Конечно-разностные аппроксимации производных - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Физическое и иматематическое моделирование Билет №1 1 119.82kb.
Решение по формулам: Детальное рассмотрение алгоритма Для лучшего... 1 111.13kb.
Закон Республики Казахстан от 2 июля 2003 года №461-ii о рынке ценных... 15 3120.49kb.
Закон Республики Казахстан от 2 июля 2003 года №461-ii о рынке ценных... 12 2783.65kb.
Дополнительные главы уравнений в частных производных 1 семестр, лектор... 1 11.64kb.
Урок в 10 классе по теме «Вычисление производных» 1 179.93kb.
Программа дисциплины «Уравнения в частных производных» 1 87.75kb.
Программа дисциплины «Уравнения в частных производных» 1 101.75kb.
Дипломная работа студента 544 группы 6 474.59kb.
Задача Дирихле: а внутренняя задача 1 39.39kb.
Unit I предложная группа. Модальные глаголы и их эквиваленты. 1 58.87kb.
Постройте сумму, разность данных векторов и произведение одного вектора... 1 22.87kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

Конечно-разностные аппроксимации производных - страница №1/5

Конечно-разностные аппроксимации производных

Конечно-разностные аппроксимации производных (конечные разности) - способ приближенного вычисления частных производных

Выражения для конечных разностей можно получить из разложения функции в ряд Тейлора:

Или более коротко с использованием индексов точек:





 (1)

Отсюда , где — остаток.

Отбрасывая остаток можно получить правую разность:

Погрешность такой аппроксимации определяется старшим членом в отброшенном остатке и в данном случае этот член содержит в первой степени.

Аналогичным образом, разлагая в ряд функцию можно получить:



 (2)

Получим новую аппроксимацию первой производной:



которая называется левой разностью. У нее погрешность также определяется членом, содержащим в первой степени. Однако, если из выражения (1) вычесть (2), то можно получить более точную аппроксимацию первой производной, которая называется центральной разностью:

В этом случае член, определяющий погрешность аппроксимации, будет содержать во второй степени.

Аппроксимацию второй производной можно получить исходя из ее определения, — отношение приращения функции к приращению аргумента, где в качестве функции выступает аппроксимация первой производной. Также ее можно получить из выражений (1) и (2), если из (1) вычесть (2), отбросить члены содержащие производные старше второй, то получим:

Отброшенный остаток будет содержать член с во второй степени (после деления на )

Исходя из определения, можно получить выражения для третьей, четвертой и более старших разностей:

Для функции двух переменных выражения для конечных разностей, в предположении что первый индекс относится к координате , а второй — , будут выглядеть следующим образом:



  • правая разность по оси : ;

  • правая разность по оси : ;

  • левая разность по оси : ;

  • левая разность по оси : ;

  • центральная разность по оси : ;

  • центральная разность по оси : ;

  • вторая разность по оси : ;

  • вторая разность по оси : .

Смешанная производная может быть получена следующим образом:

Алгоритм решения стационарных краевых задач методом конечных разностей

Метод конечных разностей — универсальный сеточный численный метод решения задач микроуровня.

Алгоритм решения стационарных краевых задач методом конечных разностей — последовательность действий, приводящая к решению стационарной задачи микроуровня



  1. Нанесение на объект сетки или дискретизация пространства. Сетка — совокупность точек (узлов) дискретного пространства, аппроксимирующего непрерывное исходное пространство. Сетка выбирается таким образом, чтобы на ней легко можно было аппроксимировать производные с помощью конечных разностей. Как правило это равномерная прямоугольная сетка, но может быть и сетка заданная в полярных координатах, и неравномерная сетка, если таковая быстрее приводит к решению задачи. При наненсении сетки, если это возможно, следует учесть симметрию объекта. Это поможет сократить размерность аппроксимирующей системы уравнений.

