«Диофантовы уравнения» - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Уравнения с двумя неизвестными в целых числах 1 145.95kb.
Диофантовы уравнения 1 236.46kb.
Задача для линейного уравнения или системы уравнений. Функция Грина. 1 35.76kb.
Решение уравнении ( нахождение корней уравнения ) 1 100.11kb.
Вид рассматриваемых уравнений 1 31.62kb.
Что такое квадратное уравнение, неполное квадратное уравнение, приведенное... 3 407.45kb.
Задача для уравнения Лапласа, теорема единственности. 16. Внутренние... 1 25.83kb.
Вопросы к экзамену по дисциплине «Дифференциальные и разностные уравнения» 1 34.32kb.
Вырождающиеся эллиптические уравнения и связанные с ними весовые... 1 165.64kb.
Решение задач ч. В и С. Рациональные уравнения Иррациональные уравнения 1 23.55kb.
«Химические уравнения» 1 15.77kb.
Доказательство сильной гипотезы гольдбаха-эйлера 1 122.73kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

«Диофантовы уравнения» - страница №1/1

X Региональное соревнование юных исследователей

«Будущее Севера. ЮНИОР»

«Диофантовы уравнения»

Автор: Цыганов Иван

Мурманская обл., г Оленегорск

МОУ «Основная общеобразовательная школа №21»

ученик 8А класса.

Научный руководитель:

Прокопенко Надежда Ивановна

учитель математики

МОУ «Основная общеобразовательная школа №21»

г. Мурманск

2012 год

Содержание

1.Введение………………………………………………………………………3

2.Из истории…………..……………………………………………………..…4-5

3.При каких условиях уравнение имеет решение……………………………6

4. Решение уравнений

4.1.С применением алгоритма Евклида…………………………………….. 7-9

4.2. Методом перебора…………………………………………………………10..

4.3 Методом выделения целой части. ……………..........................................11

4.4.С применением нескольких методов…………………………………… 12-13

5.Решение задач. ………………………………………………………………14

6. Заключение………………………………………………………………….15.

7. Библиографический список……………………………………………… .16

8. Приложения……………………………………………………………….. 17-20

Введение

Посредством уравнений, теорем

Он уйму всяких разрешил проблем:

И засуху предсказывал, и ливни.

Поистине его познанья дивны.

Чосер Д.


Гипотеза: Если можно решать уравнения с одной переменной, то должны быть способы решения уравнений с двумя переменными.

Объект исследования: Диофантовы уравнения

Предмет исследования: Способы решения неопределённых уравнений

Цели и задачи:

1.Найти и систематизировать различные способы решения неопределённых уравнений.

2. Дополнить уже известные способы решения уравнений в целых числах.

3. Изучить дополнительную литературу с целью ознакомления с другими видами неопределённых уравнений.


Методы исследования: Сбор материала, обработка данных, наблюдение, сравнение, анализ, синтез, обобщение.

Из историиТрактат Диофанта О многоугольных числах (Περ πολυγώνων ριθμν) сохранился не полностью; в сохранившейся части методами геометрической алгебры выводится ряд вспомогательных теорем.Из сочинений Диофанта Об измерении поверхностей (πιπεδομετρικά) и Об умножении (Περ πολλαπλασιασμο) также сохранились лишь отрывкиКнига Диофанта Поризмы известна только по нескольким теоремам, используемым в Арифметике.

Джон Дж. О’Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон. Диофант Александрийский (англ.) в архиве MacTutor.

  • Диофантово уравнение

  • Математика в Древней Греции

О подробностях его жизни практически ничего не известно. С одной стороны, Диофант цитирует Гипсикла (II век до н. э.); с другой стороны, о Диофанте пишет Теон Александрийский (около 350 года н. э.), — откуда можно сделать вывод, что его жизнь протекала в границах этого периода. Возможное уточнение времени жизни Диофанта основано на том, что его Арифметика посвящена «Достопочтеннейшему Дионисию». Полагают, что этот Дионисий — не кто иной, как епископ Дионисий Александрийский, живший в середине III в. н. э.

