обращения с комплексами и освоение техники диаграммного поиска (первоначальное знакомство с которой студенты уже получили в курсе топологии).
Далее приводится явная конструкция классических производных функторов и рассматривается ряд примеров из алгебраической топологии и коммутативной алгебры, в которых возникает данное понятие. Устанавливается эквивалентность явного и аксиоматического определений классических производных функторов.
Вторая часть курса посвящена изучению производных категорий и взаимосвязи между производными категориями и производными функторами. Вводится более общее понятие триангулированной категории и доказывается, что всякая производная категория является триангулированной. На практических занятиях происходит закрепление этих понятий на примерах из алгебраической геометрии (производные категории когерентных пучков) и теории представлений колчанов (функтор отражений Бернштейна-Гельфанда-Пономарёва).
Цели и задачи изучения дисциплины, ее место в учебном процессе

Цель изучения дисциплины:


  • освоение фундаментальных понятий гомологической алгебры;




  • формирование и развитие у студентов структурно-алгебраического мышления и умения видеть общие алгебраические конструкции в различных областях математики.

Задачи изучения дисциплины:


  • знакомство с основными понятиями гомологической алгебры;




  • освоение техники работы с комплексами и когомологиями (точные последовательности, диаграммный поиск, построение длинной точной последовательности когомологий по короткой точной последовательности комплексов);




  • изучение теории категорий, освоение понятий аддитивной, абелевой, триангулированной, производной категории, производных функторов, их связи с производными категориями.




  • изучение взаимосвязей между гомологической алгеброй и другими разделами математики: алгебраической топологией, коммутативной алгеброй, алгебраической геометрией, теорией представлений.


Тематический план учебной дисциплины




Название темы


Всего часов по дисциплине

В том числе аудиторных

Самостоятельная работа

Всего

Лекции

Семинары

1

Комплексы и когомологии.

10

4

4

0

4

2

Категории и функторы

10

4

4

0

4

3

Классические производные функторы

16

6

6

0

8

4

Примеры и применения производных функторов

10

4

4

0

4

5

Абелевы категории

10

4

4

0

4

6

Производная категория

16

6

6

0

8

7

Триангулированные категории

12

4

4

0

6

8

Морфизмы в производной категории

12

4

4

0

6

9

Производный функтор.

12

4

4

0

6




Итого:

108

40

40

0

50


Базовые учебники




С.И.Гельфанд, Ю.И.Манин. Методы гомологической алгебры. I. Введение в теорию когомологий и производные категории. М.: Наука, 1988.



С. Маклейн. Гомология. М.: Мир, 1966.



А. Гротендик. О некоторых вопросах гомологической алгебры. М.: ИЛ, 1961.



Н. Бурбаки. Алгебра. Глава Х. Гомологическая алгебра. М.: Наука, 1987.



B. Keller. Introduction to abelian and derived categories.



B. Keller. Derived categories and their uses.



Дополнительная литература



7

Р. Хартсхорн. Алгебраическая геометрия. М.: Мир, 1980.

8

Б.А.Дубровин, С.П.Новиков, А.Т.Фоменко. Современная геометрия: методы теории гомологий. М.: Наука, 1984.

9

Годеман Р. Алгебраическая геометрия и теория пучков. М.: ИЛ, 1961.

10

Ж.-П. Серр. Когерентные алгебраические пучки// Собрание сочинений, т.2. М.: МЦНМО, 2004.



Формы контроля
Текущий контроль - решение задач на семинарских занятиях.
Промежуточный контроль - контрольная работа по темам 1-5.
Итоговый контроль — письменный экзамен в конце 4 модуля.

Формула для вычисления итоговой оценки:
Если выполнено D% домашних заданий, K% заданий предлагавшихся на контрольных работах и E% заданий, предлагавшихся на зачётах и экзаменах (в процентах от общего количества всех предлагавшихся задач), то итоговая оценка (по десятибалльной шкале) равна

10 min( 225, D+K+E) / 225
Таким образом для получения отметки 10 достаточно набрать сумму D+K+E=225 (что примерно соответствует выполнению ¾ заданий каждого из видов).
Содержание программы


1. Комплексы и когомологии.
Комплексы. Морфизмы комплексов. Точные последовательности. Длинная точная последовательность когомологий. Гомотопии. Конус морфизма. Примеры вычисления когомологий.
2. Категории и функторы.
Представимые функторы, лемма Йонеды. Точные функторы, точные слева и справа функторы. Функторы гомоморфизмов и тензорного умножения. Проективные и инъективные объекты.
3. Классические производные функторы.
Проективные и инъективные резольвенты, их свойства. Производные функторы - явная конструкция. Длинная точная последовательность производных функторов. Дельта-функтор. Аксиоматическое определение производных функторов, его равносильность явному. Вычисление производных функторов при помощи ациклических резольвент.
4. Примеры и применения производных функторов.
Проективные и инъективные модули над кольцом, их свойства. Функторы Ext и Tor. Проективная и инъективная размерность модуля. Глобальная размерность кольца. Кольца глобальной размерности 0 и 1. Сравнение комплекса и его когомологий. Эквивалентность определений Ext и Tor по двум аргументам. Ext^1 и расширения. Tor и кручение. Tor и кратность пересечения.
5. Абелевы категории.
Аддитивные категории и функторы. Ядра и коядра. Абелевы категории, точные функторы. Сопряжённые функторы. Эквивалентности и строго полные функторы. Расслоенные и корасслоенные произведения. Диаграммный поиск и язык стрелок.
6. Производная категория.
Категория комплексов. Гомотопическая категория комплексов. Квазиизоморфизмы. Универсальное свойство. Локализация категорий. Арифметика дробей. Условия Оре. Категория домиков. Проверка условий Оре для гомотопической категории. Производная категория как локализация гомотопической.
7. Триангулированные категории.
Выделенные треугольники в гомотопической категории, их свойства. Длинные точные последовательности в когомологиях. Аксиомы триангулированной категории и их следствия. Проверка аксиом для гомотопической категории. Точные функторы. Локализация триангулированных категорий. Производная категория триангулированна.
8. Морфизмы в производной категории.
Локализация и факторизация триангулированных категорий. Ацикличные комплексы. Проективные и инъективные резольвенты как сопряжённые функторы к проекции. Полуортогональные разложения. Случай неограниченных производных категорий. Абелева категория как категория 0-комплексов. Группы Ext как морфизмы между i-комплексами. Ext по Йонеде. Умножение в Ext.


9. Производный функтор.
Определения производного функтора: явное и аксиоматическое. Локализация функтора, условия её существования. Построение производного функтора с помощью проективных и инъективных резольвент. Построение производного функтора с помощью ацикличных резольвент. Связь с классическими производными функторами. Производный функтор композиции.





Не каждый, кто потерял веру, так уж сразу стал философом. Ралф Баллер
ещё >>