  2. Нумерация узлов сетки. Для повышения эффективности решения в условиях использования свойства разреженности матрицы коэффициентов математической модели нумерацию следует проводить так, чтобы разность номеров соседних узлов была минимальной. Так, если двумерный объект имеет размер по оси больше , чем по оси , то нумерацию узлов нужно выполнять вдоль оси (вдоль короткой стороны).

  3. Запись разностного уравнения для каждого внутреннего узла сетки.

  4. При необходимости запись уравнений граничных условий для приграничных узлов. В результате должна быть получена замкнутая система, в общем случае, нелинейных алгебраических уравнений.

  5. Решение системы алгебраических уравнений.

Решение линейных одномерных стационарных краевых задач с помощью МКР

Предположим необходимо определить распределение температуры в стержне, теплоизолированном с цилиндрической стороны, и с заданной температурой на боковых гранях.

Одномерное стационарное уравнение теплопроводности для изотропной среды выглядит следующим образом:

В соотвествии с алгоритмом решения стационарных краевых задач методом конечных разностей наносим на объект равномерную сетку, как это показано на рис. 1.





Рис. 1.  

Для каждого внутреннего узла сетки записываем разностный аналог исходного дифференциального уравнения:



  • для узла 1:


  • для узла 2:


В результате получили замкнутую систему линейных алгебраических уравнений, где неизвестными являются и , а и — известные граничные условия.

Решив систему уравнений, получим и . Это решение является точным, поскольку в исходной постановке задача линейная.

Рассмотрим теперь решение задачи с краевым условием второго рода, на правой границе стержня задан тепловой поток:



 (1)

Пусть и .

Запишем разностные аналоги для внутренних узлов сетки:


  • для узла 1:


  • для узла 2


Получили незамкнутую систему алгебраических уравнений (неизвестными являются , и ), дополнить которую можно разностным аналогом краевого условия (1).

Проще всего воспользоваться левой разностью:


Решая эту систему уравнений, получим , , .

Однако можно заметить, что аппроксимация задачи во внутренних узлах имеет второй порядок точности, а на границе — первый.

Можно вспомнить, что аппроксимация первой производной с помощью центральной разности имеет второй порядок точности, но для этого необходимо, чтобы граничный узел 3 был бы центральным узлом. Используется следующий прием: вводиться дополнительный фиктивный узел за пределами области, бывший граничный узел 3 становиться как бы внутренним (см. рис. 2)





Рис. 2.  

Теперь можно записать следующую систему конечно-разностных уравнений:



  • для узла 1:


  • для узла 2:


  • для узла 3:


  • граничное условие второго рода:


За повышение точности пришлось заплатить увеличением размерности системы конечно-разностных уравнений.

Решение нелинейных одномерных стационарных краевых задач с помощью МКР

Предположим необходимо определить распределение температуры в стержне, теплоизолированном с цилиндрической поверхности, и с заданной температурой на боковых гранях.

Одномерное стационарное уравнение теплопроводности для анизотропной среды выглядит следующим образом:



где — коэффициент теплопроводности.

Возможны нелинейности двух типов: коэффициент теплопроводности может зависеть от координаты (среда с неоднородными свойствами) и от температуры. Рассмотрим случай зависимости коэффициента теплопроводности от координаты на примере приближенного решения задачи об остываниии комнаты через окно с одинарным и двойным остеклением.

Предположим, что толщина стекла . Температура в комнате , на улице —

Тепловой поток на улицу пропорционален градиенту температуры, то есть .

В соотвествии с алгоритмом решения стационарных краевых задач наносим на объект равномерную сетку, в предположении, что промежуток между стеклами равен двойной толщине стекла,как это показано на рис. 1.




Рис. 1.  

Для каждого внутреннего узла сетки записываем разностный аналог исходного дифференциального уравнения:



  • для узла 1:


  • для узла 2:


  • для узла 3:


В результате получили замкнутую систему линейных алгебраических уравнений, где неизвестными являются , и , а и — заданные граничные условия. Условно будем читать, что (реальные значения , ).

