Корректность краевых задач для сингулярных параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции 01. 01. 02 дифференциальные у - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Вид рассматриваемых уравнений 1 31.62kb.
Задача для линейного уравнения или системы уравнений. Функция Грина. 1 35.76kb.
1. Качественный анализ краевых задач и экстремальных задач для уравнений... 1 122.34kb.
Экзаменационные вопросы по курсу "уравнения математической физики" 1 32.3kb.
Шифр специальности: 01. 01. 02 Дифференциальные уравнения, динамические... 12 2944.3kb.
Вопрос ы к экзамену по курсаe «ладная синергетика» (2007 г. 1 32.68kb.
Уравнения с двумя неизвестными в целых числах 1 145.95kb.
Граничные интегральные уравнения нестационарных краевых задач для... 1 210.1kb.
Решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений... 4 559.7kb.
Экзаменационные вопросы по высшей математике для студентов2 курса зик 1 18.63kb.
Учебное пособие по курсу «Математический анализ» Часть «Дифференциальные... 3 203.91kb.
Ключевые слова: многокритериальные задачи выбора, матричная игра... 1 18.19kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

Корректность краевых задач для сингулярных параболических уравнений с меняющимся - страница №1/1


На правах рукописи




Туласынов Михаил Станиславович

КОРРЕКТНОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СИНГУЛЯРНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ЭВОЛЮЦИИ

01.01.02 – дифференциальные уравнения


АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Якутск – 2008


Работа выполнена на кафедре математического анализа Института математики и информатики ГОУ ВПО «Якутский государственный университет имени М.К. Аммосова»
Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Попов Сергей Вячеславович



Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Кожанов Александр Иванович,

Институт математики им. С.Л. Соболева

СО РАН (г. Новосибирск),

кандидат физико-математических наук,

доцент Цыбиков Баир Номоевич,

Югорский государственный университет

(г. Ханты-Мансийск)

Ведущая организация: Сибирский Федеральный Университет

(г. Красноярск)


Защита состоится 12 ноября 2008 года в 16 часов на заседании диссертационного совета К.212.306.05 при ГОУ ВПО «Якутский государственный университет имени М.К. Аммосова» по адресу: 677000, г. Якутск, ул. Кулаковского 48, КФЕН ЯГУ, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Якутского государственного университета имени М.К. Аммосова

Автореферат разослан ___ октября 2008 г.




Ученый секретарь диссертационного совета




В.Е. Федоров
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Краевые задачи для уравнений с меняющимся направлением эволюции стали предметом изучения в теории уравнений в частных производных давно. Одними из первых работ, посвященных параболическим уравнениям с меняющимся направлением времени, были работы французского математика М. Жевре в 1913-1914 гг. К ним относится также ряд эволюционных уравнений, тип которых зависит от самого искомого решения.

В настоящее время наиболее разработана теория краевых задач для уравнений, тип которых меняется в рассматриваемой области при переходе через заданные линии (поверхности) или при достижении граничных точек. Это прежде всего линейные уравнения смешанного типа, исследования которых начались с работ Ф. Трикоми, С. Геллерстедта, Ф.И. Франкля. Последним были обнаружены важные приложения задачи Трикоми и других родственных ей задач в трансзвуковой газодинамике. Это, в частности, стало причиной возникновения широкого фронта исследований в этом направле-нии, образования больших научных групп.

В нашей стране наиболее существенное влияние в этом направлении оказали работы А.В. Бицадзе, И.Н. Векуа, В.Н. Монахова, С.А. Терсенова, Т.И. Зеленяка, А.П. Солдатова, Т.Ш. Кальменова, М.М. Смирнова и их научных школ. Общая теория краевых задач для уравнений смешанного типа с произвольными коэффициентами и многообразием смены типа была предметом исследований В.Н. Врагова, Г.Д. Каратопраклиева, А.Г. Кузьмина, А.И. Кожанова, С.Г. Пяткова, И.Е. Егорова, А.Г. Подгаева и других авторов.

