Программа дисциплины Спецкурс для направления 010100. 62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100. 68 «Математика» подготовки маги - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Программа дисциплины нис для направления 010100. 62 «Математика»... 1 182.1kb.
Программа дисциплины Спецкурс «Дополнительные главы теории чисел... 1 128.3kb.
Программа дисциплины Спецкурс «Теория представлений в нецелых размерностях»... 1 99.43kb.
Программа дисциплины Спецкурс «Топологические векторные пространства»... 1 199.28kb.
Программа дисциплины Спецкурс «Алгебраические кривые: по направлению... 1 104.19kb.
Программа дисциплины Спецкурс «Доказательства и вычисления» для направления... 1 89.98kb.
Программа дисциплины нис «Модулярные формы»  для направления 010100. 1 155.71kb.
Программа дисциплины Инварианты и представления классических групп... 1 306kb.
Программа дисциплины «Теория чисел» 1 151.99kb.
Программа дисциплины «Римановы поверхности» 1 98.85kb.
Программа дисциплины «Дополнительные главы алгебры» 1 130.22kb.
Март Апрель 34 4224.6kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

Программа дисциплины Спецкурс для направления 010100. 62 «Математика» подготовки - страница №1/1




Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Спецкурс « » для направления

010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и

010100.68 «Математика» подготовки магистра





Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"

Факультет Математики

Программа дисциплины Спецкурс «Пространства Тейхмюллера»


для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра

и направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра

Автор программы Шварцман Осип Владимирович, д ф-м н, профессор, ossipsh@gmail.com

Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2012 г.

Председатель С.М. Хорошкин

Утверждена УС факультета математики «___»_____________2012 г.

Ученый секретарь Ю.М. Бурман

Москва, 2012

Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.


1Область применения и нормативные ссылки


Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.

Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра.

Программа разработана в соответствии с:

  • ГОС ВПО;

  • Образовательными программами: 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра.

  • Рабочими учебными планами университета: по направлению 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и по направлению 010100.68 «Математика» подготовки магистра, специализации Математика, утвержденными в 2012 г.


2Цели освоения дисциплины


Цели освоения.

1. Знакомство с теоремой униформизации как главной теоремы 1-мерного комплексного анализа

2. Донести до слушателей важную идею, состоящую в том, что в размерности 1 классы биголоморфных и конформных отображений совпадают

3. Ввести (несколькими способами) пространство Тейхмюллера и объяснить его отличие от пространства модулей.

4. Ввести понятие группы классов отображений и явно ее вычислить в простейших случаях

5. С помощью гиперболической геометрии построить модели пространств Тейхмюллера для ориентируемых поверхностей небольшого рода.


3Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины


В результате освоения дисциплины студент должен:

  • Знать

Точный смысл слов: теорема униформизации, конформное отображение, квазиконформное отображение, группа классов отображений, дискретная группа преобразований, квадратичный дифференциал, пространство Тейхмюллера, пространство модулей.



  • Уметь

  • пользоваться теоремой униформизации ,вычислять группу классов отображений для простейших гиперболических поверхностей конечного типа(например, тор или тор с проколом),вычислять размерности пространств Тейхмюллера, работать в координатах

  • Фенхеля-Нильсена.

  • Иметь навыки (приобрести опыт)

Приобрести начальный опыт исследования семейств римановых поверхностей с помощью техники пространств Тейхмюллера

4Место дисциплины в структуре образовательной программы


Настоящая дисциплина относится к циклу специальных дисциплин и блоку дисциплин по выбору.



Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:



  • Геометрия, Топология, Анализ, Алгебра, Динамические системы1, Комплексный анализ1.

Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями:

  • Для полноценного усвоения спецкурса нужны твердые знания основ всех перечисленных выше дисциплин.



Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:

  • Математическая физика.


5Тематический план учебной дисциплины














Лекции

Семинары

Практические занятия







1 семестр

90

32







58

1

Комплексная и конформная геометрия на поверхностях. Теорема Униформизации

14

6







8

2

Элементарная теория фуксовых групп

14

4







10

3

Пространство Вейля и пространство Тейхмюллера.


14

6







8

4

Группа классов отображений.


12

4







8

5

Пространство модулей

12

4







8

6

Гиперболические поверхности. Пространство Тейхмюллера гиперболических поверхностей

24

8







16

























2 семестр

90

40







50

1

Квазиконформные отображения

18

8







10

2

Квадратичные дифференциалы

18

8







10

3

Пространство Тейхмюллера с точки зрения теории квазиконформных отображений

18

8







10

4

Метрика Тейхмюллера и действие модулярной группы

22

12







10

5

Диски Тейхмюллера

14

4







10




Итого:

180

72







108


6Формы контроля знаний студентов


Тип контроля

Форма контроля

1 год

2 год

Параметры **

1

2

3

4

1

2

3

4

Текущий

(неделя)


Контрольная работа

*

*



















письменная работа, 80 мин.

Итоговый

Зачет

v






















письменная работа, 240 мин




Экзамен




v



















письменная работа, 240 мин

2 контрольные работы


6.1Критерии оценки знаний, навыков


На зачете и экзамене студент должен продемонстрировать хорошее умение применять знания, полученные в курсе, к несложным конкретным задачам ,которые относятся как непосредственно к теории Тейхмюллера, так и связанных с ней разделами анализа, гиперболической геометрии и двумерной топологии.

Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.




7Содержание дисциплины


  1. Раздел 1 Комплексная и конформная геометрия на поверхностях. Теорема Униформизации



    Тема

    Всего часов

    Лекции

    семинары

    Самостоятельная работа



    Теорема Гаусса о локальной конформности [1], [4]

    6

    2




    4



    Теорема Униформизации [1]

    8

    4




    4




    Итого:

    114»

    16

    3

    28



Раздел 2 Элементарная теория фуксовых групп





    Тема

    Всего часов

    Лекции

    семинары

    Самостоятельная работа



    Фундаментальные области Дирихле и Форда [2]

    7

    2




    5



    Теорема Пуанкаре и склейка гиперболических многоугольников [2]

    7

    2




    5




    Итого:

    114»

    14

    3

    210






Итого:

114»

16

3

28

Раздел 3 Пространство Вейля и пространство Тейхмюллера.





    Тема

    Всего часов

    Лекции

    семинары

    Самостоятельная работа



    Пространство дискретных представлений фундаментальной группы поверхности: топология, размерность, действие группы автоморфизмов[1]

    8

    4




    4



    Пространства Тейхмюллера как пространства классов представлений голономии [1,5]

    6

    2




    4




    Итого:

    14

    6

    3

    8



Раздел 4 Группа классов отображений.






    Тема

    Всего часов

    Лекции

    семинары

    Самостоятельная работа



    Группа классов отображений: два определения. Теорема Дена-Нильсена [1,4,5]


    6

    2




    4



    Твисты Дена. Группа классов отображений тора и тора с проколом.[1,5]

    6

    2




    4




    Итого:

    12»

    4




    8



Раздел 5 Пространство модулей





    Тема

    Всего часов

    Лекции

    семинары

    Самостоятельная работа



    Пространство модулей как факторпространство пространства Тейхмюллера по действию группы классов.

    Стабилизаторы точек.[1]



    6

    2




    4



    Пространство Тейхмюллера и пространство модулей проколотого тора.[1]

    6

    2




    4




    Итого:

    12»

    4




    8



Раздел 6. Гиперболические поверхности. Пространство Тейхмюллера гиперболических поверхностей





    Тема

    Всего часов

    Лекции

    семинары

    Самостоятельная работа



    Замкнутые геодезические. Теорема Пуанкаре о единственной геодезической в свободном гомотопическом классе петель и ее следствия.

    .[1,4]


    6

    2




    4



    Геодезические разрезания на панты. Координаты Фенхеля-Нильсена.[1,4,5]

    12

    4




    8



    Лемма о воротнике. Теорема Мамфорда о компактных кусках .[1,5].

    6

    2




    4




    Итого:

    24»

    8




    16






    2 семестр



Раздел 7. Квазиконформные отображения






    Тема

    Всего часов

    Лекции

    семинары

    Самостоятельная работа



    Гладкие квазиконформные отображения. Теорема существования и единственности[1,3,]

    4

    2




    2



    Свойства квазиконформных отображений. Схема доказательства теоремы теоремы существования

    [1,4,]


    10

    4




    6



    Квазиконформные отображения на римановых поверхностях. Схема доказательства теоремы Униформизации

    [1,5].


    4

    2




    2




    Итого:

    18»

    8




    10



Раздел 8. Квадратичные дифференциалы






    Тема

    Всего часов

    Лекции

    семинары

    Самостоятельная работа



    Автоморфные формы фуксовых групп . Полюса и нули квадратичных дифференциалов [1,4,5]

    4

    2




    2



    Производная Шварца и уравнение Шварца [1,3,5]

    10

    4




    6



    Пространство квадратичных дифференциалов. Отображение Берса[1,5].

    4

    2




    2




    Итого:

    18»

    8




    10



Раздел 9. Пространство Тейхмюллера с точки зрения теории квазиконформных отображений





    Тема

    Всего часов

    Лекции

    семинары

    Самостоятельная работа



    Экстремальные квазиконформные отображения [1,3,5]

    4

    2




    2



    Дифференциалы Тейхмюллера. Теорема Тейхмюллера [1,3,5]

    10

    4




    6



    Комплексные модели пространств Тейхмюллера [1,5].

    4

    2




    2




    Итого:

    18»

    8




    10



Раздел 10 Метрика Тейхмюллера и действие модулярной группы






    Тема

    Всего часов

    Лекции

    семинары

    Самостоятельная работа



    Метрика Тейхмюллера и метрика Кобаяши [1,,5]

    7

    4




    3



    Модулярная группа.

    Теорема Ройдена [1,,5]



    8

    4




    4



    Келерова метрика Вейля-Петерсона [1,5].

    7

    4




    3




    Итого:

    22»

    8




    10



Раздел 11 Диски Тейхмюллера





    Тема

    Всего часов

    Лекции

    семинары

    Самостоятельная работа



    Геодезические в пространстве Тейхмюллера [5]

    7

    2




    5



    Диски Тейхмюллера .[5]

    7

    2




    5




    Итого:

    14»

    4




    10


7.1Тематика заданий текущего контроля


Образец контрольной работы

1.Может ли коммутатор двух параболических преобразований быть эллиптическим преобразованием?

2.Рассмотрим на гиперболической поверхности простую замкнутую геодезическую длины а.

Предположим, что ее b-воротник вкладывается в поверхность .Найти площадь этого воротника

3.Найти гиперболическую площадь тора , из которого удалили два открытых диска.

7.2Вопросы для оценки качества освоения дисциплины


Примерный перечень вопросов к зачету (экзамену) по всему курсу или к каждому промежуточному и итоговому контролю для самопроверки студентов.

1Что такое пространство модулей и чем оно отличается от пространства Тейхмюллера?

2 Что такое группа классов отображений ,и почему для сферы эта группа тривиальна?

3 Существуют ли на комплексном торе квадратичные дифференциалы,

отличные от квадрата голоморфного?

4. Можно ли на C\(0) ввести полную метрику постоянной отрицательной кривизны?

5. Верно ли ,что любые два кольца на комплексной плоскости конформно эквивалентны?

квазиконформно эквивалентны?

6. Указать явно метрику Тейхмюллера на пространстве Тейхмюллера тора.

7. Тот же вопрос для метрики Вейля- Петерсона.

8. Что такое метрика Кобаяши? Найти метрику Кобаяши в открытом единичном диске.

9. Построить комплексную модель пространства Тейхмюллера сферы с тремя проколами.

10. Что такое диск Тейхмюллера?

7.3Примеры заданий итогового контроля


Образец задания письменного экзамена

  1. Описать пространство Тейхмюллера для представлений фундаментальной группы окружности в группу SL(2,R);группу SO(3).

2 Доказать ,что простые замкнутые геодезические на торе находятся в биективном соответствии с рациональными числами, к которым добавлен символ «бесконечность»

3. Вычислить группу классов отображений проколотого тора.

4. Указать в группе классов отображений кренделя элемент второго порядка.

5. Найти размерность пространства квадратичных дифференциалов на кренделе.

6. Всякий ли K- квазиконформный гомеоморфизм открытого диска продолжается на его границу?

Основная литература


[1] Абикоф У. Вещественно аналитическая теория пространства Тейхмюллера. Москва:Мир,1985

[2] Бердон А. Геометрия дискретных групп. Москва: Наука,1986.


7.4Дополнительная литература


[3] Альфорс Л. Лекции по квазиконформным отображениям. Москва: Мир, 1969.

[4] Альфорс Л, Берс Л Пространства римановых поверхностей и квазиконформные отображения. Москва:ИЛ,1961.



[5] Imayoshi Y, Taniguchi M (1992) An introduction to Teichmuller spaces. Springer




Доверие нужно завоевать, доверенных можно купить. Веслав Чермак-Новина
ещё >>