Решив систему уравнений, получим , и . В этом случае градиент температуры составит , то есть двойное остекление в 20 раз эффективнее одинарного.

В том случае, когда коэффициент теплопроводности зависит от температуры, например для металлов он пропорционален ей, придем к следующей системе нелинейных алгебраических уравнений (для сетки из четырех узлов, два из которых внутренние):


  • для узла 1:


  • для узла 2:


Данную систему придется решать итерационными методами.

Решение нестационарных одномерных задач с помощью МКР

Для решения нестационарных задач с помощью МКР используется та же идея дискретизации независимой переменной, что и при решении стационарных задач, в данном случае такой независимой переменной помимо пространства является время. На ось времени наносится сетка, в узлах которой выполняется аппроксимация частной производной по времени.

Но поскольку при этом возможны различные сочетания конечных разностей по оси координат и по времени, можно получить различные схемы решения нестационарных задач. Рассмотрим их на примере нестационарного уравнения теплопроводности:



 (1)

Пусть при записи разностей нижний индекс соответствует оси , а верхний — оси времени.

Первый вариант разностного уравнения, апроксимирующего исходное (1):



 (2)

называется явной разностной схемой, поскольку в этом уравнении всего одна неизвестная величина , которая может быть вычислена явным образом. Остальные переменные, входящие в уравнение (2) известны либо как начальные условия (при ), либо с предыдущего временного слоя.

Второй вариант разностного уравнения, апроксимирующего исходное (1):



 (3)

называется неявной разностной схемой, поскольку в этом уравнении несколько неизвестных величин, относящихся к -му временному слою. Для их нахождения придется записать систему разностных уравнений для всех внутренних узлов сетки, и решить ее.

Графическое изображение разностных уравнений получило название шаблонов решения сответствующих задач. В данном случае на рис. 1,а представлен шаблон явной разностной схемы, а на рис. 1,б — неявной.




Рис. 1.  Шаблоны явной и неявной разностной схемы

Использование шеститочечного шаблона применено в схеме Кранка-Николсона:


В общем случае использования шеститочечного шаблона, имеем схему с весами:



которая при является неявной.

Примеры решения нестационарных задач с помощью МКР

Предположим необходимо определить изменение распределения температуры в стержне во времени (изменение температурного поля), теплоизолированном с цилиндрической стороны,с заданной температурой на боковых гранях (граничные условия) и заданной температурой стержня в нулевой момент времени (начальные условия).

Решим задачу с помощью явной разностной схемы.

Одномерное нестационарное уравнение теплопроводности для изотропной среды выглядит следующим образом:



 (1)

Пусть , выберем значения шага по оси и значение шага по оси времени .

Наносим на объект равномерную сетку по оси , как это показано на рис. 1.




Рис. 1.  

Записываем явную разностную схему для узла 1:



где — граничное условие, — начальные условия, отсюда .

Записываем явную разностную схему для узла 2:



где — граничное условие, — начальные условия, отсюда .

Таким образом найдено температурное поле в момент времени .

Аналогично для момента времени :

Для момента времени :



Получили картину прогревания стержня в течение трех единиц времени, представленную на рис. 2.





Рис. 2.  

Результат явно не соответствует физическим процессам, произошло это из-за того, что явная разностная схема является неустойчивой. Неустойчивость выражается в том, что существует некоторое значение шага по времени, при превышении которого погрешность вычислений резко возрастает. Исследование устойчивости выходит за рамки этого изложения, но согласно литературе для данной задачи должно выполняться следующее соотношение:


Как нетрудно проверить, условие не было выполнено. Чтобы удостовериться в работоспособности явной разностной схемы, повторим вычисления для :



  • для момента времени ;

  • для момента времени

  • для момента времени .

Теперь картина прогревания не противоречит физическому смыслу задачи.

