Конкурс учащихся 1-7 классов «Первые шаги в науку» Секция математики «Мир удивительных чисел» - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Конкурс Учащихся 1 7 классов «Первые шаги в науку» Секция: «Окружающий... 1 58.35kb.
Конкурс учащихся 1 7-х классов «Первые шаги в науку» Секции "Математика"... 1 211.62kb.
Конкурс учащихся 1-7 классов «Первые шаги в науку» 1 98.64kb.
Каратэ искусство или спорт? 1 131.56kb.
Конкурсе «юный исследователь» для учащихся 1-4 классов; «первые шаги... 1 26.91kb.
Конкурс Учащихся с 1-7 класс «Первые шаги в науку» 1 166.45kb.
Конкурс художественного чтения «Мой любимый Пушкин» 1 34.89kb.
Мероприятия, форма проведения 6 1439.6kb.
Научно-практическая конференция учащихся и педагогов «Первые шаги... 1 103.25kb.
Исследовательская работа «История развития астрономии» 1 111.35kb.
Черная пятнистость роз: устойчивость в зависимости от сорта, способы... 1 170.42kb.
Колганов Роман Антольевич Поромов Сергей Сергеевич 1 37.69kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

Конкурс учащихся 1-7 классов «Первые шаги в науку» Секция математики «Мир удивительных - страница №1/1




Межрегиональная дистанционная конференция-конкурс учащихся 1-7 классов «Первые шаги в науку»

Секция математики


« Мир удивительных чисел »

  

 



Выполнили ученики 7а класса МОУ «СОШ №3 г. Ершова» Пичугин Евгений и

Бурлаков Дмитрий Руководитель: учитель математики Рахматулина Р.Р.


Ершов 2011

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………..3. 3

  1. Простые числа………………………………………...5

  2. Совершенные числа…………………………………..8

  3. Дружественные числа………………………………...9

  4. Палиндромы и репьюниты…………………………..11

Заключение …………………………………………………15

Используемые источники информации ………………….17



Приложения ……………………………………………….18
Введение

У древних людей, кроме каменного топора и шкуры вместо одежды, ничего не было, поэтому считать им было нечего. Постепенно они стали приручать скот, возделывать поля и собирать урожай; появилась торговля, и тут уж без чисел никак не обойтись. В древние времена, когда человек хотел показать, сколькими животными он владел, он клал в большой мешок столько камешков, сколько у него было животных. Чем больше животных, тем больше камешков. Сначала считали на пальцах. Когда пальцы на одной руке кончались, переходили на другую, а если на двух руках не хватало, переходили на ноги. Поэтому, если в те времена кто-то хвалился, что у него «две руки и одна нога кур», это означало, что у него пятнадцать кур, а если это называлось «весь человек», то есть две руки и две ноги. Первые написанные числа, о которых мы имеем достоверные свидетельства, появились в Египте и Месопотамии около 5000 лет назад.

Можем ли мы теперь представить себе мир без чисел? Без чисел - ни покупки не сделаем, ни времени не узнаем, ни номера телефона не наберем. А космические корабли, лазеры и все другие технические средства и многие достижения были бы попросту невозможны, если бы не наука о числах. Само возникновение понятия числа - одно из гениальных проявлений человеческого разума: числа измеряют, сравнивают, вычисляют, а еще рисуют, проектируют, играют, делают умозаключения, выводы.

Еще в начальной школе мы узнали, что самые древние по происхождению числа натуральные, познакомились с четными и нечетными числами. А в 6 классе нам объяснили, что есть простые числа. Оказывается, среди натуральных чисел есть еще совершенные, дружественные, числа – близнецы, палиндромы и репьюниты.

В школе мы провели исследование среди 7-х классов и 6в класса и выяснили, что многие ребята слышали об этих числах, но подробную информацию знают единицы. Многие из опрошенных учащихся хотели бы узнать об этих числах больше (57 из 67 опрошенных).Приложение №1
Объект нашего исследования – натуральные числа.

Предмет исследования – свойства этих чисел.

Гипотеза:

Если простые числа – это часть чисел, из которых состоят все натуральные числа, и, исследуя их, можно получить удивительные «числовые множества» с их необыкновенными свойствами.



Цель: Познакомиться с удивительными числами, выяснить, какую роль играют простые числа в изменении свойств заинтересовавших нас чисел.

