Элементы высшей математики - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Высшей математики 6 978.45kb.
Методические указания по дисциплине «Элементы высшей математики»... 1 119.15kb.
Методические указания к курсу «Элементы дискретной математики и биоинформатики» 7 385.12kb.
Экзаменационные задания по дисциплине «Элементы высшей математики»... 1 36.95kb.
Урок математики в 5 классе по теме «Деление и дроби» 1 46.91kb.
Математический факультет 1 52.06kb.
Общий курс высшей математики для экономистов 1 282.63kb.
О введении понятия производной в курсе математического анализа (математики) 1 43.38kb.
Рабочая программа по дисциплине ен. В. 1 «Дополнительные главы высшей... 1 150.76kb.
Ческое и информационное обеспечение дисциплины Основная литература... 1 31.88kb.
«Статистические характеристики» 1 70.89kb.
Вопросы к экзамену по дисциплине «Линейная алгебра» 1 18.9kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

Элементы высшей математики - страница №1/1

ГОУ СПО Кемеровский профессионально-технический колледжцдот

Центр дистанционных образовательных технологий

Г.С. Малыгина

Элементы высшей математики


Учебное пособие

КЕМЕРОВО - 2011

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ПО КЕМЕРОВСКОЙ ОБЛАСТИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО

ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ


КЕМЕРОВСКИЙ ПРОФЕССИОНАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКИЙ

КОЛЛЕДЖ (КПТК)

Г.С. Малыгина


Элементы высшей математики

Учебное пособие

2011


Малыгина Г.С.

Элементы высшей математики. Учебное пособие. Кемерово: Кемеровский профессионально-технический колледж – 2011. – 41 с.


Учебное пособие «Элементы высшей математики» полностью соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта среднего профессионального образования для самостоятельного изучения дисциплины по специальности 230115 «Программирование в компьютерных системах». Пособие подготовлено на основе современных отечественных источников и предназначено для студентов средних профессиональных образовательных учреждений.
Ó КПТК, 2011

Ó Малыгина Г.С. 2011

Рассмотрено

на заседании ПЦК

естественно – научных

дисциплин

Протоколом № ________

“___” _________ 2011г.

Председатель ПЦК

______ Шевчук А.Ю.


Рекомендовано к изданию и использованию в качестве методического пособия учебно – методическим советом колледжа.

Протокол №______ от “____” ________ 2011г.
Элементы высшей математики. Методическое пособие для обучения студентов заочной формы обучения технического и гуманитарного цикла. Издательство: Кемеровский профессионально – технический колледж
Рассматриваются теоретические вопросы высшей математики разделов: “Пределы”, “Производная”, “Интеграл”, «Линейная алгебра» и «Векторная алгебра», «Матрицы и операции над ними», «Уравнения прямой на плоскости», «Кривые второго порядка», «Основы теорий комплексных чисел», а также практические указания и контрольные задания, тестовые задания для проверки знаний и решений.

Малыгина Г.С.

Издательство: Кемеровского профессионально – технического колледжа.

Содержание


Введение. 5

Раздел 1. Теория пределов 6

1.1 Предел последовательности. 6

1.2 Предел функции 7

1.3 Свойства пределов 8

1.4 Первый и второй замечательные пределы 8

1.5 Вычисления пределов 8

Раздел 2. Дифференцирование функций 10

2.1 Правила и формулы дифференцирования. 10

2.2 Вычисление производных 11

Раздел 3. Интегрирование функций 12

3.1 Первообразная и неопределенный интеграл. 12

3.2 Вычисление интегралов 13

Раздел 4. Решение систем линейных уравнений. 15

4.1 Определители 2го порядка. 15

4.2 Определители 3го порядка. 15

4.3 Решение систем линейных уравнений методом Крамера. 15

Раздел 5. Векторная алгебра. 17

Рекомендуемая литература 30



Введение.


Данное методическое пособие предусмотрено для студентов заочной формы обучения гуманитарного и технического профиля.

В результате освоения дисциплины обучающийся должен знать:

- основы теории интегралов;

- основы дифференциального исчисления;

- основы интегрального исчисления;

- системы линейных уравнений;

- векторная алгебра.

- матрицы и операции над ними.

- уравнения прямой на плоскости.

- кривые второго порядка.

- основы теорий комплексных чисел.

В результате освоения дисциплины обучающийся должен уметь:

- вычислять пределы элементарных функций;

- находить производные элементарных функций;

- выполнять непосредственное интегрирование функций;

- решать системы линейных уравнений;

- решать задачи с векторами.

- выполнять операции над матрицами.

- уметь составлять уравнения прямой над плоскостями.

- решать задачи на нахождения элементов кривых второго порядка.

- производить действия над комплексными числами.