Аналитическое условие устойчивости можно получить только для простых модельных задач, но можно обеспечить устойчивость вычислений алгоритмически в том числе и для нелинейных задач следующим образом:



  1. вычислить значения производных по времени во всех внутренних узлах объекта;

  2. определить максимальное из этих значений;

  3. разрешить измениться переменной в этом узле на некоторую заданную величину, которая определяется из физического смысла задачи. (Например для нашей задачи максимальной значение температуры внутри стержня , за один шаг по времени можем позволить измениться ей, допустим, на . Исходя из этого вычисляем значение );

  4. выполняем шаг по времени для всех узлов, изменение температуры во всех узлах не превысит разрешенной величины;

  5. если модельное время не закончилось переходим к пункту 1.

Рассмотрим решение задачи явной разностной схемой с граничными условиями второго рода (типа Неймана).

Предположим необходимо определить изменение распределения температуры в стержне во времени (изменение температурного поля), теплоизолированном с цилиндрической стороны,с заданной температурой с левой стороны, заданным тепловым потоком с правой (граничные условия) и заданной температурой стержня в нулевой момент времени (начальные условия)(см. рис. 3).





Рис. 3.  

Методика решения задачи остается прежней, только для вычисления необходимо знать . Это значение можно вычислить, если использовать разностную аппроксимацию граничного условия второго рода:



Аналогичным образом следует поступать на последующих временных слоях для вычисления .

Рассмотрим решение задачи рис. 1 с помощью неявной разностной схемы:



  • для узла 1: ;

  • для узла 2: .

Получили замкнутую систему линейных алгебраических уравнений, где , — граничные условия, , — начальные условия.

При , и , решив систему уравнений, получим ; в момент времени .

Для момента времени также придется решить систему линейных алгебраических уравнений :

Решение задачи рис. 3 с помощью неявной разностной схемы сводится к тому, что к системе уравнений, полученных для внутренних узлов 1 и 2 добавляется уравнение граничного условия, заданное в разностном виде, то есть


В результате на каждом временном шаге получается замкнутая система уравнений относительно неизвестных , , .



Использование симметрии объекта в МКР

В тех случаях, когда объект анализа симметричен по своей конфигурации и по краевым условиям, можно существенно сократить размерность аппроксимирующей системы уравнений. Рассмотрим разностные уравнения двумерного стационарного уравнения теплопроводности для узлов, расположенных на оси симметрии (см. рис. 1)





Рис. 1.  




 (1)

Поскольку, в силу симметрии объекта, уравнение (1) может быть переписано в виде:



Если размерность сетки ( — число строк, — число столбцов), то исключив из рассмотрения левую половину объекта, вместо исходной размерности разностной системы уравнений равной , получим систему размерностью

Глава 3. Метод конечных элементов

Метод взвешенных невязок

Метод взвешенных невязок — универсальный метод нахождения коэффициентов в аппроксимациях. Применительно к решению систем дифференциальных уравнений в частных производных этот метод можно продемонстрировать следующим образом.

Пусть есть некоторый дифференциальный оператор , описывающий поведение некоторой сплошной среды и заданы граничные условия первого рода . Идея метода взвешенных невязок основана на подборе решения. Но подбор решения ведется не произвольным образом, а целенаправлено. Попытаемся найти решение в виде



 (1)

при этом функция на границе точно удовлетворяет граничным условиям, а функции , которые называются пробными функциями, на границе принимают нулевое значение, т.е. .

При подстановке в (1) получим невязку

Потребуем, чтобы невязка приближенно в любой точке , например так



но в этом случае при после раскрытия интеграла придем к незамкнутой системе уравнений относительно . Поскольку мы хотим, чтобы , то домножение невязки на некоторую фунцию не должно изменить значения интеграла, то есть

где - функции, которые называются весовыми.

