Журнал "Математическое моделирование", т. 19, №9, 2007г., с. 105-113 - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Математическое моделирование многомерных квазистационарных электромагнитных... 2 367.58kb.
№9: Компьютерный эксперимент для исследования процесса смесеобразования... 1 66.89kb.
1. Математическое моделирование и процесс создания математической... 1 127.7kb.
Математическое моделирование диаграмм плавкости в реальных системах... 1 57.36kb.
Программа дисциплины «Математическое моделирование» 1 141.18kb.
К экономико-математическому моделированию 1 278.16kb.
Л. Р. Джанбекова, В. С. Желтухин, А. М. Сидоров, И. А. Бородаев моделирование... 1 108.32kb.
Методические указания для проведения практических занятий по курсу... 1 186.26kb.
Программа вступительного экзамена в аспирантуру ики ран по специальности 05. 1 46.98kb.
’236: 669 Математическое моделирование тепловых полей тигельной печи... 1 44.38kb.
Математическое моделирование перколяционных процессов 1 33.25kb.
Терроризм: попытка концептуализации 1 257.39kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

Журнал "Математическое моделирование", т. 19, №9, 2007г., с. 105-113 - страница №1/1

Журнал “Математическое моделирование”, т. 19, №9, 2007г., с. 105-113.
Мациевский Н.С., Петров И.Б., Челноков Ф.Б.
Численное исследование динамического поведения сложных конструкций при их соударении на прямоугольных и треугольных сетках
Безопасность жилых и промышленных строений всегда была одной из наиболее актуальных проблем больших городов. Но в последнее она приобрела особое значение. Для исследования прочностных характеристик здания в ответ на значительные динамические нагрузки в механике уже существует большое количество моделей, опирающихся на существенный экспериментальный опыт. В данное время известно несколько работ [2], в которых проведены аналогичные исследования с применением сеточно-характеристического метода [1], позволяющего корректно строить вычислительные алгоритмы на границах области интегрирования и контактных границах. Наряду с этим методом в предлагаемой работе также используются гибридные и гибридизированные сеточно-характеристические, в заметной степени улучшающие качество численных решений с большими градиентами (разрывных решений). В работе ставится целью изучить поведение устойчивости оболочек и деформационные процессы, а также процессы разрушения в задачах о соударении оболочки (ударника) с деформируемыми преградами как сплошными, так и перфорированными. Численное решение подобных задач связано с проблемами конечных деформаций сплошной среды и адекватного описания волновых процессов. Для их решения предлагаются подвижные, в том числе лагранжевы, расчетные сетки.
Используемая в настоящей статье замкнутая система уравнений, которым согласно [7] подчиняется состояние бесконечно малого объема сплошной линейно-упругой среды, имеет вид:


(1)


Здесь — плотность материала, — параметры Ляме, определяющие свойства упругого материала, v — скорость движения среды в данной точке, — градиент по пространственным координатам, I — единичный тензор, T — симметричный тензор напряжений Коши.

Для анализа системы уравнений и построения разностных схем для нее принято приводить ее запись к канонической форме


(2)

Представление уравнений в форме (2) позволяет на основе методов расщепления по направлениям построить схему интегрирования в двумерном или трехмерном пространствах, если разработаны численные алгоритмы решения одномерной системы уравнений




(3)

Среди всех уравнений вида (3) выделяют гиперболические системы уравнений, которые могут быть представлены [3] в виде




(4)

где — диагональная матрица собственных значений матрицы A, — матрица собственных векторов матрицы A.

Для гиперболических уравнений разработаны так называемые сеточно-характеристические схемы, учитывающие характеристические свойства гиперболических систем уравнений.

Приведем здесь вывод сеточно-характеристической схемы первого порядка, которая получается, если используется кусочно-линейная реконструкция значений между узлами:




(5)

где — значения с предыдущего слоя по времени, взятые в точках соответственно. Это позволяет записать разностную схему в виду [1,3]:



где — диагональная матрица, полученная из абсолютных значений .


Можно выделить три основных механизма разрушений, реализующихся при падении обломков верхней разрушенной части здания на нижнюю, не разрушенную часть здания:

1. локальный изгиб вертикальных колонн и образование в них пластических шарниров;

2. деформация о потеря устойчивости поперечных балок, поддерживающих межэтажные перекрытия и связывающих между собой вертикальные несущие колонны;

3. расклинивание падающими обломками внешней оболочки здания, состоящей из вертикальных колонн, которое ведет к разрыву поперечных связей вертикальных колонн.

Срез и отрыв поперечных связей представляется наиболее реалистичным по двум причинам. Фотографии коллапса WTC показывают падающие куски колонн и балок размером в несколько этажей. Дым и пыль боковых выбросов через окна здания соответствуют падению межэтажных бетонных плит, движущихся подобно поршню внутри оболочки здания.
Разрушение высотного здания при ударе большим пассажирским самолетом представляет собой не только акт динамического разрушения здания вследствие удара. Кроме этого существенным является динамический процесс развития неустойчивости, в котором высвобождается потенциальная энергия, связанная с начальным напряженным состоянием элементов конструкции, находящихся в поле тяжести.