Студенты гуманитарного и технического профиля должны обладать следующими общими компетенциями:

ОК 1. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы решения задач;

ОК 2. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях;

ОК 3. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для личностного развития;

ОК 4. Самостоятельно определять задачи личностного развития, заниматься самообразованием.


Содержание пособия соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта для специальностей технического профиля.

Практические задания служат для закрепления теоретических знаний.













Раздел 1. Теория пределов




1.1 Предел последовательности.


Если каждому числу n є N поставить в соответствие число xn є R, то множество чисел x1, x2,…..xn,… называется числовой последовательностью, где x – члены последовательности, n – номер элемента последовательности. Xn – обозначение.
Примеры:

Число a называется пределом последовательности Xn , если для любого положительного числа ∑ существует номер N такой, что при n > N выполняется неравенство | Xn a | < ∑


Предел существует – последовательность сходящаяся, в противном случае – расходящаяся.
Обозначение: limn→∞Xn = a
Пример: Доказать, что
Доказательство:

Свойства сходящихся последовательностей.

Если limn→∞Xn = a, то limn→∞Yn = b, то

limn→∞ (Xn± Yn)=a±b



  1. limn→∞ (Xn* Yn)=a*b

  2. limn→∞

  3. limn→∞ (Xn*c)=c* limn→∞Xn = c*a

Числом e называется предел последовательности

limn→∞

e≈2,71828….







1.2 Предел функции

Формулы для вычисления пределов:


lim limx→af(x)=f(a)

lim limC = C

lim

1.3 Свойства пределов

Бесконечно малой называется величина, предел которой равен нулю.

Бесконечно большой называется величина, предел которой равен бесконечности.

Если limn→∞Xn = limn→∞Yn = 0, то

Называется неопределенностью.

Аналогично, если limn→∞Xn = limn→∞Yn = ∞, то

Например: 1)


Имеет неопределенность разделив числитель на знаменатель на x, применив теорему 1, получим:

1.4 Первый и второй замечательные пределы


Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел:



1.5 Вычисления пределов

Контрольные задания для вычисления пределов


1) 11)

2) 12)

3) 13)

4) 14)

5) 15)

6) 16)

7) 17)

8) 18)

9) 19)

10) 20)








Раздел 2. Дифференцирование функций




2.1 Правила и формулы дифференцирования.

Производной функции y=f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции в этой точке ∆y=f(x0+∆x)-f(x0) к приращению аргумента ∆x при ∆x→0, если этот предел существует. (Обозначается y`( x0)

y`( x0)=

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Правила дифференцирования.

1)

2)

3)

4)
Таблица основных производных



  1. (c)`=0 9) (sinx)`=cosx

  2. (xn)`=n*xn-1 10) (cosx)`=-sinx

  3. (ax)`=ax*lna 11)

  4. (ex)`= ex 12)

  5. 13)

  6. 14)

  7. 15)

  8. 16)

Например:


При выполнении вычислений производной функций после применения необходимой формулы, следует умножить на производную сложного аргумента.
Например:





2.2 Вычисление производных

Контрольные задания по теме “Производная”

Найдите производные следующих функций:
1) 11)

2) 12)

3) 13)

4) 14)

5) 15)

6) 16)

7) 17)

8) 18)

9) 19)

10) 20)



Раздел 3. Интегрирование функций




3.1 Первообразная и неопределенный интеграл.




Функция F(x) называется первообразной по отношению к функции f(x), если F(x) дифференцируема и выполняется условие F`(x)=f(x).

Очевидно, что (F(x)+C)`=f(x), где C-любая константа.


Неопределенным интегралом от функции f(x) называется множество всех первообразных этой функции.

Обозначается


Основные правила интегрирования.


  1. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла.



  1. Интеграл от суммы двух или нескольких функций равен сумме интегралов.



  1. При интегрировании сложной функции перед интегралом выносится множитель .


Основные формулы интегрирования.
1. 8)

2. 9)

3. 10)

4. 11)

5. 12)

6. 13)

7. 14)

Например:






3.2 Вычисление интегралов




1. 16.

2. 17.

3. 18.

4. 19.

5. 20.

6. 21.

7. 22.

8. 23.

9. 24.

10. 25.

11. 26.

12. 27.

13. 28.

14. 29.

15. 30.




Раздел 4. Решение систем линейных уравнений.

4.1 Определители 2го порядка.


Определителем второго порядка называется число обозначаемое символом, равенством и определяется =


Числа - называются элементами определителя.
Например, вычислить определители:
1) 2) 3) 4)



4.2 Определители 3го порядка.

Определителем третьего порядка называется число, обозначаемое символом

и определяемое равенством:
Например, вычислить определители.
1) 2) 3)


4.3 Решение систем линейных уравнений методом Крамера.