От выбора весовых функций зависит к какому конкретно варианту метода взвешенных невязок мы придем. Наиболее употребимыми являются метод поточечной коллокации, метод коллокаций по подобластям и метод Галеркина, в котором в качестве весовых функций используются сами пробные функции. При придем к замкнутой системе уравнений относительно коэфиициентов :



где

Вычислив элементы матрицы и вектора свободных членов, затем решив полученную систему уравнений, определим неизвестные коэффициенты в (1), найдя таким образом приближенное решение поставленной задачи.

Пример 1

Необходимо найти распределение температуры в стержне длиной , теплоизолированном со всех сторон, кроме торцев. На левом краю стержня задана температура , на правом (граничные условия первого рода). Одномерное уравнение теплопроводности выглядит следующим образом:


Функция удовлетворяющая граничным условиям может быть, например, такой:


В качестве пробных функций можно предложить следующие:



и на правой и на левой границе они будут обращаться в нуль. Ограничимся количеством пробных функций равным 2.

Таким образом будем искать решение в виде


Для решения нашей задачи воспользуемся методом Галеркина, т.е.


Находим коэффициенты:





Находим элементы вектора свободных членов



Получаем замкнутую систему уравнений



решив которую, получим , , то есть решение нашей задачи будет таким:

что в данном случае будет точным решением.

Естественные граничные условия

При изложении метода взвешенных невязок было показано, как можно решить дифференциальноне уравнение с использованием аппроксимирующей функции, тождественно удовлетворяющей граничным условиям. Если будем считать, что аппроксимация



заведомо не удовлетворяет краевым условиям задачи, то к невязке по области

добавится невязка в краевых условиях

где — дифференциальный оператор в граничных условиях второго и третьего рода.

Таким образом можно попытаться уменьшить сумму невязок по области и границе, полагая





 (1)

где и , вообще говоря могут быть выбраны независимо.

Раскрытие интегралов приведет к системе уравнений

где коэффициенты матрицы и вектора свободных членов могут быть найдены следующим образом:

Вычисление таких интегралов может оказаться весьма затруднительным, особенно когда на границе задана производная. Таких вычислений можно избежать, если использовать следующий прием. Первое слагаемое в уравнении (1), как правило можно преобразовать





 (2)

где , и — операторы более низкого порядка, чем .

Если выполнить такую подстановку в (1), то можно подобрать такую функцию , что интегралы по границе, содержащие производные взаимно уничтожатся. Граничные условия, для которых это возможно называются естественными граничными условиями.

Пример 1


Задан теплоизолированный с боковой поверхности стержень длиной , на левом торце задана температура , на правом — градиент температуры . Уравнение теплопроводности для изотропной среды:

Формируем уравнение типа (1):



раскрываем первый интеграл по частям:

Теперь, если выберем такую, что и , то члены, содержащие производные на границе уничтожатся и уравнение примет вид




Глобальные базисные функции

Глобальные базисные фунции должны обладать следующим свойствами:



  1. В узле аппроксимации должны принимать значение равное единице. Узел аппроксимации - узел сетки, после разбиения области на конечные элементы.

  2. Должны быть отличны от нуля только в подобластях (конечных элементах), включающих данный узел аппроксимации, во всех остальных подобластях должны быть равны нулю.

Рассмотрим одномерную область, для которой построим глобальные базисные функции (см. рис. 1).



Рис. 1.  Пример глобальных базисных функций

Если применим метод взвешенных невязок, то получим:


Функцию можно исключить, поскольку можно точно удовлетворить граничным условиям первого рода и с помощью глобальных базисных функций:



где - область, соответствующая конечному элементу, — количество конечных элементов.

Интеграл по однму конечному элементу будет включать в себя в нашем примере всего 2 ненулевые глобальные базисные функции и вычислить его будет достаточно просто.

Поскольку всего лишь одна из глобальных базисных функций принимает в узле значение равное 1, а остальные равны 0, то искомые коэффициенты получают конкретный смысл — они равны значению функции в этом узле. Поэтому этап подстановки в аппроксимацию для получения решения будет отсутствовать.