Задачи:

Описать способы поиска простых чисел, рассмотреть свойства совершенных, чисел-близнецов, дружественных чисел, познакомиться с палиндромами и репьюнитами, выяснить, какова связь между ними.



Метод исследования – теоретический.


1. Числа простые

Что мы знаем о простых числах? Они не совсем «простые», эти простые числа? Вот мы и задумали узнать побольше о них и их свойствах.



Числа, которые имеют только два различных делителя, называются простыми. Например, 5=1∙5, 29=1∙29, 31=1·31 и т. д.. Проведем небольшое исследование. Представим натуральные числа в виде произведения простых множителей: 16=2∙2∙2·2; 18=2∙3∙3; 160=2∙2∙5∙2·2·2 и т. д. Значит, простые числа в математике связывают при помощи умножения все остальные числа. Можно ли сосчитать все простые числа? В одном из утверждений книги «Начала» греческого геометра Евклида было следующее: самого большого простого числа не существует.

Согласно рекордам Гиннеса существует самое маленькое простое число – 2 и cамое большое простое число, 391 581·2216193 – 1, открытое 6 августа 1989 г. Группа также открыла самые большие парные простые числа: (1 706 595·211235 – 1) и (1 706 595·211235 + 1). Самым маленьким непростым или составным числом (кроме 1) является 4.

Число, содержащее 65 087 знаков, было получено на суперкомпьютере «Амдал-1200» в Санта-Кларе, штат Калифорния, США. Повторим, что простые числа играют важную роль в изучении всех остальных чисел. Можно ли составить их список? Конечно, нельзя было надеяться получить список всех простых чисел. Но можно попробовать составить список всех простых чисел, не превосходящих, например, ста, тысячи. Над тем, как составлять списки простых чисел, задумался живший в III веке до н. э. александрийский ученый Эрастофен, удивительно разносторонний человек: с его именем связана «Теория чисел», он также изучал звезды. Навсегда его имя вошло в науку именно в связи с придуманным методом отыскания простых чисел: «решетом Эратосфена». Есть и другие интересные методы отыскания простых чисел.

Мы разместили в таблицу последовательно натуральные числа до ста в 6 столбцов (см. рис.).



Получили модель «решето Эратосфена» для отсеивания простых чисел. Все числа в кружочках – простые. Составные числа мы не учитываем. Систему вычеркивания составных чисел понять легко. Все простые числа от числа 5 и дальше находятся только в 2 столбиках: в 4 и 6. Когда в какой-то строке 4 и 6 столбцов оба числа простые, то это пара «близнецов»: (5;7), (11;13), (17;19), (29;31), (41;43), (59;61), (71;73).Они отличаются на 2 единицы.

Многие математики пытались вывести формулу для отыскания простых чисел. Живший в 17 веке во Франции математик Пьер Ферма думал, что он нашел такую формулу: р =2 2n +1. Действительно, при n=1,2,3,4 эта формула дает простые числа 5,17,257,65537, но выяснилось, что при n = 5 получается составное число: оно делится на 641. До сих пор неизвестно, есть ли среди чисел Ферма еще хоть одно простое, кроме найденных им или нет. Есть еще одна формула p = n2 – n + 41, которая верна для некоторых чисел, кроме n = 41.

Всем ясно, что простые числа можно обнаружить только путем долгих расчетов. Например, чтобы доказать, что найденное число, содержащее 25692 цифры, является простым, быстродействующему компьютеру потребовалось несколько недель. Простые числа ловко прячутся, и поэтому их стали использовать в секретных шифрах, а мы воспользуемся простыми числами для отыскания удивительных чисел.

2. Совершенные числа

Делителем натурального числа называется такое число, на которое а делится без остатка.

Натуральное число п называется совершенным, если сумма всех его собственных делителей, отличных от самого п, в точности равна п.

Знаменитый греческий философ и математик Никомах Герасский, живший в 1 в., отмечал, что совершенные числа красивы, а красивые вещи редки и немногочисленны. Он не знал, сколько имеется совершенных чисел. Не знаем этого и мы. До настоящего времени нет ответов на два важных вопроса:

1) Существует ли наибольшее чётное совершенное число?

2)Существует ли нечетное совершенное число? До сегодняшнего дня не обнаружено ни одного нечетного совершенного числа, хотя и не доказано, что такого числа не существует. Все совершенное редко встречается в мире. Редко встречаются и совершенные числа, которые равны сумме всех своих собственных делителей. Совершенных чисел очень мало. В натуральном ряду до одного миллиона встречается только четыре таких числа, а до триллиона — всего шесть. Самое маленькое совершенное число: 6 = 1 + 2 + 3, второе 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Третье совершенное число - 496=1+2+4+8+16+31+62+124+248.

