Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Математика» рпк «Политехник» Волгоград 2007 (07) р 98 - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Теоретическая... 1 207.8kb.
Методические указания к практическим занятиям рпк «Политехник» Волгоград... 3 546.59kb.
Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Математика»... 6 280.28kb.
Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Физическая... 1 248.98kb.
Методические указания по дисциплине «Математика» рпк политехник 1 103.33kb.
Методические указания к практическому занятию рпк «Политехник» Волгоград... 1 196.2kb.
Методические указания к лабораторной работе №2 по дисциплине «Сопротивление... 1 162.32kb.
Методические указания по изучению теоретических основ криминалистики... 3 515.25kb.
Методические указания к практическому занятию по дисциплине «Математика»... 1 201.45kb.
Методические указания рпк «Политехник» 1 94.87kb.
Учебное пособие рпк «Политехник» Волгоград 2007 (075. 8) 5 723.62kb.
Разложите данную функцию f 1 122.43kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Математика» рпк «Политехник» - страница №1/1



ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ



КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

ВОЛГОГРАДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА


Кафедра «высшая математика»

РЯДЫ
Методические указания к практическим занятиям

по дисциплине «Математика»

РПК «Политехник»

Волгоград

2007


УДК 517. 52 (07)

Р 98

РЯДЫ: Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Математика» / Сост. А. С. Чурзина; Волгоград. гос. техн. ун-т. – Волгоград, 2007. – 26 с.

Содержат теоретический материал, примеры решения задач по данной теме и задачи для индивидуальной работы.

Предназначены для специальностей СПО 230103.51 «Автоматизированные системы обработки информации и управлния (по отраслям)», 140212.51 «Электроснабжение (по отраслям)», 151001.51 «Технология машиностроения», 260704.51 «Технология текстильных изделий».
Библиогр. 5 назв.

Рецензент: В. Ф. Казак

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Волгоградского государственного технического университета

© Волгоградский

государственный



технический

университет, 2007



Введение

При изучении многих практических вопросов естествознания и техники применяется метод поэтапного исследования данного объекта. На первом этапе учитываются самые главные характеристики изучаемого процесса, явления. Потом переходят к следующему этапу, учитывая новые или более точно вычисленные старые характеристики предмета и т.д.

Одним из математических понятий, при помощи которых моделируются подобные ситуации, является «сумма» бесконечного числа слагаемых, за которой утвердилось название ряда.

Понятие бесконечной суммы было известно ученым Древней Греции (Евдокс, Евклид, Архимед). Нахождение бесконечных сумм являлось составной частью так называемого метода исчерпывания, широко используемого древнегреческими учеными для нахождения площадей фигур, объемов тел, длин кривых и т.д. Так, например, Архимед для вычисления площади параболического сегмента (т.е. фигуры, ограниченной прямой и параболой) нашел сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем ¼.

Ряд, как самостоятельное понятие, математики стали использовать в XVII в. И. Ньютон и Г. Лейбниц применяли ряды для решения алгебраических и дифференциальных уравнений. Теория рядов в XVIII – XIX вв. развивалась в работах Я. и И. Бернулли, Б. Тейлора, К. Маклорена, Л.Эйлера, Ж. Даламбера, Ж. Лагранжа и др. Строгая теория рядов была создана в XIX в. на основе понятия предела в трудах К. Гаусса, Б. Больцано, О. Коши, Н. Абеля, Б. Римана и др.

Теория рядов широко используется в теоретических исследованиях различных вопросов естествознания и в приближенных вычислениях.

В частности, программы приближенного вычисления значений элементарных функций и решения многих стандартных задач, заложенные в память ПК, основаны на применении теории рядов.

При изучении теории рядов следует уяснить понятие «ряд», запись ряда и ознакомиться с видами рядов: числовой, функциональный, степенной, ряд Маклорена.

Методические указания содержат примеры решения типовых задач по числовым и степенным рядам.

Внимание уделяется разложению в ряд Маклорена следующих функций:, , , , . При разложении в ряд Маклорена простейших функций другого вида удобно пользоваться разложениями вышеуказанных функций, применяя некоторые преобразования.