Бо́льшая часть труда — это сборник задач с решениями (в сохранившихся шести книгах их всего 189), умело подобранных для иллюстрации общих методов. Главная проблематика Арифметики — нахождение положительных рациональных решений неопределённых уравнений. Рациональные числа трактуются Диофантом так же, как и натуральные, что не типично для античных математиков.


ЗАДАЧА О ДИОФАНТЕ.

Александрийский ученый Диофант, живший в III веке нашей эры, внес в алгебру новое – своеобразные алгебраические уравнения.

Диофант много лет своей жизни

посвятил уравнениям и,

умерев, не расстался с ними.

На его гробнице сделана интересная надпись. Чтобы полностью понять ее смысл, надо решить математическую задачу. Попробуйте и вы сделать это. Тогда узнаете некоторые подробности жизни замечательного древнего математика.




diophantus.jpg

Диофа́нт Александри́йский (др.-греч. Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς; лат. Diophantus) — древнегреческий математик, живший предположительно в III веке н. э.




На родном языке

На языке алгебры

Путник! Здесь прах погребен Диофанта. И числа поведать могут, о чудо, сколь долог был век его жизни.

х

Часть шестую его представляло прекрасное детство.



Двенадцатая часть протекла еще жизни – покрылся пухом тогда подбородок.



Седьмую в бездетном браке провел Диофант.



Прошло пятилетие; он был осчастливлен рожденьем прекрасного первенца сына,

5

Коему рок половину лишь жизни прекрасной и светлой дал на земле по сравненью с отцом.



И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял, переживши года четыре с тех пор, как сына лишился.

х = + + 5 +

Скажи, сколько лет жизни достигнув, смерть воспринял Диофант?

Решив уравнение и найдя, что х = 84, узнаем следующие черты биографии Диофанта; он женился в 21 год, стал отцом на 38 году, потерял сына на 80 – м году и умер в 84 года.

Рассмотрим задачи:

Задача 2. В некотором царстве в общении ходили монеты достоинством в 12 к.



и 19 к. Солдат пришел в лавку купить одну коробку спичек стоимостью 1 к. Как он должен расплачиваться с торговцем? Смог бы он купить булку стоимостью 4 к., если бы в стране обращались монеты по 12 к. и 18 к.?

Если солдат отдаст торговцу х монет по 19 к. и у монет по 12 к., то уплаченная сумма будет равна 19х + 12у копеек, то есть 19х + 12у = 1.

Второй вопрос задачи приводит к уравнению 18х + 12у = 4.

Уравнения, в которых неизвестные величины выражаются целыми числами, называются диофантовыми( по имени математика Диофанта, жившего в III в.н.э). В своем научном труде «Арифметика», из которого до нас дошли только шесть книг, Диофант рассматривает разнообразные уравнения с целочисленными неизвестными и указывает способы их нахождения.

В теории чисел созданы специальные методы решения диофантовых( их еще называют неопределёнными) уравнений.

Примеры диофантовых уравнений: аx + by = с, x2- y2=d, ху – х + у = 1

3.Условия, при которых уравнение имеет решение
Имеют ли целочисленные решения уравнения:

а)12х + 18у = 30, б)25х – 15у = 2, в)1х + у = 1, г) х – 1 у = ?

Решение:

а) 12х + 18у = 30

НОД(12,18) = 6, 30 делится на 6, то есть уравнение имеет решение,

Например х = 1, у = 1

б) 25х – 15у = 2

НОД(25,15) = 5, 2 не делится на 5, то есть уравнение не имеет решение,

(25 и 15 кратны 5, а 2 не делится на 5)

в) 1х + у = 1

15х + 6у = 10

НОД(15,6) = 3, 10 не делится на 3, то есть уравнение не имеет решение,

(15 и 6 делятся на 3, а 10 не делится на 3)
г) х – 1 у = ?
12х – 28у = 20,

НОД(12,28) = 4, 20 делится на 4, то есть уравнение имеет решение

Например: х = 4, у = 1
Пусть a, b и c – целые числа.

