Методические рекомендации для их решения Здесь вы найдёте примеры с подробными решениями, а также аналогичные этим примерам задачи, - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Основные законы химии, описание методики и правил проведения лабораторной... 4 401.91kb.
Растворы, описание методик и правил проведения лабораторной работы... 3 498.88kb.
Задачи на нахождение целого (суммы) 1 102.99kb.
Методические рекомендации и сборник задач по физике для учащихся... 5 809.79kb.
Методические рекомендации по восстановлению и поддержанию порядка... 1 141.09kb.
Методические рекомендации волгоград 2004 4 701.17kb.
Считалки Считалки. Здесь Вы найдёте большую подборку детских считалочек 1 99.31kb.
М. Ломоносов Со времен греков говорить «математика», значит говорить... 1 56.93kb.
Методические рекомендации по организации медицинской помощи населению... 5 494.18kb.
Специальная цена для сотрудников туристических агентств на 2010 год... 1 146.13kb.
Методические рекомендации по борьбе с пожарами, возникшими при ведении... 6 1856.37kb.
Суицид общие теории и предотвращение 1 110.54kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

Методические рекомендации для их решения Здесь вы найдёте примеры с подробными решениями - страница №1/1







Задачи для самостоятельной работы и методические рекомендации для их решения

Здесь вы найдёте примеры с подробными решениями, а также аналогичные этим примерам задачи, которые нужно решить. Правильность своих действий вы можете проверить по ответам, которые даны в конце раздела.



1. Найти действительную и мнимую части комплексного числа 11 – i.

Решение. Если комплексное число записать в алгебраической форме, то есть в виде z=x+iy, то действительная часть Rex, а мнимая часть Imy. Значит у данного комплексного числа = 11 – i действительная часть Re= 11 и мнимая часть Im= –1.

Ответ: Re(11– i) =11, Im(11– i ) = –1.

2. Найти действительную и мнимую части комплексных чисел:

а) – 5 – i/2;

b) – 20 + 4i;

c) 1 + 2i.

3. Найти действительные числа a и b, а также комплексные числа z1 и z2, если известно, что

za – b + 4aiz= 4– 6+ 3bi и zz2.

Решение. Комплексные числа будут равны, если равны их действительные и мнимые части. Находим Rez1  b; Imz1 = 4 + a; Rez2 = 4– 6b и Imz2 = 3b, тогда приравнивая

Rez1 = Rez2 и Imz1= Imz2, получим систему уравнений:



Решая эту систему, найдем, что = 5 и = 3.



Ответ: при a = 5, b = 3 z1 = z2 = 2 + 9i.

4. Найдите действительные числа a и b, удовлетворяющие уравнению:

(2 + i)+(1+2i)= 1 – 4i.



5. Найти модуль комплексного числа 2 – i.

Решение. Модуль комплексного числа z x +iy равен , поэтому

z=.



Ответ: 2–i=.

6. Найти модули комплексных чисел

a) – 5 + 12i; b) – 5 – i; c) 3 + 4i.



7. Найти действительные числа a и b, а также комплексно сопряженные числа z1 и z2, если известно, что za – 1– ai – bi , zb – 2 + 2ai – bi.

Решение. У комплексно сопряженных чисел действительные и мнимые части связаны соотношениями:

Rez= Rez2 , Imz= – Imz2.

Поэтому находим Rez1= a – 1, Imz1= – a – b, Rezb – 2, Imz= 2a – b, затем составляем систему уравнений:

Решив систему, получим: a = –2 , b = –1.



Ответ: = –2, = –1, z= –3+3i, z= –3–3i.

8. Найти действительные числа a и b, а также комплексно сопряженные числа z1 и z2, если известно, что z1=2a+1+ai+2bi , z2=3a+b+5i+2bi.

9. Доказать, что комплексное число z является вещественным тогда и только тогда, когда =z.

Решение. Пусть z – вещественное число, тогда

z=x+i0=xi0= .

Если же


z x iy  = x – iy,

то это значит, что y = –y и y = 0, то есть мнимая часть z равна нулю и z – действительное число.



10. Доказать, что комплексное число является чисто мнимым тогда и только тогда, когда  = – z.

11. Найти сумму, разность и произведение комплексных чисел z1 = 5–3i и z= –2+8i.

Решение. Арифметические операции над комплексными числами можно выполнять так же, как и над обычными алгебраическими выражениями, только учитывая, что i2=–1. Поэтому получим: z1+z2=(5–3i)+(–2+8i)=3+5i;

z1z2= (5–3i)–(–2+8i)=7–11i;

z1z2 = (5–3i)(–2+8i)= –10+6i+ 40i +24=14+46i.

Ответ: z1+z2=3+5i; z1z2= 7–11i ; z1z2=14+46i.

12. Вычислить выражение: (1+i)(5–i)+(–4–8i)(5+2i).

13. Вычислить выражение: (6+3i)(4–2i)–( 4–5i)(1+i).

14. Вычислить выражение:. Ответ записать в алгебраической форме.

Решение. Чтобы найти частное, надо данную дробь умножить и разделить на число, комплексно сопряженное знаменателю, то есть на 1+2i:

.

Ответ: .

15. Вычислить выражения, ответы записать в алгебраической форме:

a); b) ; c) ; d) ; e).

16. Записать в тригонометрической форме и показательной форме числа:

a) 7, b)–4, c) –1–i.

Решение. Чтобы записать комплексное число z в тригонометрической форме, надо знать его аргумент – угол  и модуль r, тогда z = r(cos+isin).

a) 7=7; arg7=0, следовательно, 7=7(cos0+isin0)=7еi0.



b) –4=4; arg(–4)=, следовательно, –4=4(cos+isin)=4еi.

с)–1–i = 2. Чтобы найти аргумент  числа –1–i, выразим его действительную и мнимую части через модуль и угол  (если z = x iy, то Rez = xrcos и Imz = y rsin, где r=z и =argz) :

Re(–1–i) = –1 = 2cos , Im(–1–i) = –=2sin,

следовательно, cos = –1/2 , sin = –/2 и tg =, откуда следует, что угол  равен или /3, или 4/3. Заметим, далее, что нашему комплексному числу соответствует точка комплексной плоскости с координатами (–1,–), которая лежит в третьей четверти. Отсюда следует, что  = 4/3. Итак,

–1– = 2( cos(4/3) + isin(4/3) ) = 2еi4/3.

Ответ:

a) 7 = 7(cos0 + isin0) = 7еi0; b) –4 = 4(cos + isin) = 4еi; c) 2( cos(4/3) + isin(4/3) ) = 2еi4/3.



17. Записать в тригонометрической форме и показательной форме число – i.

18. Записать в тригонометрической форме и показательной форме число –2+2i.

19. Записать в тригонометрической форме и показательной форме число –2–2i.

20. Записать в тригонометрической форме и показательной форме число 1+i.

21. Записать в тригонометрической форме и показательной форме число i.

22.Записать в тригонометрической форме и показательной форме число

1–cos+isin, где [0;2].



Решение. Преобразуем данное комплексное число:

1–cos+isin = 2(sin(/2))2+2isin(/2)cos(/2) = 2sin(/2)(sin(/2) +

+ icos(/2) )=2sin(/2)(cos((–)/2)+ i sin((–)/2) ).

Так как [0;2], то /2[0;] и, следовательно, 2sin(/2) 0, то есть мы получили тригонометрическую форму данного комплексного числа: его модуль равен 2sin(/2), а аргумент равен (–)/2.



Ответ: 1–cos+isin = 2sin(/2)( cos((–)/2)+ i sin((–)/2) ) =2sin(/2)еi()/2.

23. Записать в тригонометрической форме и показательной форме число

sin+i(1–cos), где [0;2].



24. Записать в тригонометрической форме и показательной форме число

3(cos(/4)– i sin(7/4)).



25. Записать в тригонометрической форме и показательной форме число sin+icos.

26. Записать в тригонометрической форме и показательной форме число sin+i(1+cos), где [0;2].

Решение. Преобразуем данное комплексное число:

sin+i(1+cos) = 2sin(/2)cos(/2) +2i (cos(/2))2 = 2cos(/2)( sin(/2)+ icos(/2)).

В отличие от задачи 22 мы не можем утверждать, что cos(/2)0, так как cos(/2)0 при [0,] и cos(/2) 0 при [,2]. Поэтому в зависимости от  будет разный ответ. В обоих случаях sin+i(1+cos)=2cos(/2), а arg(sin+i(1+cos))=(–)/2 при [0,] и arg(sin+i(1+cos)) = (3–)/2 при [,2].

Ответ:

sin + i(1+cos) = 2cos(/2)(cos((–)/2) + isin((–)/2)) = 2cos(/2) еi()/2 при [0,];

sin+i(1+cos) = 2cos(/2)(cos((3–)/2)+isin((3–)/2))=2cos(/2)еi(3)/2при [,2].

27. Записать в тригонометрической форме и показательной форме число

1+cos+ isin.



28. Известно, что z= r и argz = . Написать в тригонометрической и показательной форме число, комплексно сопряженное z.

29. Записать в показательной и алгебраической форме комплексное число ( –+ i )12.

Решение. Запишем в показательной форме число –+ i. Для этого сначала найдем его модуль:

–+ i  = 2;

чтобы найти аргумент, выразим через него действительную и мнимую части нашего числа:

= 2cos, 1 = 2sin.

Следовательно, tg = – 1/, а это значит, что угол  равен или –/6 или 5/6. Так как точка с координатами (–,1), соответствующая нашему числу, лежит во второй четверти комплексной плоскости, то  = 5/6. Таким образом,

 + I  = 2еi5/6.

Так как при возведении комплексного числа в целую степень n его модуль тоже возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени n, то в нашем случае получим, что

(–i )12 = 212еi60/6 = 4096еi10 = 4096.



Ответ: (–+i )12 = 4096еi10 = 4096.

30.  Записать в показательной и алгебраической форме комплексное число ( 1– i )10.

31. Записать в показательной и алгебраической форме комплексное число ( –i )7.

32. Записать в показательной и алгебраической форме комплексное число (i )25.

33. Записать в показательной и алгебраической форме комплексное число

(sin(/4)+i cos(/4))62.



34. Вычислить . Ответ записать в показательной и алгебраической форме. Нарисовать на комплексной плоскости треугольник, в вершинах которого лежат найденные корни.

Решение. Запишем число –2+2i в показательной форме. Найдем –2+2i =2.Чтобы найти аргумент, выразим через него действительную и мнимую части:

–2 = 2cos , 2 = 2sin.

Откуда находим, что tg = –1, и так как точка с координатами (–2, 2), соответствующая нашему комплексному числу, лежит во второй четверти комплексной плоскости, то  = 3/4.Таким образом,

–2 + 2i = 2еi3/4.

При извлечении из комплексного числа z корня n-ой степени мы получаем n различных чисел wk, k = 0, 1, ... , (n-1) ( n корней). В нашем случае n = 3 и будет 3 корня: w0, w1, w2. Все они имеют один и тот же модуль, равный арифметическому корню n-ой степени из модуля z: в нашем случае

w0=w1=w2 = .

Аргумент первого корня w0 равен аргументу z, деленному на n: в нашем случае

argw0 =(3/4)/3=/4.

Аргументы остальных корней wk , k = 1, ... , (n-1), имеют вид:

arg w= (argz +2k)/ n,

то есть получаются из аргумента w0 добавлением 2k/n. В нашем случае argw1 =/4+2/3 и arg w2=/4+4/3. Таким образом, получим 3 корня:

wеi/4=1+i,

w еi(/4+2/3) = (–1–)/2+i(–1)/2 ,

w2 = еi(/4+4/3) = (–1)/2 + i(– 1)/2.

Теперь сделаем рисунок на комплексной плоскости.


y



–2+2i



W1

W3



x



W2


Ответ: :

w0=еi/4=1+i,

w1= еi(/4+2/3) =(–1–)/2+i(–1)/2 ,

w2 = еi(/4+4/3)= (–1)/2+i(– 1)/2.



35. Вычислить . Ответ записать в показательной и алгебраической форме. Нарисовать на комплексной плоскости треугольник, в вершинах которого лежат найденные корни .

36. Вычислить . Ответ записать в показательной и алгебраической форме. Нарисовать на комплексной плоскости треугольник, в вершинах которого лежат найденные корни .

37. Вычислить . Ответ записать в показательной и алгебраической форме. Нарисовать на комплексной плоскости треугольник, в вершинах которого лежат найденные корни .

38. Найти все корни уравнения z4 = – 8 – 8i. Ответ записать в показательной и алгебраической форме. Нарисовать на комплексной плоскости квадрат, в вершинах которого лежат найденные корни.

Решение. Задача сводится к отысканию . Чтобы ее решить, запишем в показательной форме число – 8– 8i. Для этого сначала найдем его модуль:

– 8– 8i =16;

затем выразим действительную и мнимую части через аргумент :

–8 = 16cos, –8 = 16sin.

Следовательно, tg= , а это значит, что  равно или /3 или 4/3. Так как точка с координатами (–8,–8), соответствующая нашему числу, лежит в третьей четверти комплексной плоскости, то  = 4/3. Таким образом,

–8 – 8i = 16еi4/3.

Как мы уже отмечали, при извлечении из комплексного числа корня n-ой степени мы получаем n различных чисел wk, k=0,1,...,(n-1) ( n корней). В нашем случае n = 4 и будет 4 корня: w0, w1, w2 ,w3. Все они имеют один и тот же модуль, равный арифметическому корню 4-ой степени из модуля данного комплексного числа –8 – 8i:

w0=w1=w2=w3 =  = 2.

Аргумент первого корня w0 равен аргументу –8–8i, деленному на 4: argw0 = (4/3)/4=/3. Аргументы остальных корней wk k=1,2,3 будут равны: argwk = (argz +2k)/ 4, то есть получаются из аргумента w0 добавлением 2k/4. Поэтому argw1=/3+2/4, argw2= /3+4/4 и argw3=/3+6/4. Таким образом, получим 4 корня данного уравнения:

w0=2еi/3=1+i,

w1=2 еi(/3+/2) = –+i ,

w2 =2 еi(/3+)= –1–i ,

w3=2 еi(/3+3/2) =– i.

Теперь сделаем рисунок на комплексной плоскости.





Ответ:

w0=2еi/3 =1+i, w1=2 еi(/3+/2) = –+i , w2 =2 еi(/3+)= –1–i , w3=2 еi(/3+3/2) =– i.



39. Вычислить . Ответ записать в показательной и алгебраической форме. Нарисовать на комплексной плоскости квадрат, в вершинах которого лежат найденные корни .

40. Вычислить . Ответ записать в показательной и алгебраической форме. Нарисовать на комплексной плоскости квадрат, в вершинах которого лежат найденные корни.

41. Вычислить . Ответ записать в показательной и алгебраической форме. Нарисовать на комплексной плоскости квадрат, в вершинах которого лежат найденные корни .

42. Вычислить . Ответ записать в показательной и алгебраической форме. Нарисовать на комплексной плоскости шестиугольник, в вершинах которого лежат найденные корни.

Решение. Запишем число –64 в показательной форме:

–64= 64, arg(–64) =  , – 64 = 64еi.

При извлечении из комплексного числа z корня шестой степени получится 6 различных корней wk (k = 0, 1, 2, 3 , 4, 5). Все они будут иметь один и тот же модуль, равный =2, и argw= (arg(–64))/6 = /6. Аргументы остальных корней wk (k = 1, 2 , 3 ,4 ,5) будут равны:

arg wk=( +2k)/ 6,

то есть получаются из argw0 добавлением 2k/6. Поэтому argw1=/6+2/6 = /2, argw=/6+4/6 =5/6, argw= /6+6/6 =7/6, argw4= /6+8/6=3/2, argw5=/6+10/6=11/6.

Таким образом, получим 6 корней:

w= 2еi/6 =+i,

w1=2 еi/2 = 2i,

w2 =2еi5/6=–+i,

w3= 2 еi7/6 = –i,

w4=2 еi3/2 = –2i ,

w5=2 еi11/6 =i

Теперь сделаем рисунок на комплексной плоскости.





Ответ: = w0=2еi/6=+i, w1=2 еi/2 =2i, w2 =2еi5/6=–+i, w3= 2 еi7/6 =–i, w4=2 еi3/2 =–2i , w5=2 еi11/6 =i

43. Вычислить . Ответ записать в показательной и алгебраической форме. Нарисовать на комплексной плоскости шестиугольник, в вершинах которого лежат найденные корни .

44. Вычислить . Ответ записать в алгебраической форме.

