Олимпиада по математике Муниципальный этап 2011–2012 уч г.. 7 класс 1 - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Департамент образования Ярославской области Центр образования школьников... 1 70.84kb.
Всероссийская олимпиада школьников 2-й (муниципальный) этап 11-й... 1 60.18kb.
Всероссийская олимпиада школьников по химии 2012-2013 уч г. 1 69.52kb.
Всероссийская олимпиада школьников по истории. Муниципальный этап. 1 50.8kb.
Департамент образования Ярославской области Центр образования школьников... 1 31.63kb.
2012 год Всероссийская олимпиада школьников по литературе муниципальный... 1 204kb.
Всероссийская олимпиада школьников по экологии, 2011/12 учебный год... 1 183.05kb.
Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по географии... 1 91.3kb.
7–9 класс Дорогой друг! Желаем успеха! 1 19.2kb.
Всероссийская олимпиада школьников по химии 2012-2013 уч г. 1 39.74kb.
Всероссийская олимпиада школьников по математике -2010/2011 уч год. 1 127.98kb.
Решение. Если после обмена шариками у каждого окажется по три одноцветных... 1 69.12kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

Олимпиада по математике Муниципальный этап 2011–2012 уч г.. 7 класс 1 - страница №1/1

Олимпиада по математике

Муниципальный этап 2011–2012 уч. г.

.

7 класс



7.1. В начале каждого летнего месяца цена товара увеличивалась. В августе цена была на 7% больше, чем в июне. Средняя цена товара за три летних месяца оказалась на 4% больше цены в июне. На сколько процентов была повышена цена в июле?

Ответ. На 5%.  Указание. Пусть х – цена товара в июне, у – цена в июле. Тогда из условий задачи имеем: . Отсюда у  = 1,05 х.

7.2. Из трехзначного числа вычли сумму его цифр и получили 765. Найдите вторую цифру исходного числа.

Ответ. 8.  Указание. Пусть – искомое число. Тогда по условию

.

Отсюда , . Поскольку , для делимости числа (85 – у) на 11 цифра у должна быть равно 8. Тогда х = 7. Таким образом, однозначно определены две первых цифры исходного числа (третья цифра – любая).



7.3. Из доски размером 77 клеток вырезана центральная клетка. Можно ли оставшуюся доску разрезать по линиям сетки на "доминошки" (прямоугольники 21) так, чтобы число горизонтальных и вертикальных "доминошек" было одинаковым?

Ответ. Можно.  Указание. См. рисунок.

7.4. В спичечной коробке 40 спичек. Как, используя все спички, составить квадрат и (отдельно) равносторонний треугольник? Приведите все возможные решения.

Ответ. Есть 3 решения: 1) х = 1, у = 12; 2) х = 4, у = 8; 1) х = 7, у = 4, где х(спичек) – сторона квадрата, у(спичек) – сторона треугольника.  Указание. Пусть х (спичек) – сторона квадрата, у(спичек) – сторона треугольника. Тогда из условия задачи

Поэтому число (10 – х) делится на 3, а значит, х равен либо 1, либо 4, либо 7. Соответственно, у принимает значение либо 12, либо 8, либо 4.



7.5. Найдите наименьшее натуральное число, которое делится на 65 и записывается при помощи повторения одной и той же цифры.

Ответ. 555 555. Указание. Пусть в искомом числе повторяется цифра х, т.е. число имеет вид . Поскольку 65 = 513, то в случае, когда х  5, на 65 должно делиться число , которое меньше исходного в х раз. Значит, в минимальном числе, делящемся на 65, х = 5, а делится на 13. Приписывая к числу 111 справа последовательно по единице и деля столбиком на 13, через 3 шага придем к делению без остатка: 111 111 = 854713.

8 класс

8.1. В начале каждого летнего месяца цена товара увеличивалась. В августе цена товара была на 7% больше, чем в июне. Средняя цена товара за три летних месяца оказалась на 4% больше цены в июне. На сколько процентов была повышена цена в июле?d2

Ответ. На 5%.  Указание. См.7.1.

8.2. Из четырехзначного числа вычли сумму его цифр и получили 9765. Найдите вторую и третью цифры исходного числа.

Ответ. Вторая цифра 7, третья цифра 9.  Указание. Пусть – искомое число. Рассуждая так же, как при решении задачи 7.2, получим уравнение 111x + 11y + z = 1085. Поскольку ,то , т.е. x > 8. Значит, x = 9, и тогда и (для делимости на 11) z должно равняться 9, поэтому у = 7.

8.3. На координатной плоскости начерчены два графика: yи (). Пусть А – точка пересечения первого графика с осью Ох, В – точка пересечения второго графика с осью Оу, С – точка пересечения графиков. Докажите, что  ABC равнобедренный.

Указание. Приравнивая к нулю значении у и х для первой и второй функции, соответственно, получим, что точка А имеет координаты ., ; точка В имеет координаты ,. Координата x точки С получаются из уравнения , затем подставляя найденное значение х. в любую из функций, находим координату y точки С. Тогда . Таким образом,  ABC симметричен относительно прямой у = х, проходящей через точку С. Значит, СА = СВ.