Рассмотрим уравнение aх + уb = с, где неизвестные х и у целые числа.

Если х0 и у0 – целочисленное решение уравнения aх + bу = с, то aх0 + bу0 = с,

Если а и b делятся на НОД(a, b), то и с должно делиться на НОД(a, b).


Правило 1. Если с не делится на наибольший общий делитель (a, b),

то уравнение aх + bу = с, не имеет решений в целых числах.

4.1. Решение уравнений с применением алгоритма Евклида.
Рассмотрим уравнения, составленные к задаче 2:

В некотором царстве в общении ходили монеты достоинством в 12 к.

и 19 к. Солдат пришел в лавку купить одну коробку спичек стоимостью 1 к. Как он должен расплачиваться с торговцем? Смог бы он купить булку стоимостью 4 к., если бы в стране обращались монеты по 12 к. и 18 к.?

а) Рассмотрим уравнение 18х + 12у = 4.

Найдём НОД(18,12) = 6. Число 4 не делится на 6. Следовательно, данное уравнение не имеет решений в целых числах. Значит, солдату не удастся заплатить 4 к. монетами по 12 к. и 18 к.

б) Рассмотрим уравнение 19х + 12у = 1

Применим алгоритм Евклида:

19 = 12 ∙ 1 + 7,

12 = 7 ∙ 1 + 5,

7 = 5 ∙ 1 + 2,

5 = 2 ∙ 2 + 1,

2 = 1 ∙ 2 + 0,

получили НОД(19,12) = 1. На 1 делится любое число. Значит, уравнение имеет решение в целых числах.

1.Найдём одно из решений.

q – неполное частное, r – остаток





х1

у1







х2

у2




q

х1 – q ∙ х2

у1 - q ∙у2

r

1)Пусть х = 1, у = 0, 19 ∙ 1 + 12 ∙ 0 = 19, х = 0, у = 1, 19 ∙ 0 + 12 ∙ 1 = 12



q

x

y

r




1

0

19




0

1

12

2) 19 : 12 = 1(ост. 7), то q = 1, r = 7



q

x

y

r




1

0

19

1

0

1

12

3) x = 1 – 0 ∙ 1 = 1, y = 0 – 1 ∙ 1 = -1,



q

x

y

r




1

0

19

1

0

1

12




1

-1

7

4) 12 : 7 = 1(ост. 5), то q = 1, r = 5;

x = 0 – 1 ∙ 1 = - 1, y = 1 - ( -1) ∙ 1 = 2

q

x

y

r




1

0

19

1

0

1

12

1

1

-1

7




-1

2

5

5) 7 : 5 = 1(ост. 2), то q = 1, r = 2;

x = 1 – (-1) ∙ 1 = 2, y = -1 – 2 ∙ 1 = - 3

q

x

y

r




1

0

19

1

0

1

12

1

1

-1

7

1

-1

2

5




2

-3

2

6) 5 : 2 = 2(ост.1), 2 = 2 ∙ 1 + 0

x = -1 – 2 ∙ 2 = -5, y = 2 – (-3) ∙ 2 = 8.

Числа - 5 и 8 удовлетворяют уравнению 19х + 12у = 1.

Действительно, 19 ∙ (-5) + 12 ∙ 8 = -95 + 96 = 1

2. Найдём все решения уравнения:

19х + 12у = 1. у = ,

Тогда 1 – 19х кратно 12, то есть




1

1 – 19х = -12, то х 


12

1 – 19х = 12, то х 


2

1 – 19х = -24, то х 


13

1 – 19х = 24, то х 


3

1 – 19х = -36 , то х 


14

1 – 19х = 36 , то х 


4

1 – 19х = -48, то х 


15

1 – 19х = 48, то х 


5

1 – 19х = -60, то х 


16

1 – 19х = 60, то х 

6

1 – 19х = -72, то х 

17

1 – 19х = 72, то х 


7

1 – 19х = -84, то х 


18

1 – 19х = 84, то х 


8

1 – 19х = -96, то х 


19

1 – 19х = 96, то х  , то есть х = -5, а у = 8

9

1 – 19х = -108 то х 








10

1 – 19х = -120, то х 





11

1 – 19х = -132, то х  , то есть

х = 7, а у = -11








Предположение:

Целое значение х повторится через -12, а у повторится через 19.