Более или менее полное решение задачи о прогнозировании последствий удара самолетом по высотному зданию для оценки его стойкости относительно такого воздействия должно включать в себя следующие этапы решения:

— задание конструкции здания, механических и прочностных характеристик конструкционных элементов;

— расчет последствий кратковременного ударного воздействия для определения поврежденных и разрушенных элементов здания;

— расчет длительного (по сравнению со временем распространения волн вследствие удара или взрыва) процесса изменения напряженно-деформационного состояния, эволюционирующего на протяжении нескольких десятков минут (часов), с учетом следующих факторов:

а) наличие динамически разрушенных или трещиноватых элементов здания;

б) ослабление конструкционных элементов из-за действия повышенной температуры при горении остатков топлива и горючих материалов самого здания;

в) динамически мягкое ударное воздействие падающих обломков на оставшуюся часть здания.

— определение накопления поврежденности и последующего разрушения части здания (коллапс).
Таким образом, для получения полной картины разрушения высотного здания при действии динамической нагрузки необходимо решить две основные задачи:

1. Расчет деформирования и разрушения части здания при динамическом воздействии (удар). Задача носит ударно-волновой характер, так как характерные напряжения порядка предела прочности прикладываются за время существенно меньшее акустического масштаба (время пробега ударной волны по характерному размеру здания). Использование плоского приближения дает при заданном воздействии верхнюю оценку областей вероятных разрушений из-за меньшего геометрического расхождения волн напряжения. Главным результатом решения рассматриваемой ударно-волновой задачи должен стать расчет областей поврежденности и разрушения, являющихся исходной информацией для определения полного (или частичного) разрушения здания при действии силы тяжести и падающих обломков.

2. Расчет напряженно-деформированного состояния и областей разрушения при низкоскоростном ударе по ставшейся нижней части здания другой, верхней частью здания. Начальная скорость удара определяется из условия свободного падения , где g — ускорение свободного падения, H — эффективная высота части здания, разрушенного ударом и последующим взрывом топлива. Падающая часть здания свободна от напряжений, нижняя часть является изначально напряженной силой тяжести.

Основной интерес здесь представляет оценка степени разрушения здания при заданных параметрах, к которым в первую очередь относятся:

— размер и форма падающей верхней части здания;

— скорость удара, определяемая размером полностью разрушенной части здания;

— степень деградации деформационных и прочностных свойств материала конструкционных элементов при горении здания;

— степень повреждения узлов соединений элементов конструкции, для которых характерна высокая концентрация напряжений и высокая степень поврежденности при действии динамических и тепловых нагрузок.

Н

Рис. 1. Некоторые параметры конструкции высотного здания (башни Всемирного Торгового центра)


аряду с динамической фазой и фазой колебаний отдельных элементов и здания в целом, расчет рассматриваемой задачи включает в себя этап квазистатического деформирования вследствие нагрева и пластичности конструкционного материала, который завершается (или не завершается) режимом обострения, соответствующим обрушению части здания и возникновению новой динамической ситуации (коллапс).
4. В данной работе проводилось численное моделирование столкновения массивного пассажирского самолета (200–300 тонн) с высотным зданием (за основу взяты технические характеристики самолета Боинг-757 и железобетонного каркаса здания Всемирного торгового центра, рис.1). Для оценки предельной несущей способности (стойкости) высотных зданий при ударе самолетом в работе рассматривается первая задача, а именно: расчет деформирования и разрушения части здания при динамическом воздействии (удар без взрыва).
Для решения этой задачи рассматривалась также и задача о деформировании фюзеляжа самолета при ударе о жесткую стенку и о систему стальных колонн (рис. 2а, 2б).
Рассмотрим результаты численного исследования динамических процессов, происходящих в самолет и названном сооружении. При деформации только одного тела (ударника) наблюдается «эффект яйцерезки» и потеря устойчивости оболочки фюзеляжа самолета (рис. 2а). Можно проследить, как распространяется ударная волна вдоль главной оси самолета. При расчете столкновения самолета с абсолютно жесткой стеной были получены зависимости характерного напряжения и нагрузки в месте столкновения от времени, а также направления откольных трещин (разрушения материала) наряду с уже выявленной потерей устойчивости (рис. 2б). В случае соударения самолета с серией несущих колонн наблюдалась похожая картина. Также появилась возможность оценить характерный размер проникновения самолета вглубь здания (за счет деформации несущих колонн).


Рис.2а (неустойчивость оболочки, система столбов)



Рис. 2б (неустойчивость оболочки, жесткая стена)


При ударе самолета о высотное здание неустойчивость наблюдалась уже для ферм, соединяющих несущие колонны (для вырожденного случая, когда самолет сталкивался с 1–3 фермами, рис. 3а). Большее число ферм уже выдерживало динамическую нагрузку, но возникали откольные разрушения на противоположной стороне (в случае данного расчета в стене, составляющей шахту лифта).