8.4. В четырехугольнике ABCD проведена диагональ АС. Оказалось, что угол АСВ тупой и AB = CD. Докажите, что угол ADC острый.

Указание. Предположим, от противного, что угол D не острый. Тогда в  ACD имеем AC > CD. Но в  AВC против тупого угла ACВ лежит бóльшая сторона АВ > AC. Таким образом, . Противоречие с условием .

8.5. За круглым столом собрались рыцари и лжецы, всего 13 человек. (Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Сидящие за столом знают, кто есть кто). На вопрос вновь пришедшего " Рыцарь или лжец сидит справа от тебя:?" 12 человек ответили: "лжец". Что ответил 13-й человек?

Ответ. "Рыцарь".  Указание. Пусть А – тот 13-й человек, ответом которого мы интересуемся. Пронумеруем сидящих за столом подряд против часовой стрелки, начиная с соседа справа от А. Могут быть два случая: либо первый человек рыцарь, либо лжец. В первом случае второй человек – лжец, и тогда третий человек – рыцарь, и т.д. до 12-го человека рыцари и лжецы чередуются. Поскольку 12-й человек лжец, то 13-й – рыцарь, и, значит, про первого человека он скажет "рыцарь". Аналогично, во втором случае получаем чередующуюся последовательность лжецов и рыцарей, т.е. 12-й человек – рыцарь, а 13-й – лжец. Значит, про первого (лжеца) он скажет "рыцарь".

9 класс

9.1. Докажите неравенство .

Указание. При имеем неравенство , которое приводит к очевидному неравенству . При имеем , которое можно записать в виде . Таким образом, при всех а исходное неравенство верно.

9.2. На координатной плоскости начерчены два графика: yи (). Пусть А – точка пересечения первого графика с осью Ох, В – точка пересечения второго графика с осью Оу, С – точка пересечения графиков. а) Докажите, что  ABC равнобедренный. б) Может ли  ABC быть прямоугольным?

Ответ. б) Нет, не может.  Указание. а) См. задачу 8.3; б) Пусть О – начало координат. Из решения задачи 8.3. следует, что четырехугольник АОВС симметричен относительно диагонали ОС. Если, от противного, предположить, что  АСВ = 90, то мы получим, что АОВС – квадрат, и тогда . Но (см. решение задачи 8.3). Таким образом, получаем противоречие.

9.3. Найдите наименьшее натуральное число, которое делится на 104 и записывается при помощи повторения одной и той же цифры.

Ответ. 888 888 .  Указание. См. аналогичную задачу 7.5 (здесь надо разложить 104 = 813 и поэтому х = 8).

9.4. В треугольнике АВС угол В острый. Докажите, что медиана, проведенная из вершины В, больше половины любой из сторон  ABC.

Указание. Пусть М – середина стороны АС, D – точка, симметричная вершине В относительно точки М. Тогда АВCD – параллелограмм, в котором М – точка пересечения диагоналей. Угол BAD тупой, т.к. он равен  ВАС +  ВСА = 180 –  В. Поэтому точки А и С лежат внутри окружности с центром М радиуса ВМ. Значит, отрезки АВ, ВС и АС меньше диаметра BD (= 2BM) этой окружности.

9.5. За круглым столом собрались рыцари и лжецы, всего 13 человек. (Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Сидящие за столом знают, кто есть кто). На вопрос вновь пришедшего " Рыцарь или лжец сидит справа от тебя:?" 12 человек ответили: "лжец". Что ответил 13-й человек?

Ответ. "Рыцарь".  Указание. См. задачу 8.5.

10 класс

10.1. Докажите неравенство ..

Указание. При неравенство приводим к виду , а при – к виду .

10.2. Можно ли 2011 представить в виде суммы нескольких (больше двух) последовательных натуральных чисел?

Ответ. Нельзя.  Указание. Пусть . Тогда из формулы сумы k членов арифметической прогрессии получим . Поскольку 2011 – простое число (это можно проверить), то отсюда следует, что k равно либо 1, либо 2.

    1. Дана последовательность, состоящая из n различных чисел: . Известно, что какие бы 15 членов последовательности ни взять, наименьший из них имеет наименьший номер, а наибольший из них – наибольший номер. Можно ли утверждать, что последовательность монотонно возрастающая, если: а) n = 27? б) n = 26?

Ответ. а) Можно; б) нельзя.  Указание. а) Докажем, что последовательность монотонно возрастает. От противного, пусть при некотором k выполняется противоположное неравенство: . Если , то рассмотрим 15 членов последовательности . Для них нарушается условие задачи, т.к. ak не является наименьшим среди них. Если же , то можно рассмотреть 15 членов последовательности , и тогда также получим противоречие, т.к. ak+1 не является наибольшим среди них. б) Приведем контрпример: рассмотрим последовательность из 26 первых натуральных чисел:1,2,…,26 и поменяем местами 13 и 14. Тогда среди любых 15 членов этой последовательности ни наименьшим, ни наибольшим не может быть ни 13, ни 14. Таким образом, для этой немонотонной последовательности условие задачи выполняется.