Рассмотрим систему трех уравнений первой степени с тремя неизвестными: x,y,z:


(1)
Где - коэффициенты, - свободные члены.
Тройка чисел называется решением системы уравнений (1) если в результате подстановки этих чисел вместо все три уравнения обращаются в тождество.
Определитель называется главным определителем системы, получаются заменой соответствующего столбца коэффициентов на свободные члены.

Если определитель отличен от нуля, то существует единственное решение, которое выражается формулами: ; ; (формулы Крамера).

Контрольные задания для решения систем:
1) Ответ: (-5;6;7)
2) Ответ: (1;3;-5)

3) Ответ: (-4;3;2)















Раздел 5. Векторная алгебра.

Направленный отрезок называется вектором.

Длина вектора обозначается или

Если =1, то вектор называется единичным.

Проекции x,y,z вектора на оси координат называют его координатами.

Если даны две точки и , координаты вектора определяются формулами

Длина вектора через координаты выражается формулами:

Обозначим углы между вектором и осями координат. - называется направляющими косинусами и вычисляются по формулам:




Скалярным произведением двух векторов и называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

(1)

Если векторы и заданы своими координатами , , то их скалярное произведение определяется формулой



(2)
Пример 1. Найти скалярное произведение векторов и .
Решение: По формуле (2) находим
Поскольку , то векторы перпендикулярны.
Пример 2. Найти угол между векторами и .

Используем формулу угла между векторами ,



, получим

Задания для контроля.

1. Определить угол между векторами и . Ответ:

2. Определить угол между векторами и . Ответ:

3. Найдите длины сторон треугольника ABC, если A(2;-4;-7); B(7;2;7); C(-4;8;5). Ответ: AB=BC=15; AC=18
Раздел 6. Матрицы и операции над ними.
Матрица-это таблица прямоугольной формы, заполненная числами или символами их обозначающими.

Обозначают матрицы математическими буквами, а саму таблицу заключают в скобки.

Например:

Числа, символы заполняющие таблицу называются элементами матрицы.

Множество элементов матрицы, расположенные в одной строке называются строкой матрицы, множество элементов, расположенные в столбце, называются столбцом матрицы.

Если в матрице содержится m строк и n столбцов, то матрица имеет размеры m ∙ n если m= n, то матрица называется квадратной, если m n, то прямоугольной.

Каждый элемент матрицы получает два номера: i - номер строки, j — номер столбца.

Например, матрица A с элементами A i j может быть записана в виде

Матрицы A и B называются равными, если они имеют одинаковые размеры и элементы, стоящие на одинаковых местах, равны между собой.

Суммой двух матриц одинакового размера m∙n называется матрица тех же размеров, элементы которой равны суммам соответствующих элементов матрицы A и B
C=A+B означает, что для всех и

Операция нахождения суммы называется сложением матриц

Например: Пусть
Тогда
Нулевая матрица-это матрица, все элементы которые равны нулю A+0=A

Свойства сложения чисел присущи операции сложения матриц:


(коммуникативность сложения)

(ассоциативность сложения)

3) для любой матрицы А найдется единственная матрица B такая, что А+B=0

Произведением матрицы A на действительное число называется матрица , элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы A умножение их на число . Например:
, тогда

При умножении матрицы на (-1) получается матрица, которая в сумме с матрицей A дает нулевую матрицу: A + (-1)А =0

Определяя операцию вычитания используем это свойство: A-B=A+(-1)B

Произведением двух матриц:



и называется матрица

имеющая столько же строк, сколько их имеет матрица A и столько же столбцов, сколько их имеет матрица B, и элементы которой находятся по формулам


Операция нахождения произведения матриц A и B называется умножением матриц, записывается C= A ∙ B

Умножение возможно лишь тогда, когда число столбцов у матрицы A равно числу строк матрицы B

Пример:

Откуда видно, что AB и BA совершенно разные матрицы.



Раздел 7. Уравнение прямой на плоскости.
Уравнение Ax + By + C = 0, рассмотренное на плоскости х О у, является общим уравнением прямой линии.

Если в общем уравнении прямой

Ax + By + C = 0

коэффициент при у отличен от нуля, то уравнение можно переписать в виде

у = kx+b,

где k = -,число, называемое угловым коэффициентом, b = -

Уравнение y = kx + b называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Если даны две точки М1 11) и М2 22) то уравнение прямой, проходящей через две точки имеет вид: =


Если в общем уравнении прямой

Ax + By + C = 0

все коэффициенты отличны от нуля, то уравнение можно преобразовать к виду:

+ =1

обозначив

a = -

Данное уравнение называется уравнением прямой «в отрезках»

.

Тест: «Прямая на плоскости и ее уравнение».



Раздел 8. Кривые второго порядка.
Эллипс.

