Курс лекций Красноярск, 2007 Сенашов, В. И - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Курс лекций Минск 2007 (075. 8) Ббк 65. 01 57 4350.42kb.
Курс лекций по русской истории «Полный курс лекций по русской истории» 50 11595.2kb.
Курс лекций по дисциплине : «Компьютерный практикум» для студентов... 11 1021.16kb.
Курс лекций москва издательство "юридическая литература" 22 6042.44kb.
Курс лекций по специальности «Спортивная медицина» Минск Белмапо... 3 642.61kb.
Курс лекций Харьков хнагх 2004 Ю. А. Фатеев. Логика: Краткий курс... 4 644.17kb.
Курс лекций по дисциплине Общая энергетика для специальностей 12 2613.76kb.
Курс лекций по истории политических и правовых учений подготовлен... 43 7398.12kb.
Курс лекций Москва «Альтаир» 2010 (075) ббк 20. 1 Я 7 23 4212.5kb.
Курс лекций для специальностей: 1-25. 01. 08 «Бухгалтерский учет... 12 2470.84kb.
Курс лекций по истории экономических учений, вопросы для зачета,... 5 1001.2kb.
Справка о материально-техническом, учебно-методическом, информационно-техническом... 5 972.42kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

Курс лекций Красноярск, 2007 Сенашов, В. И - страница №6/7


Группа поворотов икосаэдра. Напомним, что решение

уравнения определяет отношение ребра икосаэдра к ребру куба (рис. 1, 2), много веков называемое золотым сечением единичного отрезка. На рис.2 более толстыми линиями изображены расположенные на гранях куба рёбра икосаэдра. Пара таких рёбер, расположенных на противоположных гранях куба, определяет прямоугольник, а все шесть этих рёбер определяют прямоугольную триаду икосаэдра. В каждом икосаэдре можно построить 5 таких триад. Оказывается, между множеством всех чётных подстановок прямоугольных триад и множеством всех поворотов, совмещающих икосаэдр с собой, существует взаимно однозначное соответствие. Оно является изоморфизмом знакопеременной группы чётных подстановок 5-й степени и группы .

В качестве порождающих последней группы можно взять повороты на вокруг осей, проходящих через середины смежных треугольных граней икосаэдра. Удобно выбрать общим ребром таких граней расположенное на грани куба ребро икосаэдра. Тогда в рассмотренной уже при изучении группы поворотов куба системе координат указанные оси поворотов икосаэдра окажутся в координатной плоскости. Если прямоугольные триады пронумеровать числами то поворотам, выбранным в качестве порождающих группы, будут соответствовать подстановки и порождающие группу

Около 1890 г. знаменитый русский кристаллограф и геометр Е.С.Федоров решил теоретико-групповыми методами одну из основных задач кристаллографии: задачу классификации правильных пространственных систем точек. Это было первым случаем непосредственного применения теории групп в естествознании и оказало существенное влияние на развитие теории групп.

При изучении кристаллов, естественно, возникает предположение о некоторой правильности расположения в них атомов. Оказалось, что описать все возможные кристаллические решётки проще, если предварительно вычислить для них группы симметрий. Сегодня эти группы называют федоровскими. Эта задача связана с задачей разбиения пространства на совокупность равных многогранников, непересекающихся по своим внутренним точкам. Для простоты проясним ситуацию на плоскости. Допустим, что плоскость разбита на бесконечную совокупность квадратов, как на клетчатом тетрадном листе.

Рассмотрим подгруппу G группы симметрий этой бесконечной фигуры со свойством: каждый из квадратов рассматриваемого разбиения является фундаментальной областью группы G, т.е. такой областью внутри которой ни одна точка не содержит своих образов при действии нетождественным элементом группы G. Тогда для группы G возможны следующие варианты:

1. Группа G состоит из линейных комбинаций двух параллельных переносов по вертикали и горизонтали с целочисленными коэффициентами, т.е. G – прямая сумма двух бесконечных циклических групп.

2. Группа G состоит из осевых симметрий с осями, содержащими стороны фундаментальной области, и всевозможных их композиций. В этом случае этой группе естественно сопоставить разбиение плоскости на квадраты, закрашенные так, как на шахматной доске.