10.4. Из доски размером nn клеток вырезали 4 угловые клетки. Можно ли оставшуюся доску разрезать по линиям сетки на "доминошки" (прямоугольники 21) так, чтобы число горизонтальных и вертикальных "доминошек" было одинаковым, если: а) n = 6? б) n = 8?

Ответ. а) Можно; б) нельзя.  Указание. а) Пример разрезания строится легко. Например, разрежем первую и последнюю горизонталь доски на 4 горизонтальных "доминошки", а первую и последнюю вертикаль – на 4 вертикальных "доминошки". Останется доска 44, которая разбивается на 4 горизонтальных и 4 вертикальных "доминошки" (для этого можно доску 44 разбить на четыре квадрата 22, из которых два квадрата разбить на горизонтальные, а два – на вертикальные "доминошки").

б) Предположим, от противного, что такое разбиение на "доминошки" возможно. Тогда получится 15 горизонтальных и 15 вертикальных "доминошек". Раскрасим доску в 2 цвета, как показано на рисунке. Заметим, что любая горизонтальная "доминошка" занимает две клетки разного цвета, а любая вертикальная – две одноцветные клетки. На доске имеется по 30 клеток каждого цвета. 15 горизонтальных "доминошек" займут по 15 клеток каждого цвета и для вертикальных "доминошек" останется также по 15 клеток каждого цвета. Но 15 – нечетное число, и поэтому белые вертикальные “доминошки” не могут занимать ровно 15 клеток.

10.5. Дан остроугольный треугольник АВС. Докажите, что существует тетраэдр, все грани которого представляют собой треугольники, равные треугольнику АВС.

Указание. Пусть М – середина стороны АС и D – точка, симметричная точке В относительно М. Тогда ABCD – параллелограмм. Пусть точка D  симметрична точке D относительно прямой АС (см. рисунок). Тогда AD 'BC – равнобедренная трапеция. Поскольку угол АВС острый, то (см. указание к задаче 9.4), а т.к. углы ВАС и ВCА острые, то . Если мы будем вращать  ADC в пространстве вокруг неподвижной прямой АС, то точка D будет двигаться по окружности. Обозначим ее положение в момент t через Dt. Расстояние от Dt до В будет изменяться от до . Значит, наступит момент, когда Dt B = AC. В этот момент все грани тетраэдра ABCDt равны треугольнику ABC.

11 класс

11.1. Сколько существует натуральных чисел n, которые удовлетворяет неравенствам ?

Ответ. 9989.  Указание. Поскольку все части двойного неравенства положительны, неравенства можно возводить в степень. Возводя в четвертую степень неравенство , получим n > 10. Возводя в шестую степень неравенство , получим n < 10000. Таким образом, всего существует 10000 – 10 – 1 = 9989 чисел.

11.2. Можно ли 2011 представить в виде суммы нескольких (больше двух) последовательных натуральных чисел?

Ответ. Нельзя.  Указание. См. задачу 10.2.

11.3. Дана последовательность, состоящая из n различных чисел: . Известно, что какие бы 15 членов последовательности ни взять, наименьший из них имеет наименьший номер, а наибольший из них – наибольший номер. Можно ли утверждать, что последовательность монотонно возрастающая, если: а) n = 27? б) n = 26?

Ответ. а) Можно; б) нельзя.  Указание. См. задачу 10.3.

11.4. Решите уравнение

Ответ. Нет решений.  Указание. Левая часть уравнения при помощи введения вспомогательного угла приводится к виду . Значит, она не превосходит 5. Для правой части в силу неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим (для положительных чисел) имеем: .

11.5. а) Дан остроугольный треугольник АВС. Докажите, что существует тетраэдр, все грани которого представляют собой треугольники, равные треугольнику АВС. б) Существует ли тетраэдр, у которого в основании лежит тупоугольный треугольник, а периметры всех граней одинаковы?

11.5 Ответ. б) Не существует.  Указание. а) См. задачу 10.5. б) Предположим, от противного, что такой тетраэдр ABCD существует. Из равенства периметров  ADC и  ABC получим равенство , а из равенства периметров  ADB и  СDB получим равенство . Складывая эти равенства, будем иметь , т.е. AD = BC. Аналогично получим, что в тетраэдре все противоположные (скрещивающиеся) ребра попарно равны, т.е. все грани представляют собой равные треугольника, причем в каждой вершине тетраэдра плоские углы трехгранного угла равны соответствующим углам треугольника АВС. Но тогда тупой угол (скажем, угол В) больше суммы двух других углов ( А +  С). Но это противоречит известному свойству (неравенству треугольника для плоских углов) трехгранного угла.




Настоящий терновый венец долго носить нельзя — тернии обламываются. Станислав Ежи Лец
ещё >>