Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела. Законы динамики. Ответ Динамика материальной точки - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Программа вступительных испытаний в магистратуру по общей и теоретической... 1 88.99kb.
Физические основы механики Кинематика. Введение. Радиус-вектор материальной... 6 1036kb.
Вопросы к экзамену по физике вечернее отделение 1 28.51kb.
Тема динамика поступательного движения в ходе изучения важно запомнить 1 125.27kb.
Динамика вращательного движения твердого тела. Момент импульса. 1 144.84kb.
Краснодар 2011 занятие №11. Раздел Физические основы механики. 1 78.86kb.
Динамика движения материальной точки 3 420.05kb.
Физические основы кассической механики, поступательное и вращательное... 1 36.32kb.
Тема кинематика поступательного движения в ходе изучения важно запомнить 1 57.11kb.
Программа вступительного испытания механика механическое движение... 1 92.73kb.
Программа вступительного испытания механика механическое движение... 1 90.77kb.
Закон кыргызской республики о защите прав потребителей в редакции... 4 631.22kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела. Законы динамики. - страница №1/1

Динамика
Вопрос 4
Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела. Законы динамики.
Ответ
Динамика материальной точки

Основная идея динамики устанавливает, выражает взаимосвязь между характе­ристиками движения и взаимодействия. До Ньютона в науке в течение 2000 лет господство­вала концепция Аристотеля, согласно которой движения тел подразделялись на естественные (лёгкие тела - вверх, тяжёлые - вниз, звёздные - по небосво­ду) и насильственные, происходящие под действием силы, т. е. воздействия извне, со стороны других тел. По Аристотелю, взаимодействие и его мера – сила, являются причиной движения; сила сообщает телам скорость, без силы нет движения. Эта концепция возводила в ранг принципа (основной идеи динамики) обыденные, чувственно-эмпирические наблюдения и представления людей.

Лишь к середине XVI-го века, во многом благода­ря предельно-идеализированным, мысленным опытам Галилея, была вскрыта по­верхностность, ограниченность, и даже неадекватность опыту позиции Ари­стотеля. Галилей изучал скатывание шаров с наклонной плоскости при разных углах её наклона и значениях коэффициента трения наклонной и горизонтальной поверхностей. В итоге он пришёл к выводу, что трение, являющееся как бы внутренним, скрытым от поверхностного взгляда воздействием (и не учитываемое Аристотелем), определяет не скорость, а ускорение (бы­строту потери скорости телом), и, что в отсутствие трения, тело будет продолжать катиться с неизменной скоростью. Поэтому, по Галилею, сила, причина не самого движения, а его изменения; сила сообщает телам не скорость, а ускорение. Это утверждение и составляет суть основной идеи механики.

Начатая Галилеем смена концепций, основных идей механики, теоретичес­ки была оформлена И. Ньютоном в 1688 г. в его труде "Математические нача­ла натуральной философии", в котором фактически была представлена первая фундаментальная физическая теория – классическая механика точки.


Законы динамики

В основу своей механики Ньютон положил три известных закона, носящих его имя. Первый закон Ньютона, в соответствии с выводами Галилея, утверждает, что свободно движущееся тело, т. е. тело, на которое не действуют другие тела (или действие их взаимно скомпенсировано), относительно некоторых систем отсчета движется с неиз­менной скоростью (иногда говорят - движется по инерции). Первый закон Ньютона выделяет определенный класс систем отсчета, называемых инерциальными, в которых движение свободного тела имеет наиболее простой вид (происходит равномерно и прямолинейно, в частном случае – покоится), и в которых только и верна механика Ньютона. Иногда его и формулируют в виде утверждения о сущест­вовании инерциальных систем отсчёта (ИСО). Если известна хотя бы одна ИСО, то все ИСО, движущиеся относительно неё с постоянной скоростью, также будут инерциальными.

Понятие ИСО является предельной идеализацией, подобной понятию материальной точки. Обычно в качестве ИСО выбирают систему отсчёта, связанную с Землёй - так называемую геоцентрическую систему отсчёта. Её инерциальность приближенная, нарушаемая суточным вращением Земли вокруг своей оси. Гораздо большей степенью инерциальности обладает гелиоцентрическая система отсчёта, связываемая с Солнцем. На практике же, для небольших пространственных и временных и интервалов с достаточной долей инерциальности обладает лабораторная система отсчета, связываемая с каким-либо конкретным телом на Земле.

Согласно принципу относительности Галилея, все ИСО являются равноправными в отображении механических явлений, то есть все законы механики во всех ИСО имеют одинаковый вид и никакими механическими опытами, проводимыми внутри ИСО, нельзя обнаружить движется она или покоится.