Рис. 3а (неустойчивость несущих ферм)



Рис 3б (профиль упругой волны в ферме, τ=0,0005с)


В результате проведенного численного эксперимента можно утверждать, что следствиями удара самолета с массой порядка 200–300 тонн, содержащего примерно 40–50% топлива и движущегося со скоростью 200–250 м/с, являются: сильное повреждение и даже разрушение в области контакта вертикальных несущих колонн, расположенных по периметру высотного здания; повреждение части связей вертикальных колонн с поперечными балками для нескольких этажей; повреждение поперечных балок и, как следствие, повреждение несущих колонн на противоположной от контакта стороне высотного здания. В работе получены характерные времена неустойчивости оболочки самолета для прямоугольных и треугольных сеток, а также рассмотрены различные двумерные проекции поставленной трехмерной задачи.


При воздействии динамической нагрузки на перфорированную конструкцию (жилой дом, рис 4а, 4б, 4в) в ней образуется волна сжатия треугольной формы, распространяющаяся к противоположной свободной поверхности сооружения (рис. 4а). После взаимодействия этой волны со свободной поверхностью (рис. 4б, 4в) эта волна трансформируется в волну растяжения существенной меньшей (по сравнению с начальной) амплитуды. Однако, если волны сжатия производят, в основном, разрушения в местах крестообразной стыковки бетонных плит, то положительные напряжения способны реализовывать разрушения на разрыв и тыльные отколы вблизи противоположной границы здания. Аналогичный профиль имеет волна сжатия, распространяющаяся снизу вверх по перфорированной конструкции после взрыва в фундаментной части дома (рис. 5а, 5б).







Динамическая нагрузка на перфорированную конструкцию

Рис. 4а

Рис. 4б

Рис. 4в








Взрыв в фундаменте

Рис. 5а, τ=0,003

Рис. 5б, τ=0,0075

Деформация решетчатой (перфорированной) конструкции при ударе по ней сплошным телом, моделирующим самолет, с эффективными механическими характеристиками в два момента времени представлена на рис. 6а, 6б. Расчет в данном случае проводился с использованием нерегулярной треугольной расчетной сетки, что позволило провести его при значительном деформировании элементов сооружения.








Удар по перфорированной конструкции

Рис. 6а, τ=20

Рис. 6б, τ=50

Результаты численного решения соответствующей трехмерной задачи (удар по перфорированной кубической конструкции) представлены на рис. 7а, 7б. Волна сжатия в этом случае имеет форму клина с уравнением



.





Распространение упругих волн в перфорированной конструкции

Рис. 7а, t/tmax=0,2

Рис. 7б, t/tmax=0,8

Важной частью исследованных динамических процессов (т.е. процессов распространения упругих волн, деформирования, разрушения) в сложных конструкциях является расчет поведения их отдельных элементов. В работе приведены поля скоростей, образующихся при прохождении волны сжатия через крестообразное соединение (перекрестие балок, рис. 8а, 8б). Видно, что после прохождения волны через такое соединение появляются «обратных течений» (материал начинает двигаться в обратную сторону) и ускорение движения материала вблизи свободной левой границы вертикальной балки.








Поля скоростей в крестообразном перекрытии

Рис. 8а, τ=0с

Рис. 8б, τ=0,001с








Трещины в стекле

Рис. 9а, τ=0,0012с

Рис. 9б, τ=0,0022с

Другой пример расчета разрушения одного из элементов конструкции — разрушение стекла при ударе по нему осколком. Заметим, что эта задача является проблемной, поскольку пока не существует механико-математических моделей, достаточно адекватно описывающих процесс хрупкого разрушения стекла при осесимметричной нагрузке. Тем не менее, подход, предложенный в данной работе позволил получить качественно похожую картинку разрушения стекла. Решалась модельная задача о быстром нагружении бесконечно толстого стекла с цилиндрическим отверстием изнутри. На рис. 8а, 8б видны образующиеся в таком процессе радиальные и тангенциальные трещины. Полагалось, что распределение напряжения на внутренней границе полости является неоднородным (может изменяться на 50%), распределенным случайным образом.


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Магомедов К.М., Холодов А.С. Сеточно-характеристические численные методы. М.: Наука, 1988.

2. Петров И.Б., Челноков Ф.Б. Численное исследование волновых процессов и процессов разрушения в многослойных преградах. // Журнал вычислительной математики и математической физик, 2003, Т. 43, №10, с. 1542–1579.

3. Петров И.Б., Холодов А.С. Численное исследование некоторых динамических задач механики деформируемого твердого тела сеточно-характеристическим методом. // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1984. Т. 24, №5, с. 722–739.

4. Петров И.Б., Челноков Ф.Б., Чибриков В.В. Численное исследование волновых процессов в перфорированных деформируемых средах. // Математическое моделирование, 2003, Т. 15, №10, с. 89–94.



5. Bazant Z.P., Zhou Y. Why did World Trade Center collapse? — Simple analysis // Archive of applied mechanics, 2001, #71, p. 802–806.




Есть настолько очевидные истины, что их невозможно доказать. Аркадий Давидович
ещё >>