Проверим:

При х = -17, у = 27, 19 ∙ (-17) + 12 ∙ 27= = -323 + 324 = 1 , верно




Вывод: все решения находятся по формулам: х = - 5 + 12 t, у = 8 – 19 t , t .


4.2. . Решение уравнений методом перебора

1) Решить уравнение в целых положительных числах

1) х22=105

Решение


(х-у)  (х+у)=105, 105=357

Т.к. хZ+, уZ +, х22>0, то х>у, тогда х-у<х+у



или или или ,

или или или ,

или или или

Ответ: (19; 16), (13; 8), (11; 4), (53; 52).

2).Найти пары целых чисел (х + 1)(у – 2) = 17

Решение


или или или

или или

Ответ: (16,3), (-18,1), (0,19), (-2,-15)

3) Найти целочисленные решения уравнения

ху – х + у2 – у = 5

Решение


ху – х + у2 – у =( ху – х) + (у2 – у) = х (у – 1) + у (у – 1) = (у – 1)(х + у).

(у – 1)(х + у) = 5



или или или
или или или
Ответ: (3,2),(-5,0), (-5,6),(3,-4)
4.3. Решение уравнений методом выделения целой части

Решить уравнение в целых числах

      1. х+у=ху

Решение:

х+у=ху; ху-х=у; х (у-1)=у

х =; == 1+

х=1+

х - целое, то целое.

целое, если у-1=1 или у-1=-1,то есть у=2 или у=0.

=2;

Ответ: (0;0), (2;2).



      1. 19х – 5у = 119

Решение:

у = = 3х – 23 +

4  - целое, если х – 1 кратно 5,

Х = 1, то у = - 20

Х = 6, то у = = -1 

Х = 11,то у = = 18

Х = 16, то у = = 37

 Х = 21, то у = = 56



Х принимает значение: 1,6,11,16,21,..,то есть увеличивается на 5

при этом у равно: -20,-1,18, 37, 56,.., то есть увеличивается на 19

Вывод:

х = 1 + 5  n, у = -20 + 19  n



Ответ: х = 1 + 5  n, у = -20 + 19 n, где n –целое число

4.4. Решение уравнений, с помощью нескольких методов
1) Решить в целых числах уравнение 7х+11у=13

Решение:

НОД(7;11)=1

11=71+4 4=11-71

7=41+3 3=7-41

4=31+1 1=4-3 1

3=13+0

1=4 - 31=4 - (7-41)1= 4 - 71+41= 42 -71=(11-71)2 - 71 = 112 - 72-71=



= 112-73

Т.е. 7(-3)+112=1 и одним из решений будет х=-3, у=2

Умножим на 13, получим:

7 (-39)+1126=13, т.е. одним из решений уравнения 7х+11у=13 является пара чисел (-39;26)



Х =

У=26, х ==== -39,

У=34 х == 

У = 27, х = = 

У = 35, х = = 

У = 28, х = = 

У = 36, х = = 

У = 29, х = = 

У = 37, х = = 

У = 30, х = = 

У=38 х == 

У = 31, х = = 

У=39 х == 

У = 32, х = = 

У=40 х == = -61

У=33 х == -50

У=47 х == = -72

Тогда целые решения уравнения имеют вид:

У=26+7t, Х=-39-11t, где tZ

Ответ: У=26+7t ,Х=-39-11t, где tZ



2)Решить в целых числах уравнение 11х-3у=14

1 способ:

НОД (11;3)=1



  1. 11=33+2 2 = 11 - 33

  2. 3=21+1 1 = 3 - 21

  3. 2=12+0

Вернёмся к равенству 3=21+1, откуда 1 = 3 - 21, из равенства 11=33+2 выразим 2, то есть 2 = 11 - 33

1=3-21=3-(11-33)1=3-111+33=34 - 111=11(-1)-3 (-4)

х = -1 у = -4 - решение уравнения 11х-3у = 1.

Умножим на 14 обе части равенства 11(-1)-3 (-4) = 1

на 14, получим: 11(-14)-3 (-56) = 14, тогда х = - 14 и у = - 56 является решением уравнения 11х-3у=14.
Найдем все решения уравнения: 11х-3у=14

У =




Х

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10




13

16

..

у

-1

8/3

19/3

10

41/3

52/3

21

74/3

85/3

32




43

54

..

х увеличивается на 3, то есть х = 1+3t,

у увеличивается на 11, то есть у=-1+11t, t 

Ответ: х = 1+3t, у=-1+11t, t .



Правило 2. Если коэффициенты a и b уравнения aх + bу = с взаимно простые, то все решения уравнения получаются по формулам:

х = х1 + b ∙ n и у = у1 - a ∙ n


2 способ: (графический) 11х-3у=14 у = х -

х = 1, то у = -1

х = +4, то у = 10

5.Решение задач ( прикладное применение )
1) Стороны прямоугольника выражаются целыми числами. Какой длины должны быть они, чтобы периметр прямоугольника численно равнялся его площади?

Решение


Обозначим стороны прямоугольника через х и у.

Получим уравнение: 2х + 2у = ху,

тогда х = .

Так как х и у должны быть положительными, то положительным должно быть и число у – 2, то есть у должно быть больше 2.

Преобразуем дробь: = = + = 2 +

То х = 2 + .

Так как х , то должно быть натуральным.

Тогда у – 2 = 1 или у – 2 = 2 или у – 2 = 4,

то есть у = 3 или у = 4 или у = 6, соотв. Значения х будут 6, 4,3

Итак, искомая фигура есть либо прямоугольник со сторонами 3 и 6, либо квадрат со стороной 4.

2) Каждым выстрелом по мишени спортсмен выбивал или 8, или 9 очков. Сделав более 10 выстрелов, он выбил 90 очков. Сколько раз спортсмен выбил 8 и 9 очков?

Решение


Пусть х выстрелов по 8 очков и у выстрелов по 9 очков.

Тогда х + у  10, 8х + 9у = 90

х = , 90 – 9у ≥ 8, у ≤ 82,

Так как х и у натуральные числа, то применим метод перебора

у = 8, то х = 1, 8 + 1  10

у = 7, то х  N, У = 6, то х  N, У = 5, то х  N, у = 4, то х  N, у = 3, то х  N

у = 2, то х = 9, 2 + 9  10,

у = 1, то х  N

Значит, 8 очков спортсмен выбил 9 раз и 9 очков выбил 2 раза.

Ответ: 9 раз 8 очков и 2 раза 9 очков.


6. Заключение
В процессе работы узнал, что Александрийский ученый Диофант, живший в III веке нашей эры, внес в алгебру новое – своеобразные алгебраические уравнения.

Изучив дополнительную литературу, подобрал задачи, при решении которых применяются различные методы решения неопределенных уравнений.

Научился решать уравнения графическим способом, с помощью выделения целой части и методом перебора.

Выяснил, как применяется алгоритм Евклида при решении уравнений и при определении, в каком случае уравнение не имеет решений.

Знание и умение решать уравнения методами перебора, с помощью выделения целой части, алгоритма Евклида и графическим способом позволяет решать прикладные математические задачи.

Работа имеет практическое применение. Ее могут использовать школьники при решении различных задач; учителя, как при проведении уроков по математике, так и на факультативных занятиях и на занятиях математического кружка. Решение неопределенных уравнений часто предлагают на олимпиаде.

В дальнейшем можно изучить способы решения неопределенных уравнений высших степеней;

7. Библиографический список:


  1. Башмакова И. Г. Диофант и диофантовы уравнения. М.: Наука, 1972. стр.68

  2. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. М.: Просвещение, 1999.стр. 63

  3. Никольская И.Л. Факультативный курс по математике 7-9. М.: Просвещение, 2001.стр. 41

  4. Перельман Я.И. Занимательная алгебра. Екатеринбург. «Тезис»1994. стр.32

  5. Виленкин Н.Я. Алгебра 8. М.: Просвещение, 2003.стр. 105

  6. Баврин И.И. Старинные задачи. М.: Просвещение, 1994.стр. 50

  7. Миракова Т.Н. Развивающие задачи на уроках математики в 5-8 классах. Львов. Квантор.1991, стр. 64

  8. Макарычев Ю.Н.Алгебра 7. М.: Просвещение, 2008.стр. 274

  9. Нагибин Ю.Ю.Математическая шкатулка. М.: Просвещение, 2001.стр. 98


8. Приложения
1) Уравнение решить в целых числах

а) 1!+2!+3!+…+х!=у2

Решение

1+12+123+1234+12345+…+х!=у2



1+2+6+24+120+…

Справа у2,то слева тоже квадрат числа, причём хN.

Квадрат числа х: 12=1,то 1!=1 1 = 1 верно, то х=1, у=1

22=4 1!+2!=1+2=3, 4 3

32=9 1!+2!+3!=1+2+6=9, 9 = 9 верно, то х=3, у=3

42=16 1!+2!+3!+4!=9+24, 14 ≠ 33

52=25 , но 1!+2!+3!+4!+5!>25

И т.д.


Ответ: х=1; у=1 или х=3, у=3

б) х!+у!=(х+у)!

Решение

Пусть х<у



Х! х!

123…х + 123…х(х + 1)(х + 2)…у =

Х!

123…х (х+1) (х+2)…(х+у).



х! (1 + ( (х + 1)  (х + 2)…у) = х! ((х+1)  (х+2)…(х+у))

Л.ч. на х+1 не делиться

Уравнение не имеет решений

П.ч. на х+1 делиться

Аналогично, когда х>у.

Пусть х=у, тогда 2х!=(2х)!

123…х!2 = 123…х!(х+1)…(2х-1) 2х

Делим на х!, получим: (х+1)…(2х-1) 2х=2, (х+1)…(2х-1)х=1 хZ, то х=1,у=1


2)Доказать, что уравнение х2 - 2ху = 1978 не имеет решений р целых числах.

Решение:


х2 - 2ху = 1978, х(х – 2у) = 2 23 43.

Тогда либо х = 2k – четное число, либо х – 2у = 2m. При х = 2k х – 2у = 2(k – у) – четное число, то есть х(х – 2у) = 4 k(k – у), что неверно, так как правая часть не делится на 4. Аналогично при х – 2у = 2m. Уравнение не имеет решений в целых числах.

3).Найти все способы уплаты 47р считая, что в обращении находятся только 5ти и 3х рублёвые монеты.

Пусть 5ти руб. монет х, а 3х руб. монет у

5х+3у=47

х≠0, т.к. 47 не делится на 3;

у≠0, т.к. 47 не делится на 5

Если х=1, то у ==14;

При увеличении х на 3 и одновременно уменьшении у на 5 получим решения: (4;9) (7;4)

Значит возможны 3 ситуации :

1 монета по 5 руб, и 14 монет по 3 руб;

4 монеты по 5 руб. и 9 монет по 3 руб;

7 монет по 5 руб и 4 монеты по 3 руб.

Если 5ти и 3х руб монеты есть не только у того, кто платит, но и у кассира, то х и у могут принимать и отрицательные значения (сдача)

Тогда получим: х=1+3t; у=14-5t где tZ/

4).У Тани было несколько 5ти копеечных монет. Она решила купить мороженое за 13 коп, а продавец мог дать сдачу лишь 3х копеечными монетами.



Сколько 5ти копеечных монет дала Таня продавцу, и сколько 3х копеечных монет получила сдачи?

Решение


Пусть у Тани было х - 5ти копеечных монет и она получила у - 3х копеечных монет.

Очевидно, что х>у

5х-3у=13

У=;

Т. к. уN, то у>0 и 5х-13>0, х>2,6.

Т. к. х>у, то < х; 5х-13>3х; то 2 х > 13, х > 6,5

То 2,6<х<6,5. А так как хN ,то рассмотрим х=3, х=4; х=5; х=6;

Если х=3, у ==N;

х=4, у == N;

х=5, у = ==4 N;

х=6, у ==N;

Ответ: было 5 монет по 5 коп. и 4 монеты по 3 копейки.

5) Кусок проволоки длиной 78 м надо разрезать на несколько частей длиной 12 см и несколько частей длиной 15 см, но так, чтобы отрезков не было. Как это сделать?

Решение.


Пусть х частей по 12 см и у частей по 15 см, тогда 12х +15у=78

У=; у=; = = + = (5-х) +,

У = (5-х) +, где х и у натуральные числа.

У>0, то >0, тогда 26-4х >0, х<6,5.



целое, если 1+х=5k, а так как хN и х<6,5, то х=5k-1, х=4. Тогда у = =2.

Значит надо 4 части по 12 см и 2 части по 15 см.

6). Сколькими способами из отрезков длиной 7см и 12см можно составить отрезок длиной 1м?

Решение


Пусть отрезков по 7см –х, а по 12см-у. Тогда 7х + 12у = 100, откуда х =

Будет натуральным только при у = 6.Имеем единственное решение у = 6 и х = 4.

Ответ: единственным способом.

7). В соревновании веселых и находчивых за каждое правильное выполненное задание начисляли 9 баллов, а за невыполненное или неверно выполненное снимали 5 баллов. Известно, что команде было предложено не больше 15 заданий и она набрала 57 баллов. Сколько заданий команда выполнила верно?

11) Некий чиновник купил лошадей и быков за 1770 талеров. За каждую лошадь он уплатил по 31 талеру, а за каждого быка – по 21 талеру.

Сколько лошадей и быков купил чиновник?

Решение


Пусть х – число лошадей, у – число быков, то 31х+21у=1770

У= ; у=84-х-

10х-6 делится на 21, то и 5х-3 делится на 21, тогда 5х-3=21z, х==4z+.

Следовательно, z+3 делится на 5, тогда z+3=5t, z=5t-3, тогда х=4(5t-3)+=20t-12+t=21t-12.

84 --=-=-2z== =

== 102-31t

Т.к. у>0, и уZ, то t1=1, t2=2, t3=3

Тогда


При t=1 у=102-31=71, х=21-12=9

При t=2 у=102-62=40, х=42-12=30

При t=3 у=102-93=9, х=63-12=51

Ответ: 9л и 71бык или 30л и 40 быков или 51л и 9бык.

8).Решить уравнение х-ху+5у=7 в целых числах.

Решение:


1 способ:

х-ху+5у=7 5у-ху=7-х У(5-х)=7-х У=== 1- У= -+1

1 способ:

целое, если х-5=2 или х-5= -2, или х-5=1 или х-5= -1

Тогда х=7 или х=3 или х=6 или х=4.



При х=7, у == 0;

При х=3, у == 2



При х=6, у = = -1

При х=4, у == 3


2 способ:

Строим график функции у = - +1.

1)На дополнительных осях координат строим график функции у = = - (гиперболу)



Х

-4

-2

-1

-1/2

1/2

1

2

4

у

1/2

1

2

4

-4

-2

-1

-1/2

2)Затем сдвигаем ось Оу на 5 ед. отрезков влево, а ось Ох на 1 ед. отрезок вниз.

По графику находим точки с целыми координатами, то есть (3,2),(4,3),(6,-1),(7,0)




Отдых неутомившихся утомителен. Лешек Кумор
ещё >>