Разбиение плоскости можно сделать более мелким и выбрать в качестве фундаментальной области четверть клетки – равнобедренный прямоугольный треугольник, гипотенуза которого совпадает со стороной клетки, а вершина прямого угла совпадает с центром клетки. Группу G тогда нужно дополнить поворотами на вокруг центров квадратов.

Начальное разбиение плоскости можно дробить и дальше, полагая, что фундаментальная область соответствующей группы совпадает с 1/8 частью квадрата и т.д.

Упражнение. Докажите, что для разбиений плоскости на совокупность правильных n-угольников n может принимать только значения 3, 4 и 6.

Оказывается, что на этом пути можно получить только 17 различных групп симметрий. Мастера орнамента практически открыли орнаменты со всеми возможными группами симметрий: на долю теории групп выпало лишь доказать отсутствие других видов. Подробный вывод и перечисление всех фёдоровских групп движений пространства и в настоящее время требуют нескольких десятков страниц текста. Сообщим лишь, что существует только 230 фёдоровских групп движений пространства. Некоторые из них были открыты благодаря применению теории групп.



РАЗДЕЛ 8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Тема 23. Атласы групп
Таблицы групп. Атласы конечных простых групп и представлений конечных групп. Конечной целью собственно теории групп является описание всех существующих в природе групповых композиций. Понятно, что задача получения списка всех групп неразрешима. Однако частичные решения этой задачи приводят к таблицам групп. Такие таблицы или ссылки на них появляются уже в первых книгах по теории групп. Например, шестая глава книги О.Ю.Шмидта [37] завершена построением всех групп 12-го порядка и таблицей, указывающей для каждого число неизоморфных групп порядка

«Очаровательная коллекция конкретных групп, записанных порождающими элементами и определяющими соотношениями» — такая характеристика книги [14] дана редактором её перевода. Эта книга (см. также [13]) содержит и метод перечисления смежных классов Тодда-Коксетера, позволяющий найти определяющие соотношения для групп, заданных к.-н. иным способом.

Этот метод многократно программировался и является сегодня частью систем компьютерной алгебры. Таким образом, системы компьютерной алгебры служат источником для составления таблиц групп. Системы компьютерной алгебры MAGMA и GAP отражают два основных способа представления группы: комбинаторный (порождающими элементами и определяющими соотношениями) и в виде группы преобразований (подстановками или матрицами). Открытая для пользователей система GAP [43] создавалась на основе подстановочного представления группы. Кроме большого количества запрограммированных алгоритмов, позволяющих строить списки групп с нужными пользователю свойствами, система GAP содержит и готовые таблицы групп.

Здесь приведён список некоторых групп из библиотеки системы GAP с указанными в скобках командами обращения к этим группам, причём параметр в этих командах определяет способ задания группы. Например, при filt=IsPermGroup получаем подстановочное представление группы, а при — её линейное представление.



Циклическая группа порядка (CyclicGroup( [filt, ]n ));

Абелева группа, разложимая в прямую сумму групп порядков для списка натуральных чисел (AbelianGroup( [filt, ]ints ));

Группа диэдра порядка (DihedralGroup( [filt, ]n ));

Знакопеременная группа степени (AlternatingGroup( [filt, ]deg ));

Симметрическая группа степени (SymmetricGroup( [filt, ]deg ));

Группа Матье степени (MathieuGroup( [filt, ]degree ));

Общая линейная группа обратимых матриц над кольцом (GL( [filt, ]d, R ));

Общая линейная группа обратимых матриц над конечным полем из элементов (GL( [filt, ]d, q ));

Специальная линейная группа обратимых матриц над кольцом (SL( [filt, ]d, R ));

Специальная линейная группа обратимых матриц с единичным определителем над конечным полем из элементов (SL( [filt, ]d, q ));

Проективная специальная линейная группа, изоморфная фактор-группе группы по её центру (PSL( [filt, ]d, q ));

Группа под номером каталога всех групп порядка (SmallGroup( order, i )), (423164062 группы).

