Курс лекций Красноярск, 2007 Сенашов, В. И - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Курс лекций Минск 2007 (075. 8) Ббк 65. 01 57 4350.42kb.
Курс лекций по русской истории «Полный курс лекций по русской истории» 50 11595.2kb.
Курс лекций по дисциплине : «Компьютерный практикум» для студентов... 11 1021.16kb.
Курс лекций москва издательство "юридическая литература" 22 6042.44kb.
Курс лекций по специальности «Спортивная медицина» Минск Белмапо... 3 642.61kb.
Курс лекций Харьков хнагх 2004 Ю. А. Фатеев. Логика: Краткий курс... 4 644.17kb.
Курс лекций по дисциплине Общая энергетика для специальностей 12 2613.76kb.
Курс лекций по истории политических и правовых учений подготовлен... 43 7398.12kb.
Курс лекций Москва «Альтаир» 2010 (075) ббк 20. 1 Я 7 23 4212.5kb.
Курс лекций для специальностей: 1-25. 01. 08 «Бухгалтерский учет... 12 2470.84kb.
Курс лекций по истории экономических учений, вопросы для зачета,... 5 1001.2kb.
Справка о материально-техническом, учебно-методическом, информационно-техническом... 5 972.42kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

Курс лекций Красноярск, 2007 Сенашов, В. И - страница №7/7


Теорема 25.5. Пусть G — конечная группа, содержащая подгруппу H, совпадающую со своим нормализатором и взаимно простую со своими сопряжёнными подгруппами. Тогда совокупность элементов, не содержащихся ни в H, ни в одной из сопряжённых с H подгрупп, вместе с единицей составляют нормальный делитель группы G.

Доказательство теоремы Фробениуса в случае, когда порядок |H| чётен. Пусть – множество инволюций, взятых по одной из каждой сопряжённой с H подгруппой. Так как пара a, b инволюций в любой группе порождает группу диэдра (ab) (a) и

то для любых содержатся во множестве . Если один из i, k фиксирован, а другой принимает значение от 1 до n, то получается n различных элементов из F. Так как |F|=n, то эти элементы исчерпывают всю F. Значит, для любых ,

при некотором . Следовательно, и теорема Фробениуса в случае четного порядка группы доказана.

Доказательство теоремы Фробениуса в случае нечётного порядка неинвариантного множителя занимает большой объём, и по этим соображениям здесь оно не рассматривается.

Теорема Фробениуса неверна для бесконечных групп. В.П. Шунко-вым и его учениками построены примеры групп, которые вместе со своей подгруппой составляют пару Фробениуса, но не являются группами Фробениуса.

Теорема Фробениуса справедлива для локально конечных групп, как показывает теорема Бусаркина-Старостина (см., напр., [40]): если в локально конечной группе G имеется подгруппа B, совпадающая со своим нормализатором и взаимно простая с каждой из своих сопряжённых подгрупп, то множество элементов из G, не входящих ни в одну из сопряжённых с B подгрупп, вместе с единицей является инвариантной в G подгруппой.

Как показывает этот пример, теорема Фробениуса не может быть обобщена на произвольные группы. Поэтому появилось более общее определение, в котором для конечных групп, ввиду теоремы Фробениуса, достаточно оставить только первое условие.

Определение. Группа G называется группой Фробениуса (фробениусовой группой) с дополнением (неинвариантным множителем) H и ядром (инвариантным дополнением) F, если F и H — такие её собственные подгруппы, что выполняются условия:

1) (G,H) — пара Фробениуса, т.е. H Hg=1 для любого элемента g G \ H;

2) подгруппа F нормальна в G и G=F H;

3) G \{ F\{1}} = Hg.

Если G и H удовлетворяют условию 1 определения группы Фробениуса, то по В.П. Шункову они составляют пару Фробениуса (G,H).

В.П. Шунковым совместно с А.И. Созутовым доказано [28], что если (G,H) — пара Фробениуса в периодической (слабо) (сопряженно) бипримитивно конечной группе G, то G=F H — группа Фробениуса.

А.И. Созутовым показано, что в сопряженно бипримитивно конечной группе, которая со своей подгруппой H составляет пару Фробениуса, если имеется неединичный элемент конечного порядка, то группа обладает периодической частью T, являющейся группой Фробениуса с локально конечным неинвариантным множителем H T.

Приведём пример группы Фробениуса с некоммутативным ядром. Если дополнительный множитель группы Фробениуса содержит элемент порядка два, то ядро группы является абелевой группой, если же дополнительный множитель нечётного порядка, то это не всегда так. Вейснер пытался доказать коммутативность инвариантного множителя Фробениуса в общем случае. О.Ю. Шмидт обнаружил ошибку в рассуждениях Вейснера и построил пример группы Фробениуса с некоммутативным инвариантным множителем, который был опубликован в 1940 г. [37]. Пусть


G=7=p7=r7=1,t3=1,rt=tr2,r-1q-1rq=p,

qt=tq2p,pt=tp4,rq=qrp,pq=qp,pr=rp>.
Данная группа обладает следующими свойствами:

a) Любой элемент группы G может быть представлен в виде taqbrcqd, где показатели a, b, c, d неотрицательны и не превышают порядка соответствующего элемента, причём единственным образом;

б) |G | = 3*73 = 1029;

в) Подгруппа третьего порядка H = (t) совпадает со своим нормализатором и взаимно проста со своими сопряжёнными, составляя вместе с ними класс из 343 групп;

г) Существует 342 элемента седьмого порядка, которые вместе с единицей составляют нормальный делитель порядка 343, а именно: F = >, куда входит и p;

д) При преобразовании элементами F (кроме единицы) все 343 сопряжённые с H подгруппы перемещаются между собой.

Рассмотрим пример группы Фробениуса с ненильпотентным дополнительным множителем.

Группа G = {a,b,c,d} порядка 22372 с определяющими соотношениями


a7 = b7 = c3d4 = e, ab = ba, cac-1 = a2,

cbc-1 = b4, dad-1 = b2, dbd-1 = a3, dcd-1 = c2
является группой Фробениуса с инвариантным множителем A = <a> <b> и ненильпотентным дополнительным множителем B = < c , d >, [10].

В.П. Шунков поставил в Коуровской тетради нерешенных проблем по теории групп вопрос 6.53. Что можно сказать о ядре и дополнении

группы Фробениуса? В частности, какие группы могут выступать в качестве ядра? дополнения?

Группа Фробениуса в бесконечном случае может иметь очень сложное строение.



В.В.Блудов показал, что любая группа может быть вложена в ядро некоторой группы Фробениуса и любая правоупорядоченная группа изоморфна дополнению некоторой группы Фробениуса [6]. Обзор результатов по группам Фробениуса и группам с системами фробениусовых подгрупп можно найти в [24].


Библиографический список
1 Адян, С.И. Проблема Бернсайда и тождества в группах / С.И. Адян. М.: Наука, 1975.

  1. Александров, П.С. Введение в теорию групп / П.С. Александров. М.: Наука, 1980.

  2. Алешин, С.В. Конечные автоматы и проблема Бернсайда о периодических группах / С.В. Алешин // Мат. зам. – 1972. – Т. 11. №3. – С. 319–328.

  3. Бахова, М.Ю. Примеры бипримитивно конечных групп без инволюций / М.Ю. Бахова: тез. докл. 17 всесоюзной алгебр. конф. – Минск, 1983. – С. 17.

  4. Богопольский, О.В. Введение в теорию групп. М.; Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2002.

  5. Блудов, В.В. О группах Фробениуса / В.В. Блудов // Сиб. мат. журн. –1997. – Т.38. № 6. – С. 1219–1221.

  6. Глухов, М.М. Алгебра. Т.1,2 / М.М. Глухов, В.П. Елизов, А.А. Нечаев; допущено МО РФ в качестве учебника для студентов вузов, обучающихся по группе специальностей в области информационной безопасности. М.: Гелиос АРВ, 2003.

  7. Голод, Е.С. О ниль-алгебрах и финитно аппроксимируемых p-группах / Е.С. Голод // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1964. – Т. 28. №1. – С. 273–276.

  8. Голод, Е.С. О некоторых проблемах бернсайдовского типа / Е.С. Голод // Труды международного конгресса математиков. – М.: Мир, 1968. – С. 284–289.

  9. Горчаков, Ю.М. О бесконечных группах Фробениуса / Ю.М. Горчаков // Алгебра и логика. – 1965. – Т. 4. №1. – С. 118–125.

  10. Григорчук, Р.И. К проблеме Бернсайда о периодических группах / Р.И. Григорчук // Функц. анализ и его приложения. –1980. – Т. 14. №1. – С. 53–54.

  11. Каргаполов, М.И. О проблеме О.Ю. Шмидта / М.И. Каргаполов // Сиб. мат. журн. – 1963. – Т. 4. №1. – С. 232–235.

  12. Каргаполов, М.И. Основы теории групп / М.И. Каргаполов, Ю.И.Мерзляков. М.: Наука, 1996.

  13. Коксетер, Г.С.М. Порождающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп: пер. с англ. / Г.С.М. Коксетер, У.О.Дж. Мозер; под. ред. Ю.И. Мерзлякова. М.: Наука, 1980.

  14. Кудрявцев, В.Б. Введение в теорию автоматов / В.Б. Кудрявцев, С.В. Алешин, А.С. Подколзин. М.: Наука, 1985.

  15. Курош, А.Г. Теория групп / А.Г. Курош. М.: Наука, 1967.

  16. Математическая энциклопедия / под ред. И.М. Виноградова. М.: Сов. энциклопедия, 1977–1984.

  17. Международный математический конгресс в Амстердаме, 1954. – М., 1959.

  18. Мерзляков, Ю.И. О бесконечных конечно-порожденных периодических группах / Ю.И. Мерзляков // Докл. АН СССР. – 1983. – Т. 268. №4. – С. 803–805.

  19. Новиков, П.С. О периодических группах / П.С. Новиков // Докл. АН СССР. – 1959. – Т. 127. №4. – С. 749–752.

  20. Новиков, П.С. О бесконечных периодических группах / П.С. Но-виков, С.И. Адян // Изв. АН СССР . Сер. матем. – 1968. – Т. 32. №1. – С. 212–244; Т. 32. №2. – С. 251–523; Т. 32. №3. – С. 708–731.

  21. Ольшанский, А.Ю. Бесконечные группы с циклическими подгруппами / А.Ю. Ольшанский // Докл. АН СССР. – 1979. – Т. 245. №4. – С. 785–787.

  22. Ольшанский, А.Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах / А.Ю. Ольшанский. М.: Наука, 1989.

  23. Попов, А.М. Группы с системами фробениусовых подгрупп / А.М. Попов, А.И. Созутов, В.П. Шунков. Красноярск. Изд-во КГТУ, 2004.

  24. Рожков, А.В. Условия конечности в группах автоморфизмов деревьев / А.В. Рожков // Алгебра и логика. – 1998. – Т. 37. №5. – С. 568–605.

  25. Сенашов, В.И. Группы с условиями конечности / В.И. Сенашов, В.П. Шунков. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2001.

  26. Сенашов, В.И. Группы с условиями конечности / В.И. Сенашов, А.И. Созутов, В.П. Шунков // Успехи мат. наук. – 2005. – Т.69. № 5 (365). – С. 1–46.

  27. Созутов, А.И. Об одном обобщении теоремы Фробениуса на бесконечные группы / А.И. Созутов, В.П. Шунков // Мат. сб. – 1976. – Т.100. № 4. – С. 495–506.

  28. Старостин, А.И. О группах Фробениуса / А.И. Старостин // Укр. мат. журн. –1971. – Т. 23. № 5. С. 629–639.

  29. Струнков, С.П. Нормализаторы и абелевы подгруппы некоторых классов групп / С.П. Струнков // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1967. – Т. 31. №3. – С. 657–670.

  30. Сущанский, В.И. Периодические p-группы подстановок и неограниченная проблема Бернсайда / В.И. Сущанский // Докл. АН СССР. – 1979. – Т. 247. №3. – С. 557–561.

  31. Холл, М. Теория групп / М. Холл. М.: Мир, 1962.

  32. Череп, А.А. О множестве элементов конечного порядка в бипримитивно конечной группе / А.А. Череп // Алгебра и логика. – 1987. – Т. 26. № 4. – С. 518–521.

  33. Черников, Н.С. Группы, разложимые в произведение перестановочных подгрупп / Н.С. Черников. Киев: Наук. думка, 1987.

  34. Черников, С.Н. Условия конечности в общей теории групп / С.Н. Черников // Успехи мат. наук. – 1959. – Т. 14. № 5. – С. 45–96.

  35. Черников, С.Н. Группы с заданными свойствами системы подгрупп / С.Н. Черников. М.: Наука, 1980.

  36. Шмидт, O.Ю. Избранные труды. Математика / O.Ю. Шмидт. – М.: Изд-во. АН СССР, 1959.

  37. Шунков, В.П. О локально-конечной группе с экстремальными силовскими p-подгруппами по некоторому простому числу p / В.П. Шунков // Сиб. мат. журн. – 1967. – Т. 8. №1. – С. 213–229.

  38. Шунков, В.П. О некотором обобщении теоремы Фробениуса на периодические группы / В.П. Шунков // Алгебра и логика. – 1967. – Т. 6. №3. – С. 113–124.

  39. Шунков, В. П. Mp-группы / В. П. Шунков. М.: Наука, 1990.

  40. Feit, W. Solvability of groups of odd order / W.Feit, J.G. Thompson // Pacif. J. Math. – 1963. – V. 13. № 3. – P. 775–1029.

  41. Holl, Ph. A property of locally finite groups / Ph. Holl, C.R. Kylatilaka // J. London Math. Soc. – 1964. – V. 39. – P. 235–239.

  42. The GAP Group GAP – Groups, Algorithms, and Programming, Version 4.4, 2006 (http://www.gap-system.org).

  43. Wilson R. Atlas of Group Representations, Version 2.0 (http://www.mat.bham.ac.uk/atlas/).



<< предыдущая страница  



Самый подходящий момент начать статью наступает, когда вы ее успешно закончили. К этому времени вам становится ясно, что именно вы хотите сказать. Марк Твен
ещё >>