В ИСО все наблюдаемое ускорение тела объясняется воздействием на него со стороны конкретных, окружающих его тел. Это действие, как показывает ана­лиз опыта, зависит от взаимных положений, а иногда ещё и от скоростей дан­ного тела и воздействующих на него тел. В качестве меры этого воздейст­вия, вызывающего ускорения тел в ИСО, в механике
Ньютона выбирается величина, называемая силой F. Сила F является векторной функцией положения и скорости тела относи­тельно ИСО, то есть F = F(r, ), и она прямо пропорциональна сообщаемому ею ускорению а тела:

F(r, ) а или а F

Если на тело действует несколько сил, их можно заменить геометрической результирующей F = F - принцип суперпозиции сил (независимого наложения, сложения) сил.

Анализ опыта показывает, что одна и та же сила сообщает разным телам разные ускорения. Таким образом, ускорение, приобретаемое телом, зависит не только от внешних воздействий, мерой которых выступает сила, но и от внутрен­них свойств тела, мерой которых в механике Ньютона выбрана величина, названная массой m тела (под массой тела Ньютон понимал величину, пропорциональную его плотности и объему, то есть: m = V).

Очевидно, что более массивные тела, обладающие большей массой, должны приобретать меньшие ускорения при одинаковых воздействиях (силах).

В результате можно связать ускорение с силой и массой в следующем виде: а = FΣ / m и утверждать, что ускорение а, приобретаемое точечным телом в ИСО прямо пропорционально действующей на него (или, как ещё говорят - приложенной к нему) результирующей силе F и обратно пропорцио­нально массе m тела. Это утверждение и представляет собой основной закон динамики материальной точки (и поступательного движения твёрдого тела) - второй закон Ньютона.

По известным силам, действующим на тело и массе тела, второй закон Ньютона позволяет рассчитать ускорение тела. Зная начальные условия движения, по формулам кинематики далее можно однозначно рассчитать, предсказать скорость и уско­рение тела, то есть решить основную задачу механики. В механике Ньютона имеет место однозначная линейная взаимосвязь между мерами движения и взаимодействия, порождающая однозначную причинность и предсказуемость движения, называемую еще лапласовским или механистическим детерминизмом.

Такая динамическая характеристика тела, как его масса, выступает, согласно 2-му закону Ньютона, мерой его инертности, неподатливости к изме­нению скорости, к изменению состояния движения. Чем больше масса тела, тем меньшее ускорение оно приобретает при воздействии одной и той же силы, т. е. тем медленнее изменяется его скорость. Инертность и выража­ет собой невозможность мгновенного изменения скорости тела, растяну­тость этого изменения во времени, т. е. замедленность изменения скорости тела. Измерение массы как меры инертности тела может быть осуществлено путём измерения и сравнения, приобретаемых разными телами ускорений при воздействии на них одной и той же силы. Выбрав одно из тел за эталон массы, можно через его массу выразить массы других тел:

из F = mа = mэт аэт m = mэт аэт /а, где mэт и aэт - масса и ускорение тела, выбранного за эталон единицы массы. Единица массы - килограмм (кг) является основной в СИ.

Масса является аддитивной характеристикой тела, т. е. масса m совокупности тел, частиц равна сумме масс этих тел (частиц) по отдельности: m = m.

Сила, как векторная мера воздействия (или взаимодействия) тел, измеряется производи­мым ею эффектом, численно равным произведению массы тела на его ускорение: F = mа. Единица силы в СИ - ньютон - сила, сообщающая телу массой в 1 кг ускорение в 1 м/с2.

При решении конкретных задач динамики 2-ой закон Ньютона записывают обычно в скалярной форме, т. е. в виде проекций на оси координат соответствующей ИСО:
ах = Fхm mах = Fх

а = Fm ау = Fуm или mау = Fу

аz = Fzm mаz = Fz


При этом предполагается справедливость принципа суперпозиции (независимости действия и векторного характера сложения) сил, согласно которому результирующее ускорение от суммы сил, действующих на тело, равно векторной сумме ускорений, сообщаемых телу действующими на него силами по отдельности:

а = а = F m = (1m)F = F m

2-ой закон Ньютона позволяет рассчитать ускорение а тела массой m, если известен характер действующих на него сил, то есть их зависимость от координат и/или скорости. В зависимости от характера этой зависимости различают ряд следующих видов сил:



  • сила тяжести F = mg - направлена вертикально вниз и, так как она прямо пропорциональна массе тела, сообщает всем телам одинаковое ускорение g 9,8 м/с2 (ускорение свободного падения); масса m здесь уже не инертная, а тяжелая - мера силы тяжести.