Каждой задаче отведен отдельный пункт, содержащий общую постановку задачи, план ее решения с необходимыми теоретическими пояснениями и решение конкретного примера. Кроме того, в каждый пункт включены задачи для аудиторных занятий и домашних работ, ответы к ним.

Практическое занятие № 1.
Тема: Числовые ряды.

Продолжительность занятия:

специальность 230103.51 «Автоматизированные системы обработки информации и управлния (по отраслям)» - 2 часа;

специальность 140212.51 «Электроснабжение (по отраслям)» - 2 часа;

специальность 151001.51 «Технология машиностроения» - 1 час;

специальность 260704.51 «Технология текстильных изделий»- 1 час;

Цель занятия. Научить студента исследовать сходимость числовых рядов, применяя различные признаки сходимости.

Порядок проведения:


  1. изучить теоретический материал;

  2. разобрать предложенный пример;

  3. выполнить самостоятельно индивидуальные задания;

  4. ответить на контрольные вопросы.

Студент должен:

знать: определение числового ряда; необходимый и достаточные признаки сходимости рядов.

уметь: определять сходимость числовых рядов.
Основные сведения из теории числовых рядов.

Пусть задана бесконечная числовая последовательность





Определение. Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел, соединенных знаком плюс, т.е. выражение вида

числа называются членами ряда.

Индекс, стоящий у каждого члена ряда, указывает его порядковый номер в ряде.

Сокращенно числовой ряд обозначается так:



(1)

Член Un, номер которого не фиксирован, называется общим членом ряда.



Определение. Сумма первых n членов числового ряда (1)

называется n – ой частичной суммой.

Для каждого числового ряда можно построить последовательность его частичных сумм:



. . . . . . . . .



Определение. Числовой ряд (1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм сходится, т.е. существует конечный предел

Этот предел называют суммой ряда и записывают а разность - остатком ряда.



Замечание. Ряд (1) сходится тогда и только тогда, когда

Если последовательность частичных сумм расходится, т.е., при неограниченном возрастании числа слагаемых () в частичной сумме, она или не имеет предела или её предел равен бесконечности, то ряд называют расходящимся.

Расходящийся ряд суммы не имеет.

Рассмотрим основные теоремы о сходимости числовых рядов.

Теорема 1. Сходимость или расходимость ряда не нарушится, если изменить, отбросить или добавить конечное число членов ряда (сумма при этом изменится).

Теорема 2. Если ряд сходится и имеет сумму S, то ряд

который получается из предыдущего умножением всех членов на одно и тоже число с, также сходится и имеет сумму cS.



Теорема 3. Сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать, т.е., если , тогда ряд также сходится и имеет сумму

Теорема 4 (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд сходится, то его общий член Un стремится к нулю, при неограниченном возрастании n, т.е.

Отсюда следует, что если то ряд расходится.



Замечание. Указанный признак не является достаточным, т.е. если то вопрос о сходимости ряда ещё не решен: он может быть как сходящимся так и расходящимся.

При рассмотрении числовых рядов практически решаются две задачи:

1) исследовать, сходится или расходится ряд;

2) зная, что ряд сходится, найти его сумму.

Мы будем решать первую задачу, т.е. исследовать ряды на сходимость.
Числовые ряды с положительными членами.

Рассмотрим числовой ряд



. (1)

Определение. Если все члены ряда (1) то ряд называется знакоположительным.

Очевидно, в этом случае частичная сумма Sn возрастает с возрастанием n.

Поэтому положительный ряд либо сходится либо его сумма бесконечна, т.е.

или

Рассмотрим некоторые достаточные признаки сходимости и расходимости рядов с положительными членами.


Признак сравнения.

Пусть


= (2)

и (3)

- два ряда с положительными членами.

Пусть члены ряда (2), начиная с некоторого номера n0, меньше соответствующих членов ряда (3), т.е. Тогда



1) Если ряд (3) сходится, то ряд (2) также сходится. В этом случае ряд (3) называется мажорантой ряда (2).