 Первые четыре совершенных числа: 6, 28, 496, 8128 - были обнаружены 2000 лет назад. Пятое совершенное число было найдено лишь 500 лет назад. Испытав огромный массив последовательных натуральных чисел, исследователи нашли уже более 30 совершенных: 6, 28, 496, 8128, 33550336… Вот 25-е число: 244496 . (244496-1). В развёрнутой записи этого числа содержится 26790 цифр. Самое большое известное, 31-е по счету открытое на сегодняшний день, число: (2216091 – 12216090. Это число получено благодаря открытию в сентябре 1985 г. математиком Марсенном (США) числа 2216091 – 1, которое в настоящее время известно как второе самое большое простое число.

3. Дружественные числа

Древнегреческий ученый Пифагор говорил: «Мой друг тот, кто является моим вторым я, как числа 220 и 284».


Видимо, какое – то необычное свойство сблизило эти числа настолько, что сам Пифагор признал их парой дружественных чисел. Вот это свойство: 220=1·22·5·11 - делится на 1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110 (само число исключается из перечня делителей, тогда остальные делители называются собственными), а сумма всех собственных делителей числа 220 равна 284.

В свою очередь, 284=1·22 ·71 делится на 1,2,4,71 и 142 и сумма его собственных делителей равна 220. Значит, 220 – это как бы «второе я» числа 284. В средние века считалось, что талисман с числами 220 и 284 способствуют укреплению любви. Возможно, что именно Пифагор и был первооткрывателем этой пары дружественных чисел - первой, наименьшей из возможных и единственно известной на протяжении более чем 15 последующих веков.

Дадим определение:

Сумма собственных делителей одного числа равна второму числу и, наоборот, сумма собственных делителей второго числа равна первому.

Открытие второй пары (17296,18416) приписывалось ранее французскому ученому П.Ферма, однако оказалось, что она была известна за три с половиной столетия до его открытия. В сочинениях арабского ученого Аль-Хорезми была обнаружена следующая фраза: «Числа 17296 и 18416 дружественны. Аллах всеведущ». Большой вклад в отыскание дружественных чисел внес ученый Л.Эйлер, который в 1747-1750 гг. указал сразу 59 пар дружественных чисел. После Л.Эйлера новую пару дружественных чисел указали французский ученый А. Лежандр и российский ученый П.Л.Чебышев. Поразительное открытие в 1887 г. сделал 16- летний итальянец Б.Паганини, обнаружив вторую по величине пару дружественных чисел (1184, 1210), которую все проглядели.

Третью пару нашел Ране Декарт в 1638 году, а через 100 лет Эйлер излагает 5 различных методов выявления дружественных чисел и преподносит их ровно 59 пар.

Следующим математиком после Эйлера, кто пополнил коллекцию дружественных чисел ещё одной парой, был наш великий соотечественник П.Л. Чебышев (в 1851 г), а за ним - тоже одной парой (в 1866 г) – шестнадцатилетний итальянец Николо Паганини.

Но превзойти Эйлера по количеству пар никому из математиков не удавалось вплоть до последних десятилетий нашего времени. Первым побил рекорд Эйлера бельгиец Поль Пуле (62 новые пары к 1948 г). Наконец, самой рекордной добычи достиг американец Элвин Дж. Ли – 300 пар за 1968-1972 годы. Для вычислений он пользовался ЭВМ.

К настоящему времени коллекция дружественных чисел 1427 пар, (причем до 1000000 всего 42) в ней имеются теперь даже двадцатипятизначные пары чисел. Мы составили таблицу 13 пар дружественных чисел.



1

220

284

8

17296

18416

2

1184

1210

9

63020

76084

3

2620

2924

10

66928

66992

4

5020

5564

11

67095

71145

5

6232

6362

12

69615

87633

6

10744

10856

13

79750

88730

7

12285

14595












4. Палиндромы и репьюниты

Наше исследование продолжают числа, которые имеют красивое название - палиндромы и репьюниты.

