Лекция 9 Составное движение точки - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Сложное движение точки (тела) 1 40.94kb.
Лекция 6 Конечная работа силы 1 65.19kb.
Сложное движение точки 1 103.18kb.
Лекция Физические основы механики 1 95.96kb.
Лекция №1 2 Лекция №2 8 Лекция №3. 13 Лекция №4 14 Лекция №24 Лекция... 1 316.74kb.
Программа вступительного испытания механика механическое движение... 1 92.73kb.
Программа вступительного испытания механика механическое движение... 1 90.77kb.
Лекция I. Кёльн, 28 Декабря 1912 Лекция II. Кёльн, 29 Декабря 1912 5 1408.45kb.
Физические основы кассической механики, поступательное и вращательное... 1 36.32kb.
Координаты обсуждения 1 204.46kb.
Лекция Демографическая статистика 1 16.56kb.
Реферат «Последний адресат Пушкина» 1 87.58kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

Лекция 9 Составное движение точки - страница №1/1






Лекция 9

Составное движение точки



Абсолютное, относительное и переносное движение точки.

Связь абсолютной и относительной производных.

Теорема о сложении скоростей.
A
X
Z
Y
M
r

A

r


Рис.

1
x


y

z

Известно, что законы Механики выполняются только в инерциальной системе отсчета. Таковой, как мы знаем, можно считать гелиоцентрическую систему. Назовем ее абсолютной и свяжем с ней оси X,Y,Z. Движение точки М по отношению к абсолютной системе описывается радиусом-вектором и называется абсолютным. Скорость и ускорение точки в абсолютном движении будем отмечать индексом “a”:



Иногда движение точки удобнее описывать относительно «несущего тела», по которому движется точка (Рис.1).

Например, наше движение на автомобиле естественно описывать по отношению к Земле, а не к Солнцу.

Точно так же, движение пассажира, пробирающегося к выходу в трамвае, естественно описывать по отношению к трамваю (несущему телу), а не к Земле.

Движение точки по отношению к несущему телу называется относительным . Скорость и ускорение относительного движения точки будем отмечать индексом “r”:

Свяжем с несущим телом оси . Относительное движение зададим проекциями относительного радиуса - вектора на подвижные оси



Пусть движение несущего тела в «абсолютной» системе отсчета задано координатами полюса А и углами Эйлера (см Сферическое движение),





Из этих функций можно найти скорость и ускорение полюса , угловую скорость и ускорение несущего тела.



Переносной скоростью и ускорением

точки М называется скорость и ускорение той точки тела, с которой в данный момент совпадает точка М. Иначе говоря, точки М, зафиксированной в данный момент на теле (метод остановки).

Найдем абсолютную скорость и ускорение точки М по известным характеристикам переносного и относительного движений.

Из Рис.1 следует



Рисунок и формула такие же, как в свободном движении тела, но с одним принципиальным отличием. Здесь вектор не является вектором в теле. Его модуль изменяется, поскольку точка М движется по телу. По этой причине к вектору не применима формула Эйлера. Представим вектор в подвижной системе отсчета через закон относительного движения



Здесь - орты подвижной системы, вращающиеся вместе с телом.

Дифференцируя (1) по времени, находим



Курс лекций по ТМ А.Костарева 2011

Дифференцируя (3) по времени, находим:



Орты являются векторами в несущем теле, поэтому их производные находим по формуле Эйлера



Таким образом,




Здесь введено обозначение относительной производной

Она характеризует изменение вектора при остановленном несущем теле.


Формула (6) выражает теорему о связи производных:

Абсолютная производная от вектора, заданного в подвижной системе, равна относительной производной плюс векторное произведение угловой скорости системы на вектор
Заметим, что при поступательном движении системы (= 0) производные совпадают.



Курс лекций по ТМ А.Костарева 2011

Формула (4) приобретает вид




В подвижной системе столбец проекций относительной производной имеет простой вид

Поэтому формулу (8) запишем в матричном виде в подвижных осях



Если в данный момент зафиксировать точку на теле, то



и абсолютная скорость по определению станет переносной.



(10)

Относительную скорость найдем, остановив тело (VA, = 0)




Таким образом, пришли к теореме о сложении скоростей в векторной форме



Абсолютная скорость точки равна

векторной сумме ее переносной и относительной скоростей.

Пример


z
Диск равномерно вращается вокруг оси z с угловой скоростью = 2c-1. По радиусу диска движется точка М по закону y = 3t2 -2t (м). Найти абсолютную ско рость точки в момент времени t1=1cек.

Сначала решим задачу методом остановки. Метод заключается в том, что при изучении относительного движения мысленно останавливается переносное движение, и наоборот. Это соответствует определениям этих движений.

Относительное движение (ω = 0)

Мысленно остановим вращение диска и найдем проекцию относительной скорости на подвижную ось у, продифференцировав закон относительного движения:



Переносное движение (y=Const)

Фиксируя точку М на расстоянии , найдем ее переносную скорость во вращении





Теорема о сложении скоростей

в проекциях на подвижные оси дает



Найдем абсолютную скорость матричным методом.



Находим проекции абсолютной скорости на подвижные оси:



Видим , что результаты совпадают с методом остановки.



Курс лекций по ТМ А.Костарева 2011
Теорема о сложении ускорений

Дифференцируя по времени теорему о сложении скоростей в векторной форме (10) ,

находим

Векторы и Vr заданы в подвижной системе, поэтому их абсолютные производные находятся по теореме о связи производных





Замечательно, что в этих выражениях совпадают слагаемые , полученные из двух, совершенно разных формул: и . В первом случае произведение характеризует изменение переносной вращательной скорости ввиду изменения относительного положения точки

Во втором случае произведение характеризует изменение направления вектора относительной скорости при вращении несущего тела с угловой скоростью

Таким образом, произведения характеризуют взаимное влияние относительного движения на вращательную переносную скорость и переносного вращения на относительную скорость. Поразительно то, что эти влияния совершенно одинаковы!

Получаем

Объединяя одинаковые слагаемые, находим



Формула (16) в матричной форме в подвижной системе, где просто записывается последнее слогаемое:



(17)

Чтобы найти переносное ускорение, зафиксируем по определению точку на несущем теле.

Тогда и абсолютное ускорение становится переносным по определению

(18)

Видим, что формула (18) совпадает с формулой ускорения точки тела, как и должно быть по определнию.

Остановив несущее тело (), найдем относительное ускорение

Слагаемое в (16)



(20)
называется добавочным или Кориолисовым ускорениям.

Приходим к теореме Кориолиса:



Видим, что в отличие от скоростей, сумма переносного и относительного ускорений не равна, в общем случае, абсолютному ускорению. Именно поэтому Кориолисово ускорение называют добавочным.

Ускорение названо по имени французского учёного Гюстава Гаспара Кориолиса, впервые её описавшего. Ускорение Кориолиса было получено Кориолисом в 1833 году, Гауссом в 1803 году и Эйлером в 1765 году (!).

Необходимость кориолисова ускорения становится очевидной из следующего простого примера. Платформа радиуса R равномерно вращается с угловой скоростью ω (Рис.3). Человек бежит по краю платформы против ее вращения с относительной скоростью



При этом, по отношению к Земле человек неподвижен, и его абсолютное ускорение равно нулю. Однако сумма переносного и относительного ускорений не равна нулю.

Действительно, относительное ускорение нормальным ускорением точки, направлено к центру платформы и равно:

Переносное ускорение точки, будучи осестремительным ускорением точки обода, тоже направлено к центру платформы и равно относительному ускорению



Сумма ускорений



направлена к центру колеса и не равна нулю.



Только наличие Кориолисова ускорения обеспечивает отсутствие абсолютного ускорения. Вектор угловой скорости направлен за чертеж, значит направлено от центра и по модулю равно



Вот теперь, по теореме о сложении ускорений абсолютное ускорение точки обратится в ноль. В проекции на радиус:





Курс лекций по ТМ А.Костарева 2011

Кориолисово ускорение



направлено по правилу правого винта и обращается в ноль в трех случаях:





  1. Несущее тело движется поступательно или меняет направление вращения (

  2. Относительная скорость точки параллельна угловой скорости тела Так при движении по меридиану в момент пересечении экватора Земли.

  3. Точка остановилась на несущем теле ()

На основании сказанного делаем вывод, что Кориолисово ускорение характеризует:



  1. Влияние переносного вращения несущего тела () на относительную скорость . Зафиксированный в несущем теле вектор изменяется со скоростью:

  2. Влияние относительного движения на переносную вращательную скорость. При фиксированной угловой скорости , относительная производная



дает вторую составляющую Кориолисова ускорения
Пример

Рассмотрим тот же пример, что и в теореме о сложении скоростей.

= 2c-1. y = 3t2 -2t (м).

Сначала применим метод остановки (Рис.4)



Относительное движение (ω=0)



Переносное движение ()



Кориолисово ускорение

Теорема Кориолиса в проекциях на подвижные оси



Тот же ответ получим матричным методом.



В подвижных осях:









Видим, что результаты двух методов совпадают.



Курс лекций по ТМ А.Костарева 2011

Преимуществом матричного метода является возможность вычислять искомые величины в произвольный момент времени без векторных построений.




Л9





Он честен ровно настолько, чтобы не быть повешенным. Пьер Бомарше
ещё >>