Таким образом, положительный ряд сходится, если он обладает сходящейся мажорантой.



2) Если ряд (2) расходится, то ряд (3) также расходится.

Схематично суть признака сравнения выглядит так





Теорема (предельная форма признака сравнения). Если для рядов (2) и (3) выполняется условие

то рассматриваемые ряды одновременно сходятся или расходятся.

Чтобы с помощью признака сравнения исследовать ряды на сходимость, нужно иметь такие ряды, о которых заранее известно, сходятся они или расходятся.

Для сравнения обычно используются следующие эталонные ряды: геометрический, гармонический и другие.



Геометрический ряд

сходится при условии q < 1 и его сумма если то геометрический ряд расходится.



Гармонический ряд

расходится.



Обобщенный гармонический ряд (ряд Дирихле)

сходится, если и расходится, если



Признак Даламбера.

Если члены ряда положительны и существует предел



то при ряд сходится;

при ряд расходится;

при вопрос о том, сходится ряд или расходится, не решен и требуется дополнительное исследование с помощью других достаточных признаков сходимости.



Радикальный признак Коши.

Если члены ряда положительны и существует предел



то при ряд сходится;

при ряд расходится;

при вопрос о том, сходится ряд или расходится, не решен и требуется дополнительное исследование с помощью других достаточных признаков сходимости.



Указание 1.

Постановка задачи. Исследовать сходимость ряда с положительными членами

где Un содержит произведения многих сомножителей (например, факториалы).



План решения. Если при вычислении предела

можно сократить множители в числителе и знаменателе дроби , то обычно применяют признак Даламбера.

1. Проверим, что Un>0 при всех

2. Найдем . Для этого в формуле определения общего члена ряда Un заменим n на n+1.

3. Вычислим предел

4. Применим признак Даламбера.



Пример. Исследовать сходимость ряда .

Решение.

1. Проверим, что члены ряда положительны. Действительно,



при всех

2. Найдем :

3. Вычислим предел



4. Применим признак Даламбера. Так как k=0<1, то ряд



сходится.



Указание 2.

Постановка задачи. Исследовать сходимость ряда с положительными членами

где существует и легко вычисляется.



План решения. Если имеет, например, вид или то существует и легко вычисляется. В таком случае обычно применяют радикальный признак Коши.

1. Проверим, что Un>0 при всех

2. Вычислим предел

3. Применим радикальный признак Коши.



Замечание. Полезно иметь в виду, что

,

где P(n) – многочлен относительно n.



Пример. Исследовать сходимость ряда



Решение. Общий член ряда имеет вид , где

1 способ.

1. Проверим, что члены ряда положительны. Действительно,



при всех

2. Вычислим предел

3. Применим радикальный признак Коши. Так как , то ряд



расходится.



2 способ. Нарушается необходимый признак сходимости ряда:

а не ноль. Следовательно, ряд расходится.


Задачи для решения.
Исследовать сходимость рядов.

Ответы.



Индивидуальные задания.

Исследовать сходимость рядов.




Ответы.


Знакочередующиеся ряды.

Ряд вида



= (1)

где и два любых соседних члена имеют противоположные знаки, называется знакочередующимся.

Исследование сходимости таких рядов проводится на основании теоремы Лейбница – достаточного признака сходимости знакочередующегося ряда.

Теорема (Лейбница) Знакочередующийся ряд (1) сходится, если:

1) его члены монотонно убывают по абсолютной величине, т.е.



и

2) его общий член Un стремится к нулю при , т.е.





Замечание. Сумма такого ряда положительна и не превосходит первого члена ряда

По знакочередующемуся ряду (1) можно построить соответствующий ему знакоположительный ряд



=. (2)

Признак сходимости знакочередующегося ряда.

Если ряд (2), составленный из абсолютных величин членов ряда (1), сходится, то ряд (1) также сходится.



Определение. Знакочередующийся ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (2), составленный из абсолютных величин членов ряда (1).

Сходящийся знакочередующийся ряд называется условно сходящимся, если ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.



Указание 1.

Постановка задачи.

Исследовать сходимость знакочередующегося ряда (3)



План решения.

1. Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда



и проверим, что (если то ряд расходится, так как не выполнено необходимое условие сходимости ряда).

2. Для определения характера полученного положительного ряда применим один из признаков сходимости, рассмотренных выше.

Если ряд из модулей сходится, то исходный ряд (3) сходится абсолютно.

3. Если ряд из модулей расходится, то возможно исходный ряд (3) сходится условно. Чтобы проверить это, применим признак Лейбница.

Если оба условия признака выполняются, то ряд сходится условно, в противном случае он расходится.



Пример. Исследовать сходимость ряда



Решение.

1. Составим ряд из модулей:



Проверим выполнение необходимого условия сходимости:



2. Сравним полученный положительный ряд с гармоническим рядом



о котором известно, что он расходится.

Получим

тогда по теореме (предельная форма признака сравнения) ряд из модулей тоже расходится.

3. Проверим условия признака Лейбница:

1) члены ряда убывают по абсолютной величине:



2) члены ряда стремятся к нулю при (см. п. 1).

Следовательно, по признаку Лейбница ряд сходится.

Ответ. Ряд сходится условно.

Задачи для решения.

Исследовать сходимость рядов.




Ответы.


Индивидуальные задания.

Исследовать сходимость рядов.


Ответы.



Контрольные вопросы

  1. Дайте определение числового ряда.

  2. Какой числовой ряд называется сходящимся, расходящимся?

  3. Сформулируйте признаки сравнения (признак непосредственного сравнения и предельный признак). Как следует выбирать ряд для сравнения с исследуемым рядом?

  4. В чем заключается сущность признака Даламбера, радикального признака Коши? Какие ряды удобно исследовать с помощью каждого из них?

  5. Какой ряд называется знакочередующимся? Сформулируйте достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда?

  6. Приведите примеры абсолютно сходящихся рядов.



Используемая литература

1. Шапкин А.С. Задачи по высшей математике: Учебное пособие. – 2 – изд. – М.: Издательско – торговая корпорация «Дашков и Ко», 2006. стр. 208 – 217.

2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. пособие для средних спец. учеб. заведений. – 7 – изд., стер. – М.: Высшая шк.,2004. стр. 391 - 400.

3. Пехлецкий И.Д. Математика: Учеб. для студ. Образоват. учреждений сред. проф. образования. – 2 – изд., стереотип. – М.: Издательский центр «Академия», 2003. стр. 153 – 157.

4. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике: Учеб. пособие для втузов. – 14 – изд. испр. – М.: Издательство физико – математической литературы, 2000. стр. 255 – 259.

5. Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. II: Учеб. пособие для втузов. – 5 изд., испр. – М.: Высш. шк.,1999. стр. 66 – 77.



Практическое занятие № 2.
Тема:Степенные ряды.

Продолжительность занятия:

специальность 230103.51 «Автоматизированные системы обработки информации и управлния (по отраслям)» - 2 часа

специальность 140212.51 «Электроснабжение (по отраслям)» - 2 часа

специальность 151001.51 «Технология машиностроения» - 1 часа



Цель занятия. Научить студента находить области сходимости степенных рядов и разлагать функции в ряд Маклорена.

Порядок проведения:

  1. изучить теоретический материал;

  2. разобрать предложенный пример;

  3. выполнить самостоятельно индивидуальные задания;

  4. ответить на контрольные вопросы.

Студент должен:

знать: определение функционального ряда; метод разложения функции в степенной ряд с помощью ряда Маклорена;

уметь: определять сходимость степенных рядов; разлагать элементарные функции в ряд Маклорена.
Основные сведения из теории степенных рядов.
Пусть задана бесконечная последовательность функций

,

имеющих общую область определения.



Определение. Функциональным рядом называется составленное из этих функций выражение

. (1)

Если в членах ряда (1) зафиксировать значение аргумента , то получим числовой ряд



Если при такой числовой ряд сходится, то точка называется точкой сходимости функционального ряда (1).