Об обращенных числах – числах, записанных с теми же цифрами, но расположенных в обратном порядке, мы знаем. Например, 1234 обращенное 4321. Палиндромическое число - равное обращенному. Числовой палиндром — это натуральное число, которое читается слева направо и справа налево одинаково. Например, 121, 5995, 12321 и т. д. Нам захотелось узнать, как из других чисел можно получить палиндромы. Палиндром можно получить как результат операций над другими числами. Так, в книге «Есть идея!» известного популяризатора науки Мартина Гарднера в связи с этой задачей упоминается «гипотеза о палиндромах». Возьмём любое натуральное число и сложим его с обращённым числом, то есть записанным теми же цифрами, но в обратном порядке. Проделаем то же действие с получившейся суммой и будем повторять его до тех пор, пока не образуется палиндром. Иногда достаточно сделать всего один шаг (например, 312 + 213 = 525), но, как правило, требуется не менее двух. Число 96 порождает палиндром 4884 только на четвёртом шаге.

1) 96 + 69 = 165,


2) 165 + 561 = 726,
3) 726 + 627 = 1353,
4) 1353 + 3531 = 4884.

Можно рассматривать не только сложение, но и другие операции, включая возведение в степень. Приведем два примера того, как при их помощи из одних палиндромов получаются другие: 212² - 121² = 44944 – 14641 = 30303;

2·121·10201 = 2·11² ·101² = 22·112211 = 1111· 2222 = 2468642.
А суть гипотезы в том, что, взяв любое число после конечного числа действий мы обязательно получим палиндром. (Мы в этом убедились по результатам решения заданий учащихся, которые, взяв произвольное число, после конечного числа действий получили полиндром). Приложение №2.

Из простых чисел - палиндромов, располагая их определённым образом, скажем построчно, можно составить симметричные фигуры, отличающиеся оригинальным рисунком из повторяющихся цифр.



А вот пары чисел - «перевёртышей» 13 — 31 и 113 — 311 при возведении в квадрат дают также пары «перевёртышей»: 169 — 961 и 12769 — 96721. Любопытно, что даже суммы их цифр оказались связаны хитрым образом:

(1 + 3)2 = 1 + 6 + 9,
(1 + 1 + 3)2 = 1 + 2 + 7 + 6 + 9.

Репьюниты - натуральные числа, запись которых состоит только из единиц. Обозначим через R(k) репьюнит длиной k, например, R(6) = 111111. Название этих чисел - Repunit - образовано слиянием английских слов: repeated unit (повторенная единица). Обнаружено немало интересных свойств репьюнитов. Делители репьюнитов изучались Эйлером, Гауссом, Бернулли и другими авторами. В течение первых ста лет, прошедших со времени опубликования таблицы И. Бернулли, в неё не было внесено особой ясности. Математики продолжают штурмовать таблицу делителей репьюнитов, и к 1975 году n в таблице уже достигает 3000 (С. Ейтс), однако в ней ещё достаточно много пробелов.

Угасший было интерес к числам, составленным из единиц, вновь возрос в последние годы, особенно в связи с развитием теории арифметических кодов, служащей основой для реализации методов помехоустойчивого кодирования в компьютерной технике.

В семействе репьюнитов выявлено пока только 9 простых чисел: 2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343. Мы разложили некоторые составные репьюниты на простые множители:

111=3∙ 37; 1111=11∙101; 11111=41∙271; 111111=3∙7∙ 11∙13∙37; 1111111=239∙ 4649, 1111111=11∙73∙101∙137, 111111111=3∙37∙333667 и т.д.

В результате умножения некоторых репьюнитов мы получили палиндромические числа (палиндромы)

11∙11 =121;

11∙111 =1221;

1111∙11 =12221;

111·111 =12321;

11111∙111 =1233321,

11111·1111 =12344321

11111·11111 = 123454321 и т. д.

Мы перемножили немало репьюнитов, и каждый раз мы получали палиндромическое число (Приложение 3), одна из следующих задач это подтверждает.

Решим две интересные задачи из журнала « Квант» №5 за 1997 год.




12345679+12345679+12345679+12345679+12345679+12345679+12345679+ 12345679+12345679=111111111 получили репьюнит.

Перемножив два репьюнита, мы получили:

11111111 · 11111 = 123455554321.

Ян Амос Каменский сказал: «Считай несчастным тот день или тот час, в котором, ты не усвоил ничего, ничего не прибавил к своему образованию».

