Курс лекций Красноярск, 2007 Сенашов, В. И - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Курс лекций Минск 2007 (075. 8) Ббк 65. 01 57 4350.42kb.
Курс лекций по русской истории «Полный курс лекций по русской истории» 50 11595.2kb.
Курс лекций по дисциплине : «Компьютерный практикум» для студентов... 11 1021.16kb.
Курс лекций москва издательство "юридическая литература" 22 6042.44kb.
Курс лекций по специальности «Спортивная медицина» Минск Белмапо... 3 642.61kb.
Курс лекций Харьков хнагх 2004 Ю. А. Фатеев. Логика: Краткий курс... 4 644.17kb.
Курс лекций по дисциплине Общая энергетика для специальностей 12 2613.76kb.
Курс лекций по истории политических и правовых учений подготовлен... 43 7398.12kb.
Курс лекций Москва «Альтаир» 2010 (075) ббк 20. 1 Я 7 23 4212.5kb.
Курс лекций для специальностей: 1-25. 01. 08 «Бухгалтерский учет... 12 2470.84kb.
Курс лекций по истории экономических учений, вопросы для зачета,... 5 1001.2kb.
Справка о материально-техническом, учебно-методическом, информационно-техническом... 5 972.42kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

Курс лекций Красноярск, 2007 Сенашов, В. И - страница №2/7

Примеры

1. Аддитивная группа Q рациональных чисел полна.


2. Квазициклическая группа Cp изоморфна (в аддитивной записи) объединению возрастающей цепочки конечных циклических групп
(a1) < (a2) <…< (an) <,
причем pa1 = 0, pan+1=an, n=1,2,…

Приведем без доказательства две основных для теории полных абелевых групп теоремы:

Теорема 8.1. Полная подгруппа абелевой группы выделяется в ней прямым слагаемым.

Теорема 8.2. Ненулевая полная абелева группа разлагается в прямую сумму подгрупп, изоморфных аддитивной группе рациональных чисел или квазициклической р-подгруппе, быть может, по различным р.

Доказательства этих теорем подробно изложены в [13].

Группа G обладает полной частью A, если A — абелева группа, порожденная всеми полными абелевыми подгруппами из G, и G/A не обладает полными абелевыми подгруппами.

Упражнения

1. Доказать полноту группы рациональных чисел.

2. Доказать полноту квазициклической группы.


РАЗДЕЛ 4. ОТОБРАЖЕНИЯ ГРУПП
Тема 9. Группы подстановок
Определения и свойства групп подстановок. Теорема Кэли.

Определение. Множество подстановок на n элементах является группой, которая называется симметрической группой Sn степени n.

Свойства группы подстановок.

Симметрическая группа Sn степени n является конечной. Её порядок | Sn|=n!

Симметрическая группа Sn-1 степени n-1 может быть вложена в симметрическую группу степени n (все подстановки из группы Sn, оставляющие символ i на месте, составляют подгруппу, изоморфную группе Sn-1).

Группа Sn некоммутативна при n3. Группа S2, очевидно, абелева.

Множество четных подстановок на n элементах является группой, которая называется знакопеременной группой An степени n. Эта группа имеет порядок | An| = . Она является нормальной подгруппой группы Sn : An Sn. Индекс подгруппы An в группе Sn равен 2: |Sn : An| = 2 (при n2). Нечетные подстановки не составляют группы.

Существует гомоморфное отображение симметрической группы Sn степени n на группу порядка 2, состоящую из чисел 1 и –1, при этом четной подстановке ставится в соответствие число 1, а нечетной подстановке – число –1. Таким образом, фактор-группа Sn / An изоморфна группе, состоящей из чисел 1 и –1, относительно операции умножения.

Группа Sn порождается циклами Sn = <(1 2), (1 2 … n)>.

Доказательство приведенных свойств предлагается провести самостоятельно.

Следующая теорема показывает, что подгруппами конечных симметрических групп, по существу, исчерпываются все конечные группы.



Теорема 9.1 (Теорема Кэли). Любая конечная группа порядка n изоморфна некоторой подгруппе симметрической группы степени n.

Доказательство. Пусть элементы группы G записаны в определенном порядке:

g1, g2, …, gn.

Если a – произвольный элемент группы G, то все произведения gia = – различные элементы группы G, т. е.



, , …,

отличается от предыдущей записи элементов группы G лишь расположением элементов. Элементу a ставится в соответствие подстановка:



.

Двум различным элементам соответствуют различные подстановки, т. к. из g1a = g1 следует . Найдем подстановку, соответствующую произведению ab, где b – некоторый элемент группы G. Если элементу b соответствует подстановка



,

т. е. b = , то из gi(ab) = b = следует, что элементу ab соответствует подстановка



.

Таким образом, группа G изоморфно отображается в группу Sn. Теорема доказана.




Тема 10. Гомоморфизмы
Определение гомоморфизма, примеры гомоморфных отобра-жений.

Определение. Отображение группы G в группу S называется гомоморфным, или гомоморфизмом, если (ab) = (a) (b) для любых a, b из G.

Множество всех элементов из G, которые при гомоморфизме отображаются в – единицу группы , называется ядром гомоморфизма и обозначается .

Отображение группы целых чисел Z по сложению на аддитивную группу кольца Zn классов вычетов по модулю n – гомоморфизм.

Отображение симметрической группы подстановок степени n на мультипликативную группу кольца Zn – гомоморфизм.



Теорема 10.1. Ядро любого гомоморфизма группы G является нормальной подгруппой группы G.

Доказательство. Пусть , т.е. . Тогда произведение элементов тоже содержится в ядре, т.к. . Элемент , т.к. . Все элементы, сопряженные с a, также содержатся в : .

Итак, ядро гомоморфизма является подгруппой группы G и вместе с любым своим элементом содержит элемент, сопряженный с ним. Отсюда следует, что – нормальная подгруппа группы G. Теорема доказана.

Пусть H – нормальная подгруппа группы G. Поставим каждому элементу x группы G смежный класс xH и получим отображение группы G на фактор-группу G/H. Это отображение будет гомоморфизмом: . Полученный гомоморфизм называ-ется естественным гомоморфизмом группы G на фактор-группу G/H. Таким образом, нормальные подгруппы, и только они, являются ядрами гомоморфизмов.

Теорема 10.2. Пусть дан гомоморфизм группы G на группу и H – ядро этого гомоморфизма. Тогда группа изоморфна фактор-группе G/H, причем гомоморфизм равен последовательному выполнению естественного гомоморфизма и изоморфизма .

Доказательство. Зададим отображение фактор-группы на группу : . Покажем, что – изоморфизм. Во-первых, если , то и . Во-вторых, образы различных элементов различны, т. к. если образы совпадают, , то , то и прообразы совпадут . В-третьих, отображение сохраняет операцию:

Итак, отображение является изоморфизмом.

Гомоморфизм . Действительно, . С другой стороны, . Теорема доказана.

Теорема 10.3. Пусть H и A – нормальные подгруппы группы G и H – подгруппа группы A. Тогда фактор-группа изоморфна фактор-группе .

Доказательство. Пусть отображение задается:

.

Покажем, что – изоморфизм. Во-первых, если , то , т. к. . Во-вторых, отображение сохраняет операцию:



.

Таким образом, – гомоморфизм группы на группу . Ядро этого гомоморфизма , т. к. – единица фактор-группы . Следовательно, – нормальная подгруппа группы . По теореме 3.2 фактор-группа изоморфна фактор-группе . Теорема доказана.



Тема 11. Изоморфизмы
Определение изоморфизма, примеры изоморфных групп.

Определение. Говорят, что группы G и G* изоморфны, если между ними можно установить взаимно однозначное отображение , сохраняющее операцию, т. е. (a) (b)= (ab) для любых a, b из G.

Примеры

1. Группа положительных действительных чисел R+ по умножению изоморфна группе действительных чисел R по сложению. Изоморфное отображение получается, если всякому положительному действительному числу поставим в соответствие его логарифм по основанию 10. Равенство lg(ab) = lg(a)+lg(b) показывает, что это отображение является изоморфным. Как отмечено в [13], пользуясь логарифмической линейкой, мы просто пожинаем плоды этого изоморфизма.

2. Группа корней n-й степени из единицы по умножению изоморфна аддитивной группе кольца Zn классов вычетов по модулю n.

3. Множество четных чисел можно взаимнооднозначно отобразить на множество чисел, кратных числу 3, если всякому четному числу вида 2k поставить в соответствие число вида 3k, лежащее во втором множестве.

Всякое множество с операцией изоморфно, очевидно, самому себе: для этого достаточно взять тождественное отображение множества на себя. Следовательно, отношение изоморфизма является рефлексивным. Легко видеть, что оно также является симметричным — из M1 M2 следует M2 M1 и транзитивным — из M1 M2 и M2 M1 следует M1 M3. Выполнение трех этих свойств означает, что изоморфизм является отношением эквивалентности на множестве групп. Из определения изоморфизма следует, что изоморфные множества имеют одинаковую мощность, в частности, если они конечны, то состоят из одинакового числа элементов.

Изоморфные группы отличаются друг от друга природой своих элементов и, быть может, названием операций. Они неразличимы с точки зрения свойств операций. Все, что может быть доказано для некоторого множества с операцией на основании свойств этой операции, но без использования конкретной природы элементов множества, автоматически переносится на все множества с операцией, изоморфные данному. Изоморфные группы, таким образом, считаются различными экземплярами группы с одной и той же операцией. Тем самым алгебраическая операция выделяется в качестве истинного объекта изучения.

Задача теории групп — изучение групповых операций или, иначе, изучение групп с точностью до изоморфизма. Снова приведем цитату из монографии [13], которая богата оригинальными выражениями и крылатыми фразами. Теория групп была бы закрыта, если бы удалось составить каталог всех возможных групп с точностью до изоморфизма. Однако составить такой каталог практически невозможно.

Упражнения

1. Доказать, что Cn Zn.

2. Мультипликативная группа кольца комплексных чисел (Когда рассматривают мультипликативную группу к.-л. кольца, то рассматривают только подмножество его обратимых элементов. Таким образом, в нашем множестве будет отсутствовать число 0) изоморфна группе всех невырожденных матриц вида

с действительными коэффициентами, рассматриваемыми относительно обычного умножения матриц.

3. Показать, что множество обратимых диагональных матриц степени n над коммутативным кольцом K с единицей Dn(K) относительно умножения изоморфно прямому произведению n копий кольца K.

Тема 12. Автоморфизмы
Определение автоморфизма. Автоморфизмы группы являются частным случаем её эндоморфизмов, т. е. гомоморфных отображений группы в себя. По выражению Ю.И. Мерзлякова, эндоморфный образ подобен удостоверению личности в кармане этой личности.

Определение. Изоморфизм группы на себя называется ее автоморфизмом.

Множество всех автоморфизмов группы G обозначается Aut G.



Виды автоморфизмов, голоморф. Тривиальным примером автоморфизма является тождественное отображение группы на себя, при котором каждый элемент группы остается на месте. Простейшим нетривиальным автоморфизмом может служить изоморфизм аддитивной группы кольца целых чисел на себя j: n n. При автоморфизме любая подгруппа группы испытывает изоморфное отображение.

Если на множестве автоморфизмов задать операцию умножение — последовательное выполнение автоморфизмов, то множество Aut G будет являться группой относительно введенной операции. При этом Aut G £ S(G), где S(G) – группа всех взаимнооднозначных отображений группы G на себя.

Рассмотрим сопряжение группы G элементом a из G: x ® xa. Такое отображение будет изоморфизмом, т. к. оно является взаимнооднозначным и
(xy)a=a-1(xy)a=(a-1xa)(a-1ya)=xaya.
Такой автоморфизм называется внутренним автоморфизмом, производимым элементом a. Множество таких автоморфизмов относительно умножения – их последовательного выполнения, является группой. Ее обозначают Int G. Она является нормальной подгруппой группы автоморфизмов группы G: Int G Aut G.

Автоморфизмы, которые не являются внутренними, называются внешними. Группой внешних автоморфизмов называют фактор-группу:


Out G = Aut G / Int G.
Для абелевой группы Out G = Aut G, т. к. любой внутренний автоморфизм абелевой группы является тождественным отображением, т. е. Int G — единичная группа.

При внутреннем автоморфизме любой класс сопряженных элементов отображается на себя. Существуют группы (даже конечные), у которых имеются внешние автоморфизмы с таким же свойством.

Циклические подгруппы 1-го и 2-го порядков обладают только тождественным автоморфизмом. Эти группы являются единственными, не имеющими нетождественных автоморфизмов. Любая некоммутативная группа обладает нетождественным внутренним автоморфизмом. Если же группа абелева, причем не все её элементы, отличные от единичного, имеют порядок 2, то нетождественный автоморфизм можно задать следующим образом: x ® x-1. Это отображение, действительно, является автоморфизмом, т. к. это взаимно однозначное отображение, и справедливо равенство (xy)-1=x-1y-1 ввиду коммутативности операции. Существование нетождественных автоморфизмов нециклических абелевых групп, все элементы которых имеют порядок 2, следует из их строения.

Отображение s: G ® Int G, при котором каждому элементу ставят в соответствие внутренний автоморфизм, им производимый, является гомоморфизмом. Ядро этого гомоморфизма состоит из элементов, которые производят тождественный автоморфизм:


Ker s = { g | xg=x, x Î G},
т. е. Ker s = Z(G) – центр группы G. Применим теорему о гомоморфизмах: Int G > G/ Z(G).

В общем случае описание группы автоморфизмов заданной группы G представляет большие трудности. В большинстве случаев свойства самой группы не переносятся на её группу автоморфизмов. Например, группа автоморфизмов абелевой группы может быть некоммутативной: группа автоморфизмов нециклической группы порядка 4 изоморфна симметрической группе S3. Существуют некоммутативные группы с абелевыми группами автоморфизмов. Однако некоторую информацию о группе группа автоморфизмов сохраняет. Если группа G – группа без центра, то и её группа автоморфизмов не имеет центра. Группа автоморфизмов некоммутативной группы не может быть циклической. Группа автоморфизмов конечной группы сама является конечной. Хотя группа автоморфизмов бесконечной группы может оказаться конечной: у бесконечной циклической группы группа автоморфизмов является конечной порядка 2, т. к. образующий элемент в бесконечной циклической группе можно выбрать лишь двумя способами. Группы автоморфизмов неизоморфных групп могут оказаться изоморфными.

Подгруппа H будет нормальной подгруппой тогда и только тогда, когда Hf £ H для всех внутренних автоморфизмов f Î Int G. Подгруппу H группы G называют допустимой относительно F или F-допустимой, если Hf £ H для всех отображений f ÎF. Единичная подгруппа и вся группа допустима относительно любого f ÎF. Если группа не содержит других F-допустимых нормальных подгрупп, то она называется F-простой.

Группа называется совершенной, если она без центра и все ее автоморфизмы внутренние. Если группа G совершенна, то Z(G) = 1,


Out G = 1 и Aut G > G.

Теорема 12.1 (теорема Гёльдера). При n ¹ 2, 6 симметрическая группа Sn совершенна.

Доказательство можно найти в [13] или [16].

Группы S2 и S6 не являются совершенными, т. к. S2 абелева, а S6 обладает внешним автоморфизмом порядка 2.

Голоморф возникает в связи со следующим вопросом: нельзя ли произвольную группу G вложить изоморфно в такую группу G*, чтобы каждый автоморфизм группы G оказался сужением внутреннего автоморфизма группы G*? Пусть Ф = Aut G. Оказывается, в качестве G* можно взять множество пар g, 'g' Ф, умножаемых по правилу


g'g '='g'g'
(мы пишем пары без скобок и запятых). Действительно, аксиомы группы проверяются непосредственно. Также непосредственно проверяется, что отображения
Ф G*, G G*

по правилам 1, g 1g, являются изоморфными вложениями. Группы Ф и G отождествим с подгруппами из G* в силу этих вложений. Из правила умножения сразу вытекает, что


-1g = g для Ф, g G.
Теперь ясно, что G*=ФG, G G*, Ф G=1, и каждый автоморфизм Ф является сужением некоторого внутреннего автоморфизма группы G*. Построенная группа ФG называется голоморфом группы G и обозначается Hol G.

Упражнение. Найти все классы сопряженных элементов группы Hol Z.

РАЗДЕЛ 5. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ГРУПП

<< предыдущая страница   следующая страница >>



Бог создал Италию по замыслу Микеланджело. Марк Твен
ещё >>