Кроме того, в каталоге групп малых порядков системы GAP можно найти каждую группу порядка:

для и для каждого простого числа ;

для делящего или и для каждого простого ,

— имеющего не более 3 различных простых делителей.

Заметим, что каждый из этих случаев охватывает бесконечное множество групп.

Командой AllSmallGroups( arg ) можно вызвать все группы со свойством Например, по команде AllSmallGroups( 1029, IsNilpotent ) выписываются все 5 нильпотентных групп порядка 1029, причём каждая из них задана системой из 4 порождающих элементов и определяющими соотношениями.

Помещённый в дополнении пример О.Ю.Шмидта группы Фробениуса с некоммутативным инвариантным множителем находится в каталоге системы GAP. Таким образом, свойства этой группы можно получить сегодня и с помощью этой системы, либо обратившись к её каталогу групп, либо построив в системе GAP указанную группу на языке определяющих соотношений.

Система GAP может обращаться и к существующему отдельно от неё Атласу представлений конечных групп [44]. Атлас содержит: спорадические группы (т.е. исключительные конечные простые группы), знакопеременные группы, линейные группы, другие классические группы, исключительные группы лиева типа и некоторые другие группы. Из бесконечных серий групп берутся только группы малых рангов над полями небольших порядков.

Каждая группа этого Атласа задаётся своими порождающими элементами, которые названы "‘стандартными"’. Каждый стандартный порождающий группы записан в виде матрицы или подстановки. Авторы Атласа стремятся получить как можно больше представлений стандартных порождающих. Каждой группе Атласа посвящена его страница, которая, если это возможно, содержит также по представителю каждого класса сопряжённых элементов этой группы и список её максимальных подгрупп.

Атлас представлений конечных групп позволил найти другие порождающие некоторых его групп. Например, на сайте ИВМ СО РАН

(http://icm.krasn.ru/resources.php?resid=10) для каждой (кроме группы Монстр) спорадической группы размещено три инволюции, порождающих эту группу, причем либо две из них перестановочны, либо в каждой состоящей из трёх инволюций системе порождающих этой группы любые две инволюции не коммутируют.

Тема 24. Заключение
Как мы уже отмечали в начале курса лекций, в настоящее время теория групп представляет собой хорошо развитую область математики. В Красноярске в августе 2007 г. проходила международная алгебраическая конференция, посвященная 75-летию профессора В.П.Шункова. Многие участники этой конференции приехали в Красноярск с только что закончившегося международного российско-китайского семинара, проходившего на озере Байкал. В сентябре 2007 г. в Санкт-Петербурге проходила международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения Д.К. Фаддеева. Работало четыре её секции. Наибольшее число докладов было прочитано в секции «Теория групп». В некоторые дни эта секция делилась на три подсекции: бесконечные группы, конечные группы и конечные геометрии, абелевы группы.

В России работают постоянно действующие алгебраические семинары, на которых регулярно заслушиваются доклады по теории групп, в т. ч. и доклады красноярских алгебраистов. Это семинары МГУ, ИМ УрО РАН, ИМ СО РАН, НГУ, Красноярский городской алгебраический семинар, работающий на базе СибФУ.

Российские ученые имеют большой авторитет в мире. Для участия в оргкомитетах конференций, проводимых в других странах, приглашаются многие российские ученые. Приглашенные алгебраисты выступают с докладами на международных конференциях, проводимых за рубежом. Большинство научных журналов, таких как «Алгебра и логика», «Сибирский математический журнал», «Фундаментальная и прикладная математика», «Дискретная математика», «Доклады академии наук» переводятся на английский язык и переиздаются за границей.

Аспирантура по теории групп начала работать в Красноярском государственном университете с появлением первых его выпускников. На кафедре алгебры и математической логики руководят работой студентов и аспирантов семь докторов физико-математических наук. На базе кафедры алгебры и математической логики создан совет по защите докторских диссертаций.



ДОПОЛНЕНИЕ
Тема 25. Группы Фробениуса
Группы Фробениуса играют большую роль в изучении бесконечных групп. Интересны для изучения как сами группы Фробениуса, так и группы, обладающие системами подгрупп, являющимися группами Фробениуса.
Определение. Напомним, что конечная группа G называется группой Фробениуса, если в ней найдется собственная подгруппа H, совпадающая со своим нормализатором и взаимно простая со своими сопряженными подгруппами, отличными от H, [29].

Приведем элементарные свойства групп Фробениуса.



Теорема 25.1. Порядки ядра и неинвариантного множителя конечной группы Фробениуса взаимно просты.

Доказательство. Пусть G = FH – конечная группа Фробениуса и S – силовская p-подгруппа из H. Предположим, что найдётся p-подгруппа P > S и P не содержится в H. По теореме 16.2.2 из [13] найдётся элемент из . Тогда . Противоречие с определением группы Фробениуса. Учитывая строение группы Фробениуса G = FH, получаем утверждение теоремы. Теорема доказана.

Теорема 25.2. Всякая подгруппа порядка pq, где p и q – необязательно различные числа, дополнительного множителя Фробениуса – циклическая.

Доказательство. Пусть существует группа Фробениуса G = FH с абелевым инвариантным множителем F и нециклическим дополнением . Пусть H = <a> <v>, где |a| = p, |v|= q и . Элемент равен e, т. к. он централизует H, следовательно, . Ввиду нецикличности H имеем . По свойствам групп Фробениуса, G=F(a) и F(av) имеем , . Поэтому

.

Таким образом, . Это невозможно, т. к. (|F|,|1|)=1. Теорема доказана.



Следствие 25.1. Силовские p-подгруппы в дополнительном множителе циклические при p > 2, а при p = 2 либо циклические, либо (обобщённые) группы кватернионов.

Разрешимый дополнительный множитель Фробениуса является группой одного из таких типов:



  1. Циклическая группа;

2. H = <a> <b>, (|a|, |b|)=1, (a)=H, все элементы простых порядков из b лежат в Z(H);

3. H = H1Q, где H1 – группа нечётного порядка одного из типов 1, 2, Q1 – обобщённая группа кватернионов с инволюцией t, ;

4. H = QH1, где H1 – группа нечётного порядка одного из типов 1, 2, Q – группа кватернионов восьмого порядка;

5. H содержит подгруппу индекса 2 типа 4, и силовская 2-подгруппа из H есть группа кватернионов порядка 10.

Неразрешимый дополнительный множитель Фробениуса H содержит в качестве подгруппы индекса группу , где – группа одного из типов 1, 2, (|H1|,30)=1.

Пусть G — группа, H — ее собственная подгруппа. Имеется в виду, что G и H составляют пару Фробениуса, если для любого элемента x из G\H пересечение H с Hx единично.



Дадим описание группы Фробениуса с неинвариантным множителем, содержащим инволюцию.

Теорема 25.3. Пусть G = B(i) – периодическая группа Фробениуса, |i| = 2. Тогда любой нетривиальный элемент из ядра B служит строго вещественным относительно инволюции i.

Доказательство. Рассмотрим элемент c = ib-1ib, где b – произвольный элемент из b. Так как , то по теореме 25.1 порядок элемента c нечётен, |c| = 2n+1. Тогда или . Следовательно, , и появляются две возможности или . Первая возможность не реализуется ввиду того, что . Значит, или . Тогда имеет место равенство , которое и доказывает теорему. Теорема доказана.

Теорема 25.4. Пусть G=B (i) – периодическая группа Фробениуса, |i| = 2. Тогда ядро B будет абелевой группой.

Доказательство. Пусть b, c – произвольные элементы из b, c. По предыдущей теореме элемент c имеет нечётный порядок, и пусть, напр., |c|=2n-1. Рассмотрим элемент . По теореме 25.3:
idi = d -1 = c-nb-1cn,
с другой стороны,

Таким образом, или . Учитывая порядок элемента c, перепишем это равенство в виде или . Теорема доказана.

Приведем формулировку знаменитой теоремы Фробениуса:



<< предыдущая страница   следующая страница >>



Часть скандала всегда остается в тени, и это всегда его лучшая часть. «Закон тени»
ещё >>