  • сила гравитационного взаимодействия Fгр = γ m1 m2 / r2 - опре­деляет притяжение двух тел с массами m1 и m2, разделённых расстоя­нием r. Коэффициент = 6,6710-11 Нм2кг2 – называется гравитационной постоянной. Масса здесь также тяжелая, выступающая в роли гравитационного заряда (двоякий смысл массы - мера инертности и мера гравитации).

  • сила упругости Fу = - kх, где х – вектор линейной деформации упругого тела (вектор приращения длины относительно ее недеформированного, равновесного значе­ния), а k - коэффициент упругости или в применении к пружине - жёст­кость пружины.

  • сила вязкого сопротивления F = - r υ, где - скорость тела в вязкой среде, r - коэффициент сопротивления среды (обычно жидкой или газо­образной).

Кроме названных выше сил большое значение в решении задач механики имеют такие силы, как вес тела и сила трения, которые не имеют явного выражения через коорди­наты или скорости:

  • весом тела Р называют силу, с которой тело действует на подвес или опору;

  • силой трения скольжения Fтр называют силу, прямо пропорциональную силе Fнд нормального давления, т. е. составляющей веса тела, нормальной к поверхности опоры: Fтр = Fнд, где - коэффициент трения скольжения тела о поверхность. Сила трения скольжения направлена против перемещения тела и является составляющей силы реакции опоры.

Исторически исходной (ньютоновской) формулировкой 2 - го закона Ньютона была следующая: F = dР/dt, где Р = m - импульс тела, являющийся векторной динамической мерой (иногда говорят - количеством) механического движения. Эта форма записи второго закона Ньютона является более общей, сводящейся к известной ранее F = mа при условии независимости массы m тела от скорости его движения. Покажем это:

F = dРdt = d(m)/dt = md/dt = mа.

В ньютоновской формулировке основного закона динамики сила приобретает более наглядный смысл, a именно – быстроты изменения импульса тела, то есть быстроты изменения количества механического движения материальной точки. Полученная форма второго закона Ньютона F = dРdt позволяет для взаимодействий с постоянной по времени силой (или для кратковременных воздействий, типа удара, за малое время t 0 которых сила не успевает заметно измениться, то есть остаётся практи­чески постоянной), записать его в следующем виде: Fdt = dР Ft = ∆Р, где изменение импульса


тела Р = Р2Р1 при уда­ре оказывается равным импульсу Ft силы за время t её дейст­вия.

В общем случае изменение импульса Р тела за время t определится импульсом силы, выражаемым через интеграл: Р = Fdt. Импульс силы представляет собой интегральную по времени векторную меру взаимодействия тел.

Третий закон Ньютона утверждает, что силовые действия тел всегда носят харак­тер взаимодействия; при этом силы, с которыми в ИСО действуют друг на друга два точечные тела, равны по величине и противоположно направлены вдоль прямой, соединяющей эти тела:

F12 = - F21, где

F12 - сила, действующая на первое тело со стороны второго тела;
F21 - сила, действующая на второе тело со стороны первого тела. Этот закон вместе с первыми двумя законами Ньютона, позволяет осуществить переход от динамики точки к динамике системы точек.

Вопрос 5
Внешние и внутренние силы. Центр масс механической системы. Закон сохранения импульса замкнутой системы материальных точек.


Ответ
Центр масс (центр инерции) механической системы

При поступательном движении системы материальных точек /твёрдого тела/ все точки системы движутся с одинаковыми мгновенными линейными скоростями и ускорениями,


и движение всей системы /тела/ эквивалентно движению любой её точки. Обычно в качестве точки, моделирующей движе­ние всей системы /тела/, выбирается точка С, называемая центром масс /или центром инерции/ системы. Она задаётся радиусом - вектором rС, определяемым
через радиус - векторы r материальных точек системы, об­ладающих массами m, следующим выражением: rС = Σmi ri / М , где М = mi - полная масса системы из точек. Скорость с движения центра масс равна:

C = drС/dt = d/dt(midri/М) = mМ = РС М,

где РС = mii - полный импульс системы.

Закон изменения скорости центра масс системы (или уравнение движения центра масс) - естественное обобщение основ­ного уравнения динамики точки на систему частиц, твёрдое тело: ас = dс/dt = (1М)dРС/dt = F внешМ – центр масс механической системы движется как материа­льная точка, масса которой равна массе М системы, под действием результирующей F внеш внешних сил, приложенных к системе. Эта теорема о движении центра масс показывает, что при поступательном движении твердого тела можно не учитывать его размеры и форