Программа дисциплины Инварианты и представления классических групп для направления 010100. 62 «Математика» - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Программа дисциплины Спецкурс «Теория представлений в нецелых размерностях»... 1 99.43kb.
Программа дисциплины Спецкурс «Дополнительные главы теории чисел... 1 128.3kb.
Программа дисциплины Спецкурс «Топологические векторные пространства»... 1 199.28kb.
Программа дисциплины Спецкурс «Алгебраические кривые: по направлению... 1 104.19kb.
Программа дисциплины нис «Модулярные формы»  для направления 010100. 1 155.71kb.
Программа дисциплины Спецкурс «Доказательства и вычисления» для направления... 1 89.98kb.
Программа дисциплины Спецкурс «Гомологическая алгебра» для направления... 1 101.74kb.
Программа дисциплины нис для направления 010100. 62 «Математика»... 1 182.1kb.
Программа дисциплины Спецкурс для направления 010100. 62 «Математика»... 1 215.9kb.
Программа дисциплины Математические методы естественных наук  для... 1 168.93kb.
Программа дисциплины «Римановы поверхности» 1 98.85kb.
Оснащение компьютерной техникой мкоу сош №13 на июнь 2012 1 44.48kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

Программа дисциплины Инварианты и представления классических групп для направления - страница №1/1




Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Национальный исследовательский университет
«Высшая школа экономики»

Факультет Математики




Программа дисциплины Инварианты и представления классических групп

для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра

и направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра

Автор программы: Городенцев А.А., к.ф.-м.н., профессор, gorodentsev@hse.ru


Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2012 г.

Председатель С.М. Хорошкин

Утверждена УС факультета математики_____________________

Москва, 2012



Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.

1Область применения и нормативные ссылки


Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.

Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов по направлению 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра.

Программа разработана в соответствии с:


  • ГОС ВПО;

  • Образовательной программой 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и образовательной программой 010100.68 «Математика» подготовки магистра.

  • Рабочим учебным планом университета по направлению 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра специальности «математика», утвержденным в 2011 г


2Цели освоения дисциплины


Целями освоения дисциплины «Инварианты и представления классических групп» являются изучение строения групп, порождённых отражениями, и классических матричных групп и алгебр Ли, изучение рациональных представлений и полиномиальных инвариантов классических групп и алгебр Ли, а также применение этой техники к решению конкретных задач из различных областей математики и математической физики.


3Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины


В результате освоения дисциплины студент должен:

  • Изучить классификацию систем корней и групп, порождённых отражениями.

  • Овладеть классификационными результатами о представлениях классических комплексных групп Ли GL, SL, SO, Sp и их алгебр Ли, изучить строение этих групп и алгебр.

  • Изучить основные теоремы о полиномиальных и рациональных инвариантах систем векторов в линейных представлениях классических групп.

  • На примере классических групп получить представление об общей структурной теории алгебраических групп, групп Ли и алгебр Ли, а также о решении задач об описании орбит регулярных действий алгебраических групп на алгебраических многообразиях.

  • Приобрести опыт применения техники теории представлений и теории инвариантов классических групп и групп, порождённых отражениями в различных областях математики и математической физики.


Компетенция

Код по ФГОС/ НИУ

Дескрипторы – основные признаки освоения (показатели достижения результата)

Формы и методы обучения, способствующие формированию и развитию компетенции

умение

формулировать результат



ПК-3

Правильно воспроизводит чужие результаты.

Правильно формулирует собственные результаты.



Компетенция формируется в любом сегменте учебного процесса.

Формируется в процессе сдачи домашних задач из листков.



умение строго доказать утверждение

ПК-4

Воспроизводит доказательства стандартных результатов, услышанных на лекциях.

Оценивает строгость и корректность учебных текстов по инвариантам и представлениям классических групп.



Изучение базового курса
За счет повышения обще-физической и математической культуры в процессе обучения

умение грамотно пользоваться языком предметной области

ПК-7

Распознает и воспроизводит названия основных объектов и математических структур, возникающих в теории инвариантов и представлениий классических групп и её применениях.

Владеет и свободно использует профессиональную лексику, относящуюся к инвариантам и представлениям классических групп.



Продумывание и повторение услышанного на семинарах и лекциях.
Беседы с преподавателями во время консультаций и сдачи домашних задач.

понимание корректности постановок задач


ПК-10


Понимание постановки фундаментальных проблем теории инвариантов и представлений классических групп и структуры ответов, решающих эти проблемы.

Понимание зависимости результатов факторизации по действию алгебраических групп на многообразиях от выборов дополнительных геометрических данных: линеаризации действия, данных стабильности и т. п., а также геометрический смысл факторизации: неотделимость полустабильных орбит и т.п.



Продумывание базовых понятий курса

Вырабатывается в процессе освоения курса и решения задач



выделение главных смысловых аспектов в доказательствах


ПК-16


Понимает и воспроизводит ключевые физические принципы и математические приемы базовых рассуждений и построений теории инвариантов и представлений классических групп

Обосновывает и оценивает мотивировки и логические ходы при построении произвольных задач с применениями теории инвариантов и представлений классических групп и алгебр Ли



Продумывание ключевых моментов лекций

Вырабатывается путем активного решения задач, самообразования, общения с преподавателями.





4Место дисциплины в структуре образовательной программы


Настоящая дисциплина относится к циклу общие профессиональные дисциплины и блоку основных дисциплин, обеспечивающих подготовку бакалавров и магистрантов.
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями:

владение курсом алгебры в объёме первых двух курсов;

владение курсом геометрии в объёме первого курса;

владение курсом комплексного анализа.



Желательно также владение и/или параллельное изучение основ алгебраической геометрии и анализа на многообразиях.
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин: алгебры Ли и группы Ли, алгебраические группы, а также любых курсов, в которых изучаются пространства модулей и факторы по действию классических групп и алгебр Ли.

5Тематический план учебной дисциплины




Название раздела

Всего часов

Аудиторные часы

Самостоя­тельная работа

Лекции

Семинары

Практические занятия

1

Классификация групп, порождёных отражениями и систем корней. Инварианты групп, порождённых отражениями.

30

10







20

2

Представления симметрической и полной линейной группы. Двойственность Шура-Вейля.

30

10







20

3

Элементы теории алгебраических групп и их алгебр Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль.

36

12







24

4

    Полиномиальные инварианты систем векторов в линейных представлениях классических групп.

30

10







20

5

    Построение факторов регулярных действий классических групп на алгебраических многообразиях. Критерий стабильности Гильберта-Мамфорда.

30

10







20

6

    Теория представлений симплектических групп

24

8







16

7

    Теория представлений ортогональных групп, алгебры Клиффорда и спиноры.

36

12







24




    Итого

216

72







144

6Формы контроля знаний студентов


Тип контроля

Форма контроля

1 год


Параметры **

1

2

3

4




Текущий (неделя)


Контрольная работа

8




8




Письменная работа

90 минут


Домашние задачи.

1,3,5,7

1,3,5,7

1,3,5,7,9

1,3,5,7,9

Выдаваемый на дом листок с задачами, которые надо письменно решить и сдать преподавателю в течение текущего модуля

Промежуточный

Экзамен





v







Письменный экзамен 240 минут

Итоговый


Экзамен











v

Письменный экзамен

240 минут




6.1Критерии оценки знаний, навыков


Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.

Главная форма текущего контроля - сдача задач из выдаваемых на дом раз в две недели листочков с задачами (в общей сложности 10-15 задач по каждой теме).

В конце 1-го и 3-го модулей проводится письменная классная контрольная работа, на которой студент должен продемонстрировать умение пользоваться основными техническими (вычислительными) приемами, изученными в течение модуля. Предлагается 3-4 вычислительных задачи на 90 минут.

Экзамен проводится после второго модуля (промежуточный) и после 4-го модуля (итоговый) и представляет собой письменную работу продолжительностью 240 минут, в течение которых надо решить 5-6 задач, требующих хорошего понимания происходящего в курсе. Как правило, решение каждой задачи предполагает владение сразу несколькими разделами курса.



7Содержание дисциплины


Раздел 1. Классификация групп, порождёных отражениями и систем корней. Инварианты групп, порождённых отражениями.




Тема

Всего часов

Лекции

Семинары

Самостоятельная работа

Литература



Группы, порождённые отражениями и системы корней, положительные и простые корни, образующие и соотношения.

6

2




4

[4] §1



Классификация связных графов Кокстера, групп порождённых отражениями и групп Вейля.

6

2




4

[2] гл.4,§2 [4] §2

[11] ч.III гл. V



Геометрия систем корней A, B, C, D, E. Классификация правильных многогранников в евклидовых пространствах.

6

2




4

[2] гл.4,§2 [4] §2

[11] ч.III гл. V



Теорема Гильберта о базисе. Оператор Рейнольдса на конечной группе. Инварианты групп, порожденных отражениями: теорема Шевалле и характеризация групп, порождённых отражениями в терминах инвариантов.

В задачах: отыскание степеней базисных инвариантов, использование производящих функций.



6

2




4

[4] §3



Инварианты бинарных групп многогранников.

В задачах: инварианты конечных подгрупп в SL(2,C) и бинар, вычисление инвариантных форм Клейна для конечных подгрупп SL(2,C) и соотношений между ними.



6

2




4

[6] п.0.13,

[7] гл. 2




Итого:

30

10




20





Раздел 2. Представления симметрической и полной линейной группы. Двойственность Шура-Вейля.




Тема

Всего часов

Лекции

Семинары

Самостоятельная работа

Литература

1

Кольцо симметрических функций: стандартные базисы и переходы между ними, функции Шура, формулы Пьери. Исчисление массивов, таблиц и диаграмм Юнга. Формула Якоби-Труди. Правило Литтлвуда-Ричардсона.

6

2




4

[9] гл.1, §2;

[12] гл.6



2

Теория представлений симметрических групп. Симметризаторы Юнга. Модули таблойдов. Модули Шпехта. Стандартные базисы. Кольцо представлений симметрических групп.

6

2




4

[3] §4;

[12] гл.6

3

Полупростые модули над ассоциативной алгеброй, теорема о двойном централизаторе. Разложение тензорной степени $V^{\otimes n}$ как $S_n$-$\GL(V)$ бимодуля. Двойственность Шура-Вейля.

6

2




4

[3]  §5;

[7] гл. 2.2;



[12] гл. 8

4

Неприводимые представления полной линейной группы и их характеры. Проективно-геометрические примеры в малых размерностях.

6

2




4

[1] гл. 4; [10]  §5


5

Разложение Жордана в алгебре матриц gl_n. Полиномиальные функции на матрицах, инвариантные относительно сопряжения полной линейной группой. Теорема Шевалле.

6

2




4

[2] гл. 3 §2;

[13] §15




Итого:

30

10




20





Раздел 3. Элементы теории алгебраических групп и их алгебр Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль.




Тема

Всего часов

Лекции

Семинары

Самостоятельная работа

Литература

1

Определения и простейшие свойства аффинных алгебраических групп: замкнутые подгруппы, замкнутость коммутатора, замкнутость образа регулярного гомоморфизма, регулярное действие, локальная конечность представления в кольце функций при регулярном действии на аффинном алгебраическом многообразии. Теоремы Шевалле о существовании представлений, согласованных с подгруппой.

6

2




4

[2] гл. 3 §1;[13] §7-8

2

Алгебра Ли аффинной алгебраической группы. Присоединённые действия. Экспоненциальное отображение. Дифференциал действия. Связь между регулярными линейными представлениями групп и алгебр.

6

2




4

[2] гл. 3 §3;[13] §9-10

3

Разложение Жордана в алгебраических группах и их алгебрах Ли. Коммутативные унипотентные группы. Коммутативные полупростые группы. Рациональная структура на алгебраическом торе.

6

2




4

[2] гл. 3 §2;

[13] §15-16

4

Представления алгебр sl_2 и sl_3. Полная приводимость. Описание неприводимых модулей. Геометрические примеры в малых размерностях.

6

2




4

[3] §11-13;

[11] ч.III гл. IV

5

Строение алгебр Ли классических групп. Корневые разложения и sl_2-тройки. Формы Киллинга. Отражения. Действие sl_2-троек на весовые пространства представлений. Полная приводимость представлений полупростых алгебр Ли и классических групп.

6

2




4

[2] гл. 4 §1;

[3] §14;[11] ч.I гл. VII



Группы Ли и их алгебры Ли. Алгебраичность компактных вещественных групп Ли.

6

2




4

[2] гл. 1 §2 и гл. 3 §4




Итого:

36

12




24





Раздел 4. Полиномиальные инварианты систем векторов в линейных представлениях классических групп.




Тема

Всего часов

Лекции

Семинары

Самостоятельная работа

Литература

1

Оператор Рейнольдса для линейно-редуктивной группы. Конечная порождённость алгебры инвариантов регулярного действия линейно-редуктивной алгебраической группы на аффинном алгебраическом многообразии.

6

2




4

[6] §3.3

2

Поляризация многочленов. Символический метод описания инвариантов. Полный набор типовых инвариантных форм системы векторов и ковекторов для групп GL и SL

6

2




4

[1] гл. 2 §§6,8;

[6] §9.1-9.3



3

Критерий Игусы. Полные наборы типовых инвариантных форм для групп Sp и SO.

6

2




4

[1], гл. 2 §§9,11-13;

[6] §§4.5, 9.3



4

Соотношения между типовыми инвариантными формами для групп SL и GL.

6

2




4

[1] гл. 2 §14-16;

[6] §9.4-9.5

5

Соотношения между типовыми инвариантными формами для групп Sp и SO.

6

2




4

[1] гл. 2 §17;

[6] §9.4-9.5






Итого:

30

10




20





Раздел 5. Построение факторов регулярных действий классических групп на алгебраических многообразиях. Критерий стабильности Гильберта-Мамфорда.




Тема

Всего часов

Лекции

Семинары

Самостоятельная работа

Литература

1

Геометрические свойства орбит регулярного действия аффинной алгебраической группы на аффинном алгебраическом многообразии. Геометрический фактор (в категории окольцованных топологических пространств) и препятствия к его существоанию в категории алгебраических многообразий. Достаточные условия существования геометричекого фактора в категории алгебраических многообразий.

6

2




4

[6] §4.1-4.2;

[8] гл.II §§2, 3

2

Существование и свойства категорного фактора (в категории алгебраических многообразий) для действия аффинной алгебраической группы на аффинном алгебраическом многообразии.

6

2




4

[6] §4.3-4.4;

[8] гл.II §§3, 4

3

Критерий Гильберта-Мамфорда нестабильности орбиты алгебраического тора. Полярное разложение и разложение Картана для класических групп. Критерий Гильберта-Мамфорда для класических групп.

6

2




4

[6] §5.3-5.4;

[8] гл.III §2;

[16] гл.2

4

Обзор (без подробных доказательств) технологии Мамфорда построения факторов проективных многообразий по действию редуктивной группы.

6

2




4

[6] §4.6;

[8] гл.III §2;

[17] гл.1

5

Примеры факторов: линейные операторы и квадратичные формы, модули гиперэллиптических кривых, тернарные кубические формы, модули Кронеккера.

6

2




4

[6] §0;

[8] гл.I




Итого:

30

10




20





Раздел 6. Теория представлений симплектических групп.




Тема

Всего часов

Лекции

Семинары

Самостоятельная работа

Литература

1

Описание неприводимых представлений группы Sp. Геометрические примеры в малых размерностях. Формула Вейля для характеров.

12

4




8

[3] §§16-17, 24-25

2

Свёртка и умножение на симплектическую форму. Разложение внешней алгебры тавтологического представления на неприводимые представления. Симплектические грассманианы. Двойственность Шура-Вейля для симплектической группы.

12

4




8

[3] §§16-17, 24-25




Итого:

24

8




16





Раздел 7. Теория представлений ортогональных групп,

алгебры Клиффорда и спиноры.




Тема

Всего часов

Лекции

Семинары

Самостоятельная работа

Литература

1

Описание неприводимых представлений группы SO. Геометрические примеры в малых размерностях. Формула Вейля для характеров.

12

4




8

[1] гл.V §§6,7;

[3] §§18-19, 24-25



2

Свёртка и умножение на квадратичную форму. Разложение симметричексой алгебры тавтологического представления на неприводимые представления. Двойственность Шура-Вейля для специальной ортогональной группы.

12

4




8

[1] гл.V §§6,7;

[3] §§18-19, 24-25

3

Алгебра Клиффорда комплексной невырожденной квадратичной формы. Спинорные модули и спинорные группы. Спинорные представления специальной ортогональной группы. Изотропные грассманианы.

12

4




8

[1] гл.V §§8,9;

[3] §20;



[16] гл. II-IV




Итого:

36

12




24






8Образовательные технологии

На лекции даются все необходимые определения, доказываются ключевые теоремы курса,обсуждаются логические и неформальные связи между ними, а также связи с другими разделами математики и математической физики. Кроме того, приводятся примеры использования этих результатов для решения конкретных задач.

После этого студентам выдаётся листок с задачами для самостоятельного решения, содержащий как рутинные упражнения для усвоения стандартных вычислительных приёмов, так и теоремы для самостоятельного доказательства (или прочтения в учебнике), которые будут существенно использоваться в дальнейшем. Задачи должны решаться дома, после чего индивидуально сдаваться (устно или письменно) преподавателям в их присутственные часы и/или во время математических практикумов.

Задачи вызывающие значительные затруднения, коллективно обсуждаются в классе. Студенты, испытывающие затруднения при решении некоторых задач иногда соединяются в группы для совместной работы над не получающейся задачей, возможно, под чьим-нибудь руководством (преподавателя или уже разобравшего задачу студента). Однако, разобранные таким образом задачи всё равно должны сдаваться каждым студентом индивидуально.

Общее число решённых каждым студентом задач в течение каждого модуля учитывается, и оказывает заметное влияние на итоговую отметку за модуль (см. п. 10 ниже). Крайний срок сдачи задач из листков, выдававшихся в каждом модуле – последняя лекция этого модуля.

8.1Методические рекомендации преподавателю

Задачи вызывающие значительные затруднения, коллективно обсуждаются в классе.




9Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента

9.1Тематика заданий текущего контроля


Примеры задач контрольных работ:

  1. Найдите полиномиальные функции на плоскости, инвариантные относительно группы симметрий правильного n-угольника.

  2. Расклассифицируйте однородные кубические формы от двух переменных с точностью до линейной замены переменных.

  3. Найдите размерность неприводимого представления полной линейной группы, заданного диаграммой Юнга.

9.2Примеры заданий промежуточного /итогового контроля


Примеры экзаменационных задач:

1. Вычислите характер неприводимого представления группы Ли Sp(4), заданного диаграммой Юнга.

2. Разложите на неприводимые GL(4)-представлениене Sym^3(V\oplus \Lambda^2V).

3. Выпишите образующие кольца функций на кососимметрических матрицах 6x6, инвариантных относительно сопряжения ортогональными матрицами.


10Порядок формирования оценок по дисциплине


Оценка за текущий, промежуточный и итоговый контроль выставляется по 10-балльной шкале. Студент имеет возможность по согласованию с учебной частью пересдать низкие результаты за контрольные и экзаменационные работы.

Преподаватель учитывает число решённых студентом домашних задач из листков, число решённых задач из контрольных работ и число решённых задач из экзаменационных работ в процентах от общего числа задач, выданных в каждом из видов контроля. Если студент решил L процентов задач из листков, K процентов задач из контрольных и E процентов экзаменационных задач, то его итоговая оценка R вычисляется по формуле


R = min(L+K+E, 225) * 10 / 225
(и округляется до целого числа в соответствии со стандартными правилами). Таким образом, для получения максимальной оценки «10» достаточно сдать 75% заданий в каждом из трёх видов контроля (или любые другие процентные доли с той же суммой).

При вычислении промежуточной оценки после второго модуля учитываются только результаты, полученные в течение первых двух модулей. При вычислении итоговой оценки после 4-го модуля учитываются результаты полученные за весь год.



В диплом ставится оценка за итоговый контроль, которая является результирующей оценкой по учебной дисциплине.

11Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

11.1Базовые учебники


  1. Вейль Г. Классические группы, их инварианты и представления.– М.: УРСС, 2004.

  2. Винберг Э.Б., Онищик А.Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. - М.: «Наука», 1988

  3. Fulton W., Harris J. Representation Theory, a first course. - Graduate Texts in Mathematics 129, 1991, Springer.

  4. Humphreys J.E. Reflection groups and Coxeter groups. - CUP, 1990.

  5. Записки лекций на сайте http://vyshka.math.ru/1213/InvAndRep.php

11.2Основная литература


  1. Винберг Э.Б., Попов В.Л. Теория инвариантов. - В кн. «Алгебраическая геометрия — 4», Итоги науки и техники, Современные проблемы математики, Фундаментальные направления, Т.55, М.: ВИНИТИ, 1989, с.137 — 315.

  2. Ф. Клейн. Лекции об икосаэдре и решении уравнений 5-й степени. М.: УРСС, 2004

  3. Крафт Х. Геометрические методы в теории инвариантов. – М.: «Мир», 1987.

  4. Макдональд И.  Симметрические функции и многочлены Холла. – М.: «Мир», 1984.

  5. Парамонова И.М., Шейнман О.К. Задачи семинара "Алгебры Ли и их приложения".– М.: МЦНМО, 2004.

  6. Серр Ж.П. Алгебры Ли и группы Ли.–М.: Мир, 1969.

  7. Фултон У. Таблицы Юнга и их приложения к теории представлений и геометрии. - М.: МЦНМО, 2006.

  8. Хамфри Дж. Линейные алгебраические группы.– М.: МЦНМО, 2003

11.3Дополнительная литература


  1. Спрингер Т. Теория инвариантов.– М.: Мир, 1981.

  2. Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений.– М.: МЦНМО, 2003

  3. Chevalley C.  The algebraic theory of spinors and Clifford algebras. - In: Сollected works, vol. 2, Springer, 1997, p.206-207

  4. Mumford D., Fogarty J., Kirwan F.  Geometric invariant theory. - 3ed., Springer, 1994






Нет комментариев. Но прошу меня не цитировать. Дан Куэйл
ещё >>