И мы надеемся, что знания о таких удивительных числах наполнят наш день и он не будет для нас несчастным и потерянным, т.к. каждый из нас унесёт с собой что-то новое, неизвестное, интересное, познавательное.
Заключение

Мир чисел настолько загадочен и увлекателен, что занимаясь данной работой, мы поняли: если бы каждый из нас уделял ему большего внимания, то нашел бы для себя много нового и интересного. Мы познакомились с удивительными натуральными числами: совершенными, дружественными, палиндромами и репьюнитами. Все они, кроме палиндромов, обязаны своими свойствами простым числам.

Значит, мы подтвердили свою гипотезу: простые числа – это удивительные числа, из которых состоят все натуральные числа, и, исследуя их, можно узнать необыкновенные свойства всех этих чисел. Мы пришли к выводу, что числа – чисто умозрительная сущность, используемая для описания счета и количества. Многие из них, особенно натуральные числа по тем или иным признакам и свойствам группированы в отдельные структуры (совокупности) и имеют собственные имена:


  • четные–нечетные, простые–составные и взаимно простые (без общих делителей);

  • простые числа-близнецы (отличаются на 2);

  • дружественные числа (каждое из них равно сумме делителей другого числа);

  • совершенные числа (равны сумме своих делителей);

  • числа-палиндромы (равны своему "отражению");

  • репьюниты (состоящие только из единиц). Кроме этих чисел еще существует множество для нас неизведанных с интересными названиями, о которых хочется узнать нам и в дальнейшем исследовать числа: харшад (делятся на сумму своих цифр);самовлюбленные (числа Армстронга, равны сумме своих цифр, возведенных в степень, равную количеству его цифр);числа Смита (сумма цифр числа равна сумме цифр всех его простых сомножителей с учетом кратности);числа Цукермана (делятся на произведение своих цифр); самопорожденные.


Используемые литература и интернет ресурсы

1.Кордемский Б.А. «Удивительный мир чисел»- книга для учащихся. Москва «Просвещение», 1995год.

2.Ейтс С. «Репьюниты и десятичные периоды», издательство «Мир», 1992год.

3.Я.И. Перельман «Занимательная математика». Издательство «Тезис»,

4. Журнал «Квант» №5 1997г.

5.h http://www.nkj.ru/archive/articles/17984/ 6. http:://roman-dushkin.narod.ru/educational_01.html



Приложение 1 (результаты опроса, хотят ли больше знать об этих числах)



Совершенные числа

Дружественные числа

Палиндромы

Репьюниты

Классы

Хотите ли узнать побольше об этих числах

да

нет

да

нет

да

нет

да

нет



17 уч.

0 уч.

17 уч.

0 уч.

17уч.

0 уч.

17 уч.

0 уч.



11 уч.

2 уч.

11 уч.

2 уч.

11 уч.

2 уч.

11 уч.

2 уч.



14 уч.

0 уч.

14 уч.

0уч.

14 уч.

0 уч.

14 уч.

0 уч.



15 уч.

8 уч.

15 уч.

8 уч.

15 уч.

8 уч.

15 уч.

8 уч.


Приложение 2.Полученные палиндромы.


Данное число

Действия и полученный палиндром

17

+ 71

=88






















132

+231

=363






















67

+76

=143

+341

=484
















111²

=12321

























119

+911

=1030

+0301

=1331
















111111111²

=12345678987654321



















3724

+4273

=7997






















865

+568

=1433

+3341

=4774
















9238

9238 + 8329 = 17567, 17567 + 76571 = 94138, 94138 + 83149 = 177287, 177287 + 782771 = 960058, 960058 + 850069 = 1810127, 1810127 + 7210181 = 9020308, 9020308 + 8030209 = 17050517, 17050517 + 71505071 = 88555588.



Приложение 3. Произведение репьюнитов дает палиндромы.


1 множитель

2 множитель

произведение

111

111

12321

111

1111

123321

111

11111

1233321

111

111111

12333321

1111

1111

1234321

1111

11111

12344321

1111

111111

123444321

11111

11111

123454321

11111

111111

1234554321

111111

111111

12345654321

111111

1111111

123456654321

1111111

11111111

1234567654321

11111111

111111111

1234567887654321

111111111

1111111111

12345678887654321

1111111111

111

123333333321

11111111111

1111

12344444444321

1111111111111

111

123333333333321

11111111111111

11

122222222222221

111111111111111

111

12333333333333321







Если вы не будете заниматься политикой, политика займется вами. Шарль Монталамбер
ещё >>