Идея метода конечных элементов

Метод конечных элементов — универсальный метод решения систем дифференциальных уравнений в частных производных.

Решение задач микроуровня методом взвешенных невязок в инженерной практике крайне затруднительно из-за необходимости вычислять сложные двойные (для плоских задач) и тройные интегралы (для объемных задач) для объектов с криволинейными границами. При этом возникает противоречие между точностью решения, для обеспечения которой необходимо увеличивать степень аппроксимирующего полинома и сложностью вычисления интегралов. Для разрешения этого противоречия было предложено разбить исследуемую область на конечные элементы простой формы, такие, чтобы вычисление интегралов по ним не представляло больших сложностей, а необходимой точности достигать увеличением числа конечных элементов. То есть в рамках метода взвешенных невязок необходимо перейти от интеграла по всей области к сумме интегралов по подобластям:



Математическое обоснование такого перехода может быть выполнено с использованием глобальных базисных функций.

При этом определенный интеграл после раскрытия (или взятия каким либо численным методом) приводит к математической модели конечного элемента в форме:

где Kл - локальная матрица жесткости, Vл - вектор фазовых переменных, Qл - локальный вектор нагрузок.

После ансамблирования получаем математическую модель системы в виде :

где K - матрица жесткости (глобальная) , V - вектор фазовых переменных, Q - вектор нагрузок (глобальный).

Ансамблирование - это процедура вычисления суммы

После решения системы уравнений получаем значения фазовых переменных в узлах сетки.

Разбиение области на конечные элементы

Разбиение области на конечные элементы — процедура построения сетки в методе конечных элементов. В отличие от метода конечных разностей выполняется, как правило, с помощью нерегулярной сетки. При этом во внимание может приниматься априорная информация о градиентах фазовых переменных. Там, где возможны резкие изменения фазовой переменной, сетка строится более густой. При формировании сетки также следует стремиться к получению элементов возможно более "правильной" формы — при использовании треугольных элементов избегать треугольников с очень острыми углами, при использовании прямоугольных элементов стремиться сделать элемент близким к квадрату. Выполнение таких рекомендаций позволяет повысить точность решения. При нанесении сетки можно комбинировать элементы, например для обеспечения более точной аппроксимации границ. На рис.1 представлен объект с прямоугольными, треугольными и смешанными конечными элементами.





Рис. 1.  Разбиение области на конечные элементы

Зачерненная область показывает погрешность представления области.

Получение функций формы конечного элемента

Вначале рассмотрим получение функции формы одномерного конечного элемента.

Функция формы представляет собой набор глобальных базисных функций, отличных от нуля, в пределах конечного элемента. С помощью функции формы фактически выполняется аппроксимация решения для одного конечного элемента. Пусть — решение дифференциального уравнения в частных производных. Считаем, что оно подчиняется линейному закону, т.е.



 (1)

Преполагаем, что узловые значения функции известны (см. рис. 1).





Рис. 1.  

Тогда при , при .

Из получившейся системы уравнений получаем и , подставляем найденные коэффициенты в (1) и выделяем коэффициенты при и

где и есть вектор функций формы.

Аналогичным образом можно получить квадратичную функцию формы конечного элемента.

Аппроксимирующее выражение:



 (2)

Для нахождения коэффициентов нужны три узловых значения, считаем, что известно также значение функции в середине конечного элемента равное .

Тогда при при ; при .

Из получившейся системы уравнений получаем , и , подставляем найденные коэффициенты в (2) и выделяем коэффициенты при , и .

Одномерные функции формы высших порядков

Причина использования функций формы высших порядков кроется в желании получения более точного решения с меньшим числом конечных элементов. Алгоритм получения функций формы высших порядков очень схож с получением линейных функций формы.