Решение. В отличие от предыдущих задач здесь “ неудобные” значения аргумента комплексного числа, поэтому мы не будем использовать тригонометрическую форму его записи, а просто запишем:

= x+iy.

Теперь возведем в квадрат обе части равенства:

24 – 10i = x– y+ 2xyi.

Но два комплексных числа равны в том и только в том случае, когда равны их действительные и мнимые части, поэтому, приравнивая их, получим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:



.

Решаем эту систему:



, , y+ 24y– 25 = 0, y= 1

(второй корень уравнения отрицательный и равен –25). Таким образом получим два числа:

z= 5 – i и z= – 5 + i .

Ответ: z= 5 – i , z2 = –5 + i.

45. Вычислить . Ответ записать в алгебраической форме.

46. Вычислить . Ответ записать в алгебраической форме.

47. Вычислить . Ответ записать в алгебраической форме.

48. Решить уравнение: z2+(3+4i)z+7+9i=0.

Решение. Чтобы найти корни данного и квадратного уравнения воспользуемся обычной формулой:

z1,2 .

Вычислим

= = x+iy.

Теперь, как и в задаче 44 , возведем обе части равенства в квадрат и получим систему уравнений:

Комплексные числа,

полагая


, , y– 35y– 36 = 0,

находим y= 36 (второй корень уравнения отрицательный и равен –1). В итоге получим, что

z= ( – (3 + 4i) –1 + 6i)/2 = – 2 + i и z= ( – (3 + 4i) +1 – 6i)/2 = –1–5i.

Ответ: z1= –2+i , z2 = – 1 – 5i.

49. Решить уравнение: z2+(2–5i)z–6–4i=0

50. Решить уравнение: z2–(5–i)z+6–2i=0

51. Решить уравнение: z2+(6+5i)z–1+17i=0

Ответы к задачам

2. a) Re(–5–i/2) = –5, Im(–5–i/2) = –1/2; b) Re(–20+4i) = –20, Im( –20+4i) =4 ;

c) Re( 1+2i)=1, Im( 1+2i)=2.



4.= 2, b = –3.

6. a)13; b); c) 5.

8. a = 3, b = –2, z1=7–i, z2=7+i.

12. 2 – 44i.

13. 21+i.

15. a); b); c) –i; d) ; e) .

17. –=cos(–/2)+isin(–/2)= еi(/2).

18. –2+2i=2(cos(3/4)+isin(3/4))= 2еi3/4.

19. –2–2i=2(cos(5/4)+isin(5/4))= 2еi5/4.

20. 1+i=2((cos(/6)+isin(/6))= 2еi/6.

21. i=2((cos(–/6)+isin(–/6))= 2еi(–/6).

23.2sin(/2)( cos(/2)+isin(/2) )= 2sin(/2)еi/2

24.3(cos(/4)+isin(/4) )=3еi/4

25. (cos(/2–)+isin(/2–) )= еi(/4–)

27. 2cos(/2)( cos(/2)+isin(/2) )= 2cos(/2)еi/2 ,если –   

28. =r( cos(–)+isin(–) )=rеi

30. –32i

31. 64(+i)

32. i

33. –i

35. w0=3еi0=3, w1=3 еi2/3 =, w2 =3 еi4/3=

36. w0= еi/6 = , w1= еi5/6 =, w2 = еi3/2=–i

37. w0= 5еi/2=5i , w1= 5еi7/6 =, w2 = 5еi11/6=

39. w0= 5еi0=5 , w1= 5еi/2 =5i, w2 = 5еi= –5, w3 =5еi3/2 =–5i

40. w0= 3еi/4= , w1= 3еi3/4 =, w2 = 3еi5/4=, w3 =3еi7/4 =

41. w0=2еi/6=1+i, w1=2 еi(/6+/2) =–+i , w2 =2 еi(/6+) = –1–i ,w3=2 еi(/6+3/2) =i.

45. w0= 3–7i , w1=–3+7i

46. w0= 4+i , w1=–4–i

47. w0= 3–2i , w1=–3+2i

49. z1=2i, z2=–2+3i

50. z1=3–i, z2=2

51. z1=1+3i, z2=5+2i






Мир — это когда стреляют где-то в другом месте. Габриэль Лауб
ещё >>