Название работы	Кол-во страниц	Размер
Лекция 10 Вращение системы. Сохранение углового момента Моменты силы...	1	48kb.
Краснодар 2011 занятие №11. Раздел Физические основы механики.	1	78.86kb.
Лекция 13 Движения твердого тела	1	55.38kb.
Примерный перечень тем для проведения тестирования кандидатов, поступающих...	1	33.08kb.
Темы для изучения	1	49.91kb.
Программа по курсу теоретическая механика. 21 мая 2009 г. Скорость...	1	18.41kb.
Изучение закономерностей вращательного движения с помощью маятника...	1	64.47kb.
Изучение законов и определение характеристик вращательного движения...	1	59.31kb.
«Статика в пространстве»	1	45.66kb.
Закон относительного движения и скорости точки. Скорость точки в...	1	98.34kb.
Анатомия кориолисовой силы	1	26.84kb.
Лабораторная работа выполняется на компьютерной модели центрифуги.	1	113.74kb.
Направления изучения представлений о справедливости	1	202.17kb.

Динамика вращательного движения
Вопрос 8
Динамика вращательного движения твердого тела. Момент импульса. Момент силы. Момент инерции.
Ответ
Динамика вращательного движения твердого тела

Различают два основных вида вращательного движения твердого тела:

1. 
   Вращение вокруг неподвижной точки О, при котором все точки тела движутся по поверхностям концентрических сфер с центром в точке О;
   
2. 
   Вращение вокруг неподвижной оси ; здесь все точки тела вращаются по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, являющейся осью вращения .
   

При анализе вращательного движения твердого тела целесообразно перейти от линейных характеристик, удобных в описании поступательного движения, к специфическим характеристикам вращательного движения (и взаимодействия). В качестве кинематических характеристик таковыми являются угловые характеристики: путь , скорость = d/dt и ускорение = d/dt.

Динамические характеристики также пересматриваются, модифицируются при переходе к изучению вращательного движения. Векторные меры движения и взаимодействия, соответственно импульс Р и сила F заменяются во вращательном движении на момент импульса L и момент силы М, а мера инертности – масса m – на момент инерции J.

Момент импульса

В качестве векторной меры вращательного движения некоторой материальной точки m относительно неподвижной точки (полюса) О выбирается величина L, называемая моментом импульса и определяемая векторным произведением радиус-вектора r материальной точки на ее импульс р = m:

L_ι = [r_ι, р_ι]

Вектор L направлен согласно правилу правого винта или из конца вектора L поворот вектора r к вектору р виден совершающимся по кратчайшему расстоянию против часовой стрелки.

Соответственно в качестве момента импульса L твердого тела (или системы материальных точек) относительно неподвижной точки О выбирается векторная величина, равная геометрической сумме моментов импульсов L, составляющих систему (тело) точек: L = ΣL_i = Σ[r_i, p_i]

Момент силы

В качестве элементарной меры вращательного взаимодействия выбирается величина М, называемая моментом силы относительно точки и численно равная векторному произведению радиус-вектора r точки приложения силы на вектор силы F, то есть М = [r, F]. Вектор М направлен перпендикулярно плоскости векторов r и F по правилу правого винта (см рис):

Модуль вектора момента силы равен: М = Frsin = Fl, где - угол между векторами r и F, а l = rsin - плечо силы F, то есть длина перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия силы F.

Получим уравнение динамики вращательного движения твердого тела, которое еще называют уравнением моментов, и которое представляет собой закон изменения момента импульса твердого тела. Возьмем производную от момента импульса:

dL/dt = d/dt([r, р]) = d/dt[r, р] ={[dr/dt, р] + [r,dр/dt]} = [r, dр/dt], так как [dr/dt, р] = [, m] = 0.

Заменим, в соответствии со вторым законом Ньютона, dр/dt = F^внеш + F_k суммой внешних и внутренних сил, действующих на - ую точку тела:

dL/dt = [r, dр/dt] = [r, (F^внеш + F_k)] = [r, F^внеш] + [r, F_k] = М^внеш + М_внутр = М^внеш, где обозначено:
[r, F^внеш] = М^внеш - момент внешних сил и [r, F_k] = М_внутр = 0 – результирующий момент внутренних сил, действующих между разными точками самого твердого тела.

В момент внутренних сил входят попарно произведения [r, F_k] = М_k и [r_k, F_k] = М_k. Их сумма М_k + М_k = [(r - r_k), F_k] = 0, так как векторы (r - r_k) и F_k – коллинеарны.

Закон изменения момента импульса твердого тела (системы материальных точек) или уравнение моментов в итоге принимает вид: dL/dt=M^внеш – быстрота изменения момента импульса твердого тела относительно неподвижной точки равна результирующему моменту относительно той же точки всех внешних сил, действующих на тело.

Если тело вращается вокруг неподвижной оси , то, спроецировав полученное уравнение моментов на ось , получим: dL_z/dt = М_z^внеш - уравнение моментов для вращательного движения твердого тела вокруг (относительно) неподвижной оси.

Так как r = z + R, то: L = [r, m] = [z, m] + [R, m].

Вектор [z, m] оси Z, а вектор [R, m] параллелен оси Z. Поэтому проекция вектора L на ось Z будет равна: L = Rm = mR²_z = J_z, где J = mR² – момент инерции твердого тела относительно оси .

Итак L = J_z и dL/dt = М^внеш Jd_z/dt = М^внеш или Jε_z =M_z^внеш, где _z = d_z/dt - проекция вектора углового ускорения на ось .

Момент силы численно равен быстроте изменения момента импульса (мера воздействия измеряется мерой отклика).

Проекции М момента силы и L момента импульса на ось являются скалярными величинами, но алгебраическими, то есть имеющими знак. Условно им иногда приписывают векторный характер, например, в случае, когда сам вектор М направлен вдоль оси Z. При этом момент М силы относительно неподвижной оси полагается сонаправленным вектору углового ускорения , а момент импульса L_Z = J - сонаправлен вектору угловой скорости , то есть всегда направлен по оси вращения в сторону определяемую правилом правого винта.
Момент инерции

Основное уравнение М_z = Jε_z динамики вращательного движения твердого тела (системы материальных точек) относительно неподвижной оси по своей структуре идентично второму закону Ньютона F = mа. Аналогом массы m в нем выступает момент инерции J твердого тела. И так же, как масса, он выступает мерой инертности тела, но применительно к вращательному движению. Чем больше момент инерции J твердого тела, тем меньшее угловое ускорение оно приобретает под действием одного и того же момента М внешних сил, то есть тем медленнее изменяется его угловая скорость.

Момент инерции материальной точки J = mr² пропорционален квадрату расстояния r
от точки до оси вращения. С ростом массы m и при неизменном расстоянии r до оси вращения, та же сила F сообщает материальной точке меньшее линейное ускорение (по 2-му закону Ньютона), а соответственно и угловое ускорение = аr. С удалением точки от оси враще­ния возрастает момент М одной и той же силы F: М = Fr и уменьшается угловое ускорение = аr = Fmr, а момент инерции J = М/ = Fr(Fmr) = mr² возрастает квадратично расстоянию до оси вращения (радиусу окружности).

Момент инерции, как и масса тел, оказывается аддитивной характеристикой, то есть результирующий момент инерции твёрдого тела (системы матери­альных точек) равен сумме моментов инерции составляющих его частиц:

J = J_к = m_кr_к²

В случае непрерывного распределения точек /массы/ сумма в выражении для момента инерции заменяется интегралом:

J = r_к²dm = r²dV

Момент инерции тела зависит не только от его массы, но и от её распре­деления относительно оси вращения. Для некоторых симметричных и однород­ных тел момент инерции J_с относительно оси, проходящей через центр симметрии С (центр масс или центр инерции) выражается следующими формулами:

1. Колесо /обод/, полый цилиндр:

все точки таких тел равноудалены от оси вращения и вносят одина­ковый вклад в момент инерции тела: J_с = mR²

2. Диск, сплошной цилиндр:

здесь вклад в момент инерции тела дают точки, разно удалён­ные от оси симметрии (оси вра­щения): J_с = mR²2

3. Шар: J_с = 2mR²5

3. 
   Стержень: J_с = ml²12
   

При параллельном переносе оси вращения на расстояние а от центра

инерции момент инерции тела массой m возрастает на mа², т. е.

J = J_С + mа².В этом состоит суть теоремы Штейнера. Выведем эту теорему.

Дано твердое тело (система материальных точек).

Проведем две параллельные оси; одну через центр масс С тела и другую через точку О, отстоящую от центра масс на расстояние а. На рисунке оси перпендикулярны плоскости чертежа. Выделим в твердом теле некоторую элементарную массу m. Проведем в нее из точек С и О векторы R и r.



Из чертежа видно, что r = а + R. Возведем это равенство в квадрат: r² = а² + 2аr + R². Умножим его на m и просуммируем по всем элементарным массам (точкам) тела:

mr² = а²m + 2аmR + mR².

Первая сумма mr² в полученном равенстве представляет собой момент инерции J
тела относительно точки О, а последняя сумма mR² представляет собой момент инерции J_С тела относительно центра масс. Так как m равна массе m всего тела, то слагаемое
а²m = mа². И, наконец, вспоминая определение радиус-вектора центра масс:

R_С = (1/m)mR, видим, что сумма mR = mR_С представляет собой произведение массы тела на радиус-вектор R_С центра масс тела. Но так как здесь радиус-вектор R_С задается относительно самого центра масс, то он получается равным нулю. В итоге написанное выше равенство примет вид J = mа² + J_С, который и представляет собой теорему Штейнера.

Применим теорему Штейнера для нахождения момента инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец:

J = J_С + mа²; J_с = ml²12; а = l2; J = ml²12 + ml²4 = ml²3.

Центр инерции тела является такой его точкой,

относительно которой все другие его точки являются как бы наиболее приближенными, наименее инер­тными, обеспечивающими в итоге наименьший результирующий момент инерции всего тела. При удалении же оси вращения от центра инерции /центра масс/, вклад удаляемых от него точек в момент инерции тела растёт быстрее убыли момента инерции приближающихся к центру инерции точек. Это является сле­дствием квадратичного характера зависимости момента инерции материальной точки от расстояния до оси вращения: J r².

Вопрос 9
Закон сохранения момента импульса замкнутой системы. Кинетическая энергия вращательного движения.

Ответ
Закон сохранения момента импульса замкнутой системы

Для замкнутой системы, на которую не действуют внешние тела или дей­ствие их взаимно скомпенсировано, из уравнения моментов вытекает: для М = 0 (условие замкнутости тела для вращательного движения – результирующий момент внешних сил, действующих на тело, должен быть равен нулю) dL/dt = 0 => L = const. Это равенство и выражает собой закон сохране­ния момента импульса (ЗСМИ) замкнутой системы. Так же, как и рассмотренные ранее законы сохранения других мер движения - импульса и энергии, этот закон является отражением некоторого свойства симметрии пространства - времени, а именно - изотропии пространства,

т. е. равноправия всех направлений в нем. Этот закон, как и другие законы сохранения, является эффективным средством решения основной задачи механики - расчёта координат /положе­ний/ и скоростей тел. При вращательном движении системы тел внутренние взаимодействия могут перераспределять полный импульс системы между отдельными телами или их частями, не изменяя его суммарного значения.
Кинетическая энергия вращательного движения

Кинетическая энергия вращающейся материальной точки может быть запи­сана во "вращательных" характеристиках следующим образом:

Е_{к вр} = m²2 = m²r²2 = J²2; Е_{к вр} = Jω²/2. Полученное выражение является общим для кинетической энергии любого тела во вращательном движении. Работа же (момента силы) во вращательном движении представляет собой величину, равную изменению (приращению) кинетической энергии тела. Покажем, что она определяется скалярным произве­дением векторов момента силы и элементарного углового перемещения:

dА_вр = Мd = (dL/dt)d = dL = d(J) = d(J²2) = dЕ_{к вр}

Для конечного углового перемещения полная работа определится интегралом:
А₁₂ = Мd = d(J²2) = J₂²2 - J₁²2 = Е_{к вр}

Если движение тела является сложным, включающим в себя и поступательное, и вращательное движения, полная кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений: Е_к = Е_{к пост} + Е_{к вр} = m²2 + J²2 - теорема Кёнига (в теоретической механике): при произвольном движении твердого тела его кинетическая энергия равна сумме кинетической энергии поступательного движения со скоростью _с центра масс и кинетической энергии вращательного движения вокруг мгновенной оси, проходящей через центр масс.