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Если выбрать систему декартовых координат на плоскости так, чтобы ось ox проходила через фокусы эллипса, начало координат находилось посередине между ними, то в этой системе координат уравнение эллипса выглядит так:


(-a;0)

(0;b)


(а;0)

(0;-b)
Это каноническое уравнение эллипса.

Анализируя уравнение (1) замечаем, что переменные х и у в ходят в уравнение во второй степени. Следовательно, эллипс – кривая второго порядка.

Величина а равна полусумме расстояний от точки эллипса до фокусов, в= , где с – половина расстояния между фокусами. Если a = b, то с = 0 и уравнение может быть переписано в виде x2 + y2 =a2 в котором можно узнать уравнение окружности с радиусом а.



Гипербола.

Гиперболой называется геометрическое место точек на плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, положительная и меньшая, чем расстояние между фокусами.

В прямоугольной системе координат уравнение гиперболы выглядит так

Это уравнение называется каноническим уравнением гиперболы.

Это кривая второго порядка

b =

где с – половина расстояния между фокусами.
(-a;0)

(a;0)


(0;b)

(0;-b)
Парабола.

Параболой называется геометрическое место точек на плоскости равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом и данной прямой, называемой директрисой.

Каноническое уравнение параболы имеет вид:

y2 = 2 px

где Р – расстояние от фокуса до директрисы, называется параметром параболы.

K

M
F(P/2)


-P/2

Раздел 9. Основы теории комплексных чисел.
Нуль если число нейтральное, оно не является ни положительным, ни отрицательным, а является лишь границей положительных и отрицательных чисел.

Для решения многих задач физики, электротехники и других наук оказалось недостаточно множества действительных чисел.

Пример: для уравнения , формально х =, т.е. это уравнение во множестве действий чисел решения не имеет, т.к не существует действительного числа, квадрат которого равен -1. Поэтому возникла необходимость нового расширения понятия числа.

Комплексными числами называют числа вида , где а и b – действительные числа, а число i, определяется равенством , называется мнимой единицей.

Два комплексных числа называются равными, если

Запись комплексного числа в виде называется алгебраической формой записи комплексного числа. Действительное число a называется действительной частью комплексного числа, а - его мнимой частью.

Любое действительное число а содержится в множестве комплексных чисел, его модно представить в виде . Числа 0,1 и записываются соответственно в виде


При a=0 комплексное число обращается в чисто мнимое число .

Два комплексных числа называются взаимно сопряженными (обозначается ), если их действительные части равны, а мнимые отличаются знаками, например:



и

При решении квадратного уравнения получаем два взаимно сопряженных корня

Комплексные числа вида и называются противоположными.

Множество комплексных чисел обозначается буквой С. Множество действительных чисел R содержится во множестве С: .

Следовательно:

Геометрическая интерпретация комплексных чисел.

Комплексное число можно изобразить точкой плоскости с координатами (a;b)

Плоскость XOY, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. При этом действительные числа изображаются точками оси абсцисс, которую называют действительной осью, а чисто мнимые числа – точками оси ординат, которую называют мнимой осью.


Каждому комплексному числу в комплексной плоскости соответствует единственная точка М (а;b) и, обратно каждой точке (a;b) плоскости x0y соответствует единственное комплексное число.

Например, число изображается точкой (3;2), число точкой (0;3). Сопряженные числа и расположены симметрично относительно действительной оси.





Тест

«Действия над комплексными числами в алгебраической форме»



1. Решить квадратное уравнение:

Варианты ответов:





2. Решить квадратное уравнение:

Варианты ответов:





3. Решить квадратное уравнение:

Варианты ответов:





4. Решить квадратное уравнение:

Варианты ответов:





5. Найти действительные числа х и у из условия равенства двух комплексных чисел:

Варианты ответов:





6. Найти действительные числа х и у из условия равенства двух комплексных чисел:

Варианты ответов:





7. Выполнить действия:

Варианты ответов:





8. Выполнить действия:

Варианты ответов:




Правильные ответы: 1-1

2-4

3-2


4-1

5-1


6-3

7-2


8-4






Рекомендуемая литература





  1. В.П.Григорьев, Т.Н.Сабурова “Элементы высшей математики” Москва, “Академия” – 2010.

  2. В.П.Григорьев, Т.Н.Сабурова “Сборник задач по высшей математике” Москва, “Академия” – 2010.

  3. И.Д.Пехлецкий “Математика” учебник – Москва “Академия” – 2010.

  4. Н.В.Богомолов, П.И.Самойленко “Математика” Москва, “Дрофа” – 2010.

  5. Н.В.Богомолов “Сборник задач по математике” Москва, “Дрофа” – 2009.







Проливал кровь? Указать, чью! Владислав Пекарский
ещё >>