Получим квадратичные фунции формы. Для того, чтобы использовать квадратичную аппроксимацию необходимо иметь три узла. Пусть длина конечного элемента равна . Промежуточный узел целесообразно (но не обязательно) расположить в центре конечного элемента. Квадратичная аппроксимация имеет вид:



 (1)

Предполагаем, что узловые значения известны, тогда






Из данной системы уравнений находим коэффициенты , , , подставляем их в (1) и выделяем коэффициенты перед , и :


Получили функцию формы квадратичного элемента, составными частями которой являются глобальные базисные функции, отличными от нуля в пределах конечного элемента (см. рис. 1).





Рис. 1.  Функция формы квадратичного элемента

Аналогичным образом можно получить функцию формы кубичного элемента, которые будут выглядеть так, как показано на рис. 2.





Рис. 2.  Функция формы кубичного элемента

Функции формы двумерных конечных элементов

Функции формы двумерных конечных элементов — функции, позволяющие определить значения фазовой переменной внутри конечного элемента по узловым значениям.

Часто используемыми двумерными конечными элементами являются трехугольный и четырехугольный. Для линейного треугольного элемента можно использовать следующую аппроксимацию:

то есть глобальная базисная функция, ассоциируемая с узлом , будет выглядеть следующим образом (см. рис. 1) и иметь такую же аппроксимацию.




Рис. 1.  Функции формы треугольного элемента

Согласно свойствам глобальных базисных функций, можно записать:



где и — координаты узлов с соотвествующим индексом. Решение этой системы уравнений



где - площадь конечного элемента.

Остальные глобальные базисные функции (для других узлов) могут быть найдены перестановкой индексов.

Функции формы простого четырехугольного элемента с четырьмя узлами в вершинах прямоугольника можно получить, например, в виде произведения одномерных линейных базисных функций:

Подобная функция будет иметь вид, представленный на рис. 2.




Рис. 2.  Функции формы четырехугольного элемента

Элемент с такими глобальными базисными функциями называется билинейным.



Выбор конечного элемента

При решении задачи с помощью МКЭ необходимо определиться с формой конечного элемента.

Форма конечного элемента - его внешний вид, определяет точность аппроксимации границ исследуемого объекта

В одномерном случае выбор ограничен отрезком прямой. В двумерном случае форма конечного элемента может быть любой, при условии,что с помощью этого конечного элемента можно, с некоторой степенью точности аппроксимации границ, покрыть площадь произвольной формы (без перекрытия элементов). Наиболее простыми элементами для плоского случая являются треугольный и прямоугольный (со строронами, параллельными осям координат) элементы.

Для трехмерного случая форма элемента должны быть такой, чтобы с его помощью можно было бы покрыть объем произвольной формы, аппроксимировав при этом границы объекта. Наиболее простыми элементами являются тетраэдр и параллелепипед со стронами, параллельными осям координат. Условии параллельности упрощает вычисление локальных матрицы жесткости вектора нагрузок.

Алгоритм решения стационарных задач методом конечных элементов



  1. Выбор формы конечного элемента.

  2. Выбор функции формы конечного элемента.

  3. Разбиение области на конечные элементы.

  4. Получение локальных матрицы жесткости и вектора нагрузок.

  5. Ансамблирование.

  6. Учет граничных условий.

  7. Решение системы алгебраических уравнений.

  8. Пример решения одномерной задачи с помощью МКЭ

  9. Пусть необходимо найти удлинение балки, с одним закрепленным концом (см. рис. 1) с продольной нагружающей силой.



  10. Рис. 1.  

  11. Уравнение, описывающее состояние балки имеет вид:

  12. здесь — удлинение, — нагружающая сила, — площадь поперечного сечения, — модуль Юнга.

  13. В соотвествии с алгоритмом решения стационарных задач с помощью МКЕ:

  14. следующая страница >>



В минуту нерешительности действуй быстро и старайся сделать первый шаг, хотя бы и лишний. Лев Толстой
ещё >>