Определение. Областью сходимости функционального ряда называется множество всех точек сходимости этого ряда.

Если значение принадлежит области сходимости ряда (1), то можно говорить о сумме этого ряда в точке :



Таким образом, значение суммы функционального ряда зависит от значения переменной x, т.е. сумма функционального ряда сама является функцией переменной x:



- сумма ряда,

- остаток ряда,

где а x принадлежит области сходимости.

Частным случаем функционального ряда является степенной ряд.

Определение. Степенным рядом по степеням x-x0 называется функциональный ряд вида

Числа называются коэффициентами степенного ряда (некоторые из них могут быть равны нулю).

При =0 степенной ряд примет вид

. (2)

Исследование вопроса о сходимости степенного ряда (2) приводит к следующим выводам:

1. Степенной ряд расходится для всех значений x, кроме x=0 ( при x=0 степенной ряд сходится и его сумма равна . Это тривиальный случай.)

2. Степенной ряд сходится при любом значении x. Тогда его называют всюду сходящимся.

3. Степенной ряд сходится при одних значениях x и расходится при других значениях x.

Теорема Абеля позволяет определить форму области сходимости степенного ряда.

Теорема Абеля. Если ряд (2) сходится при некотором значении , то он сходится, и притом абсолютно, при всех значениях x, для которых

Если ряд (2) расходится при , то он расходится и при всех значениях x, для которых



Замечание. Из теоремы следует, что если при ряд (4) сходится, то для всех значений x из интервала ряд сходится абсолютно. Если при ряд (2) расходится, то он расходится для всех значений x больших и меньших чем минус .

Определение. Интервалом сходимости степенного ряда называется промежуток (-R, R) такой, что для всякой точки x, которая лежит внутри этого интервала, ряд сходится (абсолютно), а для точек x, лежащих вне его, ряд расходится.

Число R называется радиусом сходимости.



Радиус сходимости ряда (2) можно определить через его коэффициенты.

Если


,

где - коэффициенты соответственно n – го и (n+1) – го членов ряда, то радиус сходимости степенного ряда (2) определяется по формуле



Ряд будет абсолютно сходится при значениях х, удовлетворяющих неравенству , т.е. для всех значений из интервала .

Если

то

Это значит, что степенной ряд сходится при любом значении х (сходится всюду).

Если

то

т.е. интервал сходимости вырождается в точку (ряд (2) расходится при любом значении х, кроме х=0).



Исследовать степенной ряд на сходимость означает найти его интервал сходимости и установить сходимость или расходимость ряда в граничных точках интервала, т.е. при и .
Указание 1.
Постановка задачи. Найти область сходимости степенного ряда



План решения.

1) Найти коэффициенты и n – го и (n+1) – го членов ряда.

2) Составить отношение и взять его по абсолютной величине.

3) Найти .

Пусть этот предел равен L, тогда радиус сходимости степенного ряда а его интервалом сходимости будет интервал .

4) Исследовать поведение степенного ряда в граничных точках интервала сходимости



Пример. Найти область сходимости ряда



Решение.

1) Коэффициент n – го члена ; коэффициент (n+1) – го члена

2) Их отношение .

3) Вычислим

Радиус сходимости . Следовательно, интервал сходимости определяется неравенствами . Таким образом, ряд абсолютно сходится для всех значений х из интервала (-3,1).

4) Исследуем сходимость ряда в граничных точках интервала сходимости.

Подставляем в заданный ряд . Получим числовой ряд

,

который абсолютно сходится по признаку сходимости знакочередующегося ряда.

На правом конце интервала сходимости ; подставляя это значение в заданный ряд, получим

,

который расходится по теореме (предельная форма признака сравнения).



Ответ. Область сходимости степенного ряда [-3,1).
Задачи для решения.

Найти области сходимости степенных рядов.



Ответы.


Индивидуальные задания.

Найти области сходимости степенных рядов.



Ответы.


Разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена.
Рассмотрим функцию f(x) , которая определена в окрестности точки х0 и в этой точке имеет конечные производные любого порядка, тогда

Определение. Рядом Тейлора функции f(x) называется степенной ряд вида

где - остаточный член в форме Лагранжа ().

Необходимым и достаточным условием наличия равенства

(1)

для значений x из некоторого промежутка является условие



для всех значений x из этого промежутка.

Формула (1), верная при указанном условии, дает разложение функции f(x) в ряд Тейлора.

Если в формуле (1) положить x0=0, то ряд



называется рядом Маклорена функции f(x), где

– остаточный член в форме Лагранжа (0Поместим для справок разложения элементарных функций в ряд Маклорена.
Основные табличные разложения функций:

Функции

Разложение в ряд Маклорена

Условие

сходимости ряда









sinx





cosx









-1







-1

ln(1+x)





arctgx





Указание 1.

Постановка задачи. Разложить функцию f(x) в ряд Маклорена.

План решения.

1. Преобразуем функцию f(x) к виду, допускающему использование табличных разложений, , , , , arctgx.

2. Найдем разложение функции в ряд Маклорена, используя табличные разложения, сложение (вычитание) рядов, умножение ряда на число.

3. Определим область сходимости полученного ряда к функции f(x).



Пример. Разложить функцию

в ряд Маклорена.



Решение.

1. Разложим данную функцию на элементарные дроби:



2. Используя табличное разложение



получим




Следовательно,



.

3. Областью сходимости полученного ряда является пересечение





Ответ.
Задачи для решения.

Разложить функции в ряд Маклорена.

1. 2. f(x)= ln(1 + x – 2x2)

3. f(x) 4.

5.
Индивидуальные задания.

Разложить функции в ряд Маклорена.

1. 2.

3. f(x)= ln(1 + 7x +12x2) 4. f(x)=

5. f(x)=
Контрольные вопросы


  1. Дайте определение функционального ряда.

  2. Какой функциональный ряд называется сходящимся в точке , расходящимся в точке ?

  3. Какой ряд называется степенным?

  4. Как определить радиус сходимости степенного ряда?

  5. Какой ряд называется рядом Маклорена?

  6. Что значит разложить функцию в ряд Маклорена?


Используемая литература
1. Шапкин А.С. Задачи по высшей математике: Учебное пособие. – 2 – изд. – М.: Издательско – торговая корпорация «Дашков и Ко», 2006. стр. 217 – 224.

2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. пособие для средних спец. учеб. заведений. – 7 – изд., стер. – М.: Высшая шк.,2004. стр. 403 – 409.

3. Пехлецкий И.Д. Математика: Учеб. для студ. Образоват. учреждений сред. проф. образования. – 2 – изд., стереотип. – М.: Издательский центр «Академия», 2003. стр. 157 – 161.

4. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике: Учеб. пособие для втузов. – 14 – изд. испр. – М.: Издательство физико – математической литературы, 2000. стр. 260 – 262.

5. Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. II: Учеб. пособие для втузов. – 5 изд., испр. – М.: Высш. шк.,1999. стр. 77 – 86.

Содержание


Введение…………………………………………………..…………

3

Практическое занятие № 1.................................................................

4

Практическое занятие № 2.................................................................

15

Используемая литература…………………………….………… …

24

Составитель: Анна Сергеевна Чурзина

Ряды
Методические указания к практическим занятиям

по дисциплине «Математика»

Под редакцией автора

Темплан 2007 г., поз. № 54.

Подписано в печать 24. 01. 2007 г. Формат 60×84 1/16.

Бумага листовая. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 1,63. Усл. авт. л. 1,44.

Тираж 50 экз. Заказ №


Волгоградский государственный технический университет

400131 Волгоград, просп. им. В. И. Ленина, 28.

РПК «Политехник»

Волгоградского государственного технического университета



400131 Волгоград, ул. Советская, 35.









Люди, не выносящие одиночества, обычно совершенно невыносимы в компании. Альбер Гинон
ещё >>