Программа дисциплины Спецкурс «Дополнительные главы теории чисел 1»  для направления 010100. 62 «Математика» - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Программа дисциплины «Дополнительные главы алгебры» 1 130.22kb.
Программа дисциплины Спецкурс «Гомологическая алгебра» для направления... 1 101.74kb.
Программа дисциплины Спецкурс «Теория представлений в нецелых размерностях»... 1 99.43kb.
Программа дисциплины Спецкурс «Топологические векторные пространства»... 1 199.28kb.
Программа дисциплины Спецкурс «Алгебраические кривые: по направлению... 1 104.19kb.
Программа дисциплины Спецкурс «Доказательства и вычисления» для направления... 1 89.98kb.
Программа дисциплины Спецкурс для направления 010100. 62 «Математика»... 1 215.9kb.
Программа дисциплины «Теория чисел» 1 151.99kb.
Программа дисциплины «Дополнительные главы динамических систем» 1 119.25kb.
Программа дисциплины нис «Модулярные формы»  для направления 010100. 1 155.71kb.
Программа дисциплины Инварианты и представления классических групп... 1 306kb.
Н-юганск рудыкин зарегистрировано Великая теорема Ферма. Нефтеюганск... 1 240.68kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

Программа дисциплины Спецкурс «Дополнительные главы теории чисел 1»  для направления - страница №1/1




Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"

Факультет Математики



Программа дисциплины Спецкурс «Дополнительные главы теории чисел 1»


для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра

и направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра

Автор программы:

Зыкин А. И., к.ф.м.н., PhD, alzykin@gmail.com

Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2011 г.

Председатель С.М. Хорошкин
Утверждена УС факультета математики «___»_____________2011 г.

Ученый секретарь Ю.М. Бурман ________________________

Москва, 2011

Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.

1Область применения и нормативные ссылки


Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.

Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра.



Программа разработана в соответствии с:

  • ГОС ВПО;

  • Образовательными программами: 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра.

  • Рабочими учебными планами университета: по направлению 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и по направлению 010100.68 «Математика» подготовки магистра, специализации Математика, утвержденными в 2011 г.


2Цели освоения дисциплины


Целями освоения дисциплины «Дополнительные главы теории чисел 1» являются создание у учащихся целостного представления об идеях и методах теории чисел, обучение использованию для решения теоретико-числовых задач алгебраических, геометрических и аналитических методов.


3Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины


В результате освоения дисциплины студент должен:

  • Знать об основных понятиях теории чисел.

  • Уметь решать  различные конкретные теоретико-числовые задачи, с использованием теории Галуа, локальных полей, теории Дедекиндовых колец, теории эллиптических кривых.

  • Иметь навыки (приобрести опыт) применения алгебраической и аналитической техники в различных разделах теории чисел.


4Место дисциплины в структуре образовательной программы


Настоящая дисциплина относится к циклу специальных дисциплин и блоку дисциплин по выбору.


5Тематический план учебной дисциплины


1 курс магистратуры



Название раздела

Всего часов

Аудиторные часы

Самостоя­тельная работа

Лекции

Семинары

Практические занятия

1

Кривые над алгебраически незамкнутыми полями

20

8







12

2

Эллиптические кривые – геометрия

23

10







13

3

Эллиптические кривые – арифметика

29

14







15







72

32







40

2 курс магистратуры





Название раздела

Всего часов

Аудиторные часы

Самостоя­тельная работа

Лекции

Семинары

Практические занятия

1

Кривые над алгебраически незамкнутыми полями

40

8

 

 

32

2

Эллиптические кривые – геометрия

41

10

 

 

31

3

Эллиптические кривые – арифметика

45

14

 

 

31

 

 

126

32

 

 

94


6Формы контроля знаний студентов


Тип контроля

Форма контроля

1 год

2 год

Параметры **

1

2

3

4

1

2

3

4

Текущий

(неделя)


Контрольная работа

*

8



















письменная работа, 80 мин.

Итоговый

Зачет




v



















письменная работа, 240 мин


6.1Критерии оценки знаний, навыков


На зачете студент должен продемонстрировать хорошее умение применять знания, полученные в курсе, к конкретным задачам из теории алгебраических кривых, геометрии и арифметики эллиптических кривых и связанным с этими разделами задачам из теории чисел.

Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.


7Содержание дисциплины


  1. Раздел 1. Кривые над алгебраически незамкнутыми полями





    Тема

    Всего часов

    Лекции

    семинары

    Самостоятельная работа



    Аффинные и проективные многообразия: кольцо и поле функций, гладкость, размерность. Отображения многообразий.


    7

    3




    4



    Кривые и отображения между ними. Дивизоры на кривых. Дифференциалы на кривых. Теорема Римана-Роха

    13

    5




    8




    Итого:

    120

    18

    3

    212

    Литература по разделу:


Кнапп Э. Эллиптические кривые. - М.: Факториал Пресс, 2004.

Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. - М.: Мир, 1970.

Silverman J. «The Arithmetic of Elliptic Curves», Springer-Verlag, GTM 106, 1986.




  1. Раздел 2. Эллиптические кривые – геометрия



    Тема

    Всего часов

    Лекции

    семинары

    Самостоятельная работа



    Определение эллиптических кривых. Уравнение в форме Вейерштрасса.

    4

    1




    3



    Групповой закон на эллиптической кривой: касательные, секущие и дивизоры. Автоморфизмы эллиптических кривых.

    4

    1




    3



    Изогении, двойственные изогении. Кольцо эндоморфизмов эллиптической кривой.

    6

    4




    2



    Модуль Тейта. Действие изогений на модуле Тейта. Спаривание Вейля.

    4

    2




    2



    Эллиптические кривые над C как римановы поверхности. P-функция Вейерштрасса и эллиптические интегралы.

    5

    2




    3




    Итого:

    123

    110

    3

    213

    Литература по разделу:


Кнапп Э. Эллиптические кривые. - М.: Факториал Пресс, 2004.

Манин Ю. И., Панчишкин А. А. Введение в современную теорию чисел. - М.: МЦНМО, 2009.

Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. - М.: Мир, 1970.

Cox D., Primes of the form x^2 + ny^2, Pure and Appl. Math., Wiley, 1989.

Silverman J. «The Arithmetic of Elliptic Curves», Springer-Verlag, GTM 106, 1986.





  1. Раздел 3. Эллиптические кривые – арифметика





    Тема

    Всего часов

    Лекции

    семинары

    Самостоятельная работа



    Эллиптические кривые над конечными полями: гипотезы Вейля, суперсингулярность, инвариант Хассе и кольцо эндоморфизмов.

    8

    4




    4



    Когомологии конечных групп. Когомологии Галуа.

    4

    1




    3



    Слабая теорема Морделла-Вейля. Группы Сельмера.

    7

    4




    3



    Теорема Морделла-Вейля: высоты и метод бесконечного спуска.

    6

    3




    3



    Теорема Зигеля о конечности числа целых точек на эллиптических кривых. Теорема Рота о диофантовых приближениях.

    4

    2




    2




    Итого:

    129

    114

    3

    215

    Литература по разделу:


Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. - М.: Наука, 1985.

Кнапп Э. Эллиптические кривые. - М.: Факториал Пресс, 2004.

Ленг С. Алгебраические числа. - М.: Мир, 1972.

Манин Ю. И., Панчишкин А. А. Введение в современную теорию чисел. - М.: МЦНМО, 2009.

Cox D., Primes of the form x^2 + ny^2, Pure and Appl. Math., Wiley, 1989.

Silverman J. «The Arithmetic of Elliptic Curves», Springer-Verlag, GTM 106, 1986.

Silverman J. «Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves», Springer-Verlag, GTM 151, 1995.



8Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента

8.1Тематика заданий текущего контроля


Примерные вопросы для контрольной работы

  1. Вычислите j-инвариант кривой C/Z[i].

  2. Классифицируйте с точностью до изоморфизма эллиптические кривые над F_2 и посчитайте их группы автоморфизмов.

  3. Опишите точки кручения на кривой y^2=x^3+5x+11 над полем рациональных чисел.

8.2Вопросы для оценки качества освоения дисциплины


1. Что такое аффинные и проективные многообразия? Опишите процедуру проективизации аффинного многообразия и её свойства.

2. Что такое дивизоры на кривой? Как они ведут себя при отображениях?

3. Дайте определение дифференциалов на кривой. Как они связаны с морфизмами? Что такое сепарабельность морфизма?

4. Сформулируйте теорему Римана-Роха. Почему у любой эллиптической кривой есть плоская модель?

5. Что такое изогении и двойственные изогении? Классифицируйте кольца эндоморфизмов эллиптических кривых.

6. Опишите связь между решетками и эллиптическими кривыми над полем комплексных чисел.

7. Что такое инвариант Хассе эллиптической кривой? Докажите критерий суперсингулярности в терминах кольца эндоморфизмов.

7. Дайте определение когомологий групп. Что такое когомологии Галуа? Дайте определение групп Сельмера.

8. Сформулируйте и докажите слабую теорему Морделла-Вейля.

9. Что такое высота на проективном пространстве? Как меняются высоты на эллиптических кривых при изогениях? Докажите теорему о существовании канонической высоты.

10. Сформулируйте теорему Зигеля о целых точках на эллиптических кривых и выведите её из теоремы Рота.

9Порядок формирования оценок по дисциплине


Оценка за текущий, промежуточный и итоговый контроль выставляется по 10 балльной

шкале.
Результирующая оценка за итоговый контроль складывается из результатов накопленной результирующей оценки за текущий контроль, удельный вес которой составляет k1 = 0,5 и оценки за зачет, удельный вес k2 = 0,5.



Оитоговый = 0,5 * Отекущий + 0,5 * Озачет

Способ округления накопленной оценки промежуточного (итогового) контроля в форме зачета/экзамена в пользу студента.


Студент может получить возможность пересдать низкие результаты за текущий контроль.
В диплом ставится оценка за итоговый контроль, которая является результирующей оценкой по учебной дисциплине.


10Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

10.1Базовый учебник


Кнапп Э. Эллиптические кривые. - М.: Факториал Пресс, 2004.

10.2Основная литература


Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. - М.: Наука, 1985.

Кнапп Э. Эллиптические кривые. - М.: Факториал Пресс, 2004.

Ленг С. Алгебраические числа. - М.: Мир, 1972.

Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. - М.: Мир, 1970.

Silverman J. «The Arithmetic of Elliptic Curves», Springer-Verlag, GTM 106, 1986.

Silverman J. «Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves», Springer-Verlag, GTM 151, 1995.



10.3Дополнительная литература


Манин Ю. И., Панчишкин А. А. Введение в современную теорию чисел. - М.: МЦНМО, 2009.

Cox D., Primes of the form x^2 + ny^2, Pure and Appl. Math., Wiley, 1989.









Если кто-нибудь от кого-нибудь (от человека, учреждения, правительства) получил взятку, тепленькое местечко или другое даяние, то он благодарен давшему не только по соглашению, из лояльности или из вежливости, но даже идейно, по убеждению, — за что уже не заплачено. Кароль Ижиковский
ещё >>