Большое число работ посвящено изучению линейных сингулярных параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции. Простейшей моделью является уравнение



(1)

где – эллиптический оператор второго порядка с оператором Бесселя . Данное уравнение при является параболическим, причем на прямой коэффициент при производной по имеет особенность. Для него задача Коши с данными при не корректна. Теория разрешимости краевых задач для линейных уравнений такого вида была построена в работах С.А. Терсенова, И.Е. Егорова, С.Г. Пяткова, Н.В. Кислова, И.М. Петрушко, С.В. Попова и других авторов. Качественные свойства этих уравнений оказались такими, что в классах типа решение существует и единственно. Но более гладкие решения существуют только при выполнении конечного числа связей интегрального характера между входными данными. Отметим, что С.А. Терсенов изучал эти задачи для уравнений с меняющимся направлением эволюции в гельдеровских классах функций, сводил их разрешимость к разрешимости сингулярного интегрального уравнения, и эти связи (условия разрешимости) выписывал в явном виде. При этом предполагалось, что условия склеивания на линии раздела должны заключаться в непрерывности решения и ее первой производной по .

В представляемой работе рассматривается случай условий склеивания с полной матрицей с постоянными или переменными коэффициентами, более того, находится зависимость показателей гельдеровских пространств от весовых функций склеивания.

Цель работы. Целью диссертации является исследование корректности краевых задач для сингулярных параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции в случае условий склеивания с полной матрицей, включая условия с переменными коэффициентами.

Методы исследования. В диссертации использованы методы теории дифференциальных уравнений параболического типа, теории функций и теории интегральных уравнений, в частности, метод потенциалов, с помощью которых краевая задача приводится к решению некоторых интегральных уравнений. Отметим в этом отношении монографии Н.Ф. Гахова (1963), Н.И. Мусхелишвили (1962), а также В.Н. Монахова (1977), С.А. Терсенова (1985).

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты:

– исследованы вопросы корректности постановки и гладкости решений краевых задач для сингулярного параболического уравнения с меняющимся направлением эволюции с полной матрицей условий склеивания с постоянными коэффициентами;

– исследованы вопросы корректности постановки и гладкости решения краевой задачи для модельного параболического уравнения с меняющимся направлением эволюции с полной матрицей условий склеивания с переменными коэффициентами.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. Все результаты являются новыми. Выводы и положения, сформулированные в данной работе, основываются на строгих математических доказательствах, и в частных случаях из них следуют известные результаты.

Область применения полученных результатов – краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Полученные результаты также могут послужить основой при постановке и исследовании новых краевых задач.



Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладыва-лись и неоднократно обсуждались на семинарах «Уравнения с меняющимся направлением эволюции» (ИМИ ЯГУ, руководитель профессор С.В. Попов), «Неклассические задачи математической физики» (ИМ СО РАН, Новосибирск, руководитель профессор А.И. Кожанов), на Всероссийской конференции «Информационные технологии в науке, образовании и экономике» (Якутск: 2003, 2005), на Лаврентьевских чтениях Республики Саха (Якутия) (Якутск: 2002–2008), на Республиканской конференции «Математика. Информатика. Образование.», посвященной 25-летию математическиго факультета ЯГУ (Якутск, 2002), на Всероссийской школе-семинаре для студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов "Математическое моделирование развития Северных территорий в условиях рынка" (Якутск: 2004–2008), на IVV Международных конференциях по математическому моделированию (Якутск: 2004, 2007), на Всероссийской научной конференция с международным участием «Математические моделирование и краевые задачи» (Самара, 2008) и на Международной научной конференции «Современные проблемы математического моделирования и вычислительных технологий – 2008» (Красноярск, 2008).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 9 статьях в научных журналах и сборниках, а также отражены в тезисах 8 докладов на научных конференциях.

Работа частично поддержана конкурсом грантов по фундаментальным исследованиям в области математики Министерства образования РФ по программе «Университеты России»: в 2002–03 г.г. (УР.04.01.048), в 2004 г. (УР.04.01.047), ведомственной научной программой «Развитие научного потенциала высшей школы»: раздел 2. «Университеты России» (№ 2047–05); раздел 3.3 (проект 8427) в 2005 г.

Работа поддержана Федеральным агентством по науке и инновациям программой "Проведение научных исследований молодыми учеными" (2006-РИ-19.0/001/711, IV очередь) за 2006 г. стажировкой в Институт математики имени С.Л. Соболева СО РАН (Новосибирск).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем составляет 99 страниц. Список цитируемой литературы содержит 113 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении даны краткие исторические сведения по теме диссертации, обосновывается актуальность работы, формулируются цели исследования, в кратком виде приводится содержание работы.



Первая глава носит вспомогательный характер и состоит из трех параграфов. В §1.1 даются основные определения и некоторые свойства гельдеровских пространств, в §1.2 приведены некоторые важные сведения из теории интегральных уравнений, в §1.3 даны некоторые интегро-дифференциальные тождества, которые в дальнейшем используются во второй и третьей главах.

Вторая глава посвящена исследованию краевых задач для сингулярного параболического уравнений с полной матрицей условий склеивания с постоянными коэффициентами. В §2.1 в области рассмотрено сингулярное параболическое уравнение с меняющимся направлением эволюции

, (2)

где .

Ищется ограниченное решение уравнения (2) из пространства Гёльдера , которое удовлетворяет начальным условиям

(3)

и условиям склеивания



(4)

где – заданные действительные постоянные, , , если и , если .

Результатом настоящего параграфа является явное описание условий разрешимости краевой задачи (2)–(4). При этом показано, что разрешимость краевой задачи (2)–(4) при сводится к разрешимости сингулярного интегрального уравнения, иначе – к разрешимости неоднородного уравнения Фредгольма второго рода.

Если полученные условия разрешимости обозначить в следующем виде:



(5)

где – вполне определенные линейные интегральные операторы относительно и , то основной результат данного параграфа формулируется в виде следующих теорем:



Теорема 2.1. Пусть

  1. и ;

  2. выполнены условия , , и .

Тогда при выполнении условий вида (5) существует единственное решение краевой задачи (2)–(4) из пространства .

Теорема 2.2. Пусть

  1. и ;

  2. – наименьшее целое положительное число такое, что: , , , ;

  3. выполнены условия , , , .

Тогда при выполнении условий вида (5) существует единственное решение краевой задачи (2)–(4) из пространства .

Замечание 2.1 Найденное в теореме 2.2 решение краевой задачи (2)–(4) будет принадлежать пространству

1. , если ;

2. ( – сколь угодно малая положительная постоянная), если .

В §2.2 в области рассмотрена безусловная разрешимость краевой задачи (2)–(4). Параграф разбит на две части. Решение уравнения (2) в первой части ищется из пространства , во второй части при – из более широкого пространства , .



Результаты данного параграфа сформулированы в виде следующих теорем:

Теорема 2.3. Пусть

  1. и ;

  2. и .

Тогда при выполнении двух условий вида (5) существует единственное решение краевой задачи (2)–(4) из пространства .

Теорема 2.4. Пусть

  1. , , ;

  2. выполнены условия , , и , и ;

  3. при выполнены условия , , .

Тогда существует единственное решение краевой задачи (2)–(4) из пространства .

Замечание 2.2. Если и , то найденное в теореме 2.4 решение краевой задачи (2)–(4) будет принадлежать пространству , где – сколь угодно малая положительная постоянная.

В §2.3 в ограниченной области рассмотрено уравнение (2). Решение уравнения (2) ищется из пространства Гёльдера , которое удовлетворяет начально-краевым условиям



(6)

и условиям склеивания (4).



Основным результатом данного параграфа являются следующие теоремы:

Теорема 2.5. Пусть

  1. , и выполнены условия согласования ;

  2. выполнены условия , и .

Тогда при выполнении условий вида (5) существует единственное решение (2), (4), (6) из пространства .

Теорема 2.6. Пусть

  1. , и выполнены условия согласования ;

  2. – наименьшее целое положительное число такое, что: , , , ;

  3. выполнены условия , , , .

Тогда при выполнении условий вида (5) существует единственное решение (2), (4), (6) из пространства .

Замечание 2.3. Найденное в теореме 2.6 решение краевой задачи (2), (4), (6) будет принадлежать пространству

1. , если ;

2. ( – сколь угодно малая положительная постоянная), если .

Третья глава посвящена исследованию краевой задачи для параболического уравнения с меняющимся направлением эволюции с полной матрицей условий склеивания с переменными коэффициентами. В §3.1 в области рассмотрено модельное параболическое уравнение с меняющимся направлением эволюции

. (7)

Ищется ограниченное решение уравнения (7) из пространства Гёльдера , которое удовлетворяет начальным условиям



(8)

и условиям склеивания



(9)

где – заданные гладкие функции, причем – невырожденная матрица .

Основной результат данного параграфа формулируется в виде следующей теоремы:

Теорема 3.1. Пусть


  1. и ;

  2. при выполнены условия , , , и ;

  3. при выполнены условия , и .

Тогда при выполнении условий вида (5) существует единственное решение краевой задачи (7)(9) из пространства .

Замечание 3.1 Найденное в теореме 3.1 решение краевой задачи (7)(9) при будет принадлежать пространству

1. , если ;

2. ( - сколь угодно малая положительная постоянная), если .

Работы автора по теме диссертации:



  1. Туласынов, М.С. Краевая задача для сингулярного параболического уравнения с меняющимся направлением времени с полной матрицей условий склеивания / М.С. Туласынов // Вестник Самарского университета. – Самара, 2007. – Серия: естественнонаучная, №6 (56). – С. 281-290.

  2. Туласынов, М.С. Краевые задачи для сингулярных параболических уравнений с меняющимся направлением времени с весовыми условиями склеивания / М.С. Туласынов // VI Лаврентьевские чтения : научн. конф. студентов и молодых ученых : сб. ст. – Якутск, 2002. С. 37-38.

  3. Туласынов, М.С. Краевые задачи для сингулярных параболических уравнений с меняющимся направлением времени с весовыми условиями склеивания / М.С. Туласынов // IV Международная конференция по математическому моделированию : тез. докл. [отв. ред. И.Е. Егоров] Якутск, 2004. С. 40-41.

  4. Туласынов, М.С. Краевые задачи для сингулярных параболических уравнений с меняющимся направлением времени с весовыми условиями склеивания / М.С. Туласынов // Математическое моделирование развития северных территорий в условиях рынка: тез. докл. II Всерос. школы-семинара студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов / М-во образования Рос. Федерации, Якут. гос. ун-т им. М.К. Аммосова ; Якутск, 2004. С. 49-51.

  5. Туласынов, М.С. Краевые задачи для сингулярных параболических уравнений с меняющимся направлением времени с весовыми условиями склеивания / М.С. Туласынов // Мат. заметки ЯГУ. – 2004. Т. 11, № 1. С. 107-115.

  6. Туласынов, М.С. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени с весовыми условиями склеивания / М.С. Туласынов // Сборник научных трудов аспирантов ЯГУ им. М.К. Аммосова / М-во образования Рос. Федерации, Якут. гос. ун-т им. М.К. Аммосова ; Якутск, 2004. С. 149-154.

  7. Туласынов, М.С. Краевые задачи для сингулярных параболических уравнений с меняющимся направлением времени с весовыми условиями склеивания / М.С. Туласынов // VIII Лаврентьевские чтения с участием молодых ученых и специалистов ДФО : научн. конф. студентов и молодых ученых : сб. ст. – Якутск, 2005. Т. 1, секция: Математика, механика и физика. С. 55-61.

  8. Туласынов, М.С. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени с весовыми условиями склеивания / М.С. Туласынов // Студент и научно-технический прогресс: Математика : материалы XLIII междунар. конф. / М-во образования Рос. Федерации, СО РАН, Новосиб. гос. ун-т ; [редкол.: А.С. Морозов и др.] Новосибирск, 2005. С. 51-52.

  9. Туласынов, М.С. Корректность краевых задач для параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции / М.С. Туласынов // Математическое моделирование развития северных территорий в условиях рынка: тез. докл. III Всерос. школы-семинара студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов / М-во образования Рос. Федерации, Якут. гос. ун-т им. М.К. Аммосова ; Якутск, 2005. С. 45.

  10. Туласынов, М.С. Краевая задача для уравнения с общими условиями склеивания / М.С. Туласынов // Информационные технологии в науке, образовании и экономике : тез. докл. Всерос. научн. конф. / М-во науки и проф. образования РС(Я), Якут. гос. ун-т им. М.К. Аммосова ; – Якутск, 2005. – Ч. 1. – С. 87-88.

  11. Туласынов, М.С. Полная матрица условий сопряжения в контактных сингулярных параболических задачах / М.С. Туласынов // Мат. заметки ЯГУ. – 2006. Т. 13, № 1. С. 135-141.

  12. Туласынов, М.С. Безусловная разрешимость краевых задач для сингулярных параболических уравнений с меняющимся направлением времени с весовыми условиями склеивания / М.С. Туласынов // V Международная конференция по математическому моделированию, посвященная 75-ю со дня рожд. академика В.Н. Монахова : тез. докл. [отв. ред. И.Е. Егоров] Якутск, 2007. С. 43-44.

  13. Туласынов, М.С. Краевая задача для уравнения с полной матрицей условий склеивания / М.С. Туласынов // Мат. заметки ЯГУ. – 2007. Т. 14, № 1. С. 89-103.

  14. Туласынов, М.С. Безусловная разрешимость краевых задач для параболических уравнений с меняющимся направлением времени / М.С. Туласынов // Мат. Заметки ЯГУ. – 2007. Т. 14, №2. С. 57-69.

  15. Туласынов, М.С. Безусловная разрешимость краевых задач для сингулярных параболических уравнений с меняющимся направлением времени / М.С. Туласынов // Математическое моделирование развития Северных территорий РФ: тез. докл. V-й Всероссийской школы-семинара студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов / М-во образования и науки Рос. Федерации, Якут. гос. ун-т им. М.К. Аммосова ; Якутск, 2007. С. 65-66.

  16. Туласынов, М.С. О корректности краевых задач для параболичес-ких уравнений с меняющимся направлением эволюции / М.С. Туласынов, С.В. Потапова, С.В. Попов // Математическое моделирование развития Северных территорий РФ : тез. докл. Всероссийской научной конференции студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов / М-во образования и науки Рос. Федерации, Якут. гос. ун-т им. М.К. Аммосова ; Якутск, 2008. С. 67-68.

  17. Туласынов, М.С. О корректности краевых задач для смешанных уравнений переменного типа / С.В. Попов, М.С. Туласынов // Математи-ческое моделирование и краевые задачи : труды пятой Всерос. научн. конф. с межд. участием / Федеральное агенство по образованию, М-во образования и науки Самарской области ; [редкол.: В.П. Радченко и др.] – Самара, 2008. – Ч.3. – С. 142-143.


КОРРЕКТНОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

ДЛЯ СИНГУЛЯРНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ЭВОЛЮЦИИ
автореферат
ТУЛАСЫНОВ Михаил Станиславович

Подписано в печать 03.10.2008 г. Формат 6084/16

Печ.л. 1,0.Уч.-изд. л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ 16.
Отпечатано в филиале издательства ЯГУ,

Институт математики и информатики ЯГУ.



Адрес: г. Якутск, ул. Кулаковского, 48. Тел.: (4112)496833









От рождения до смерти мужчина остается дитятей женщины, которому постоянно от нее что-то нужно и который никогда ей ничего не дает, разве только подержать и сохранить что-нибудь, что может пригодиться ему самому. Джордж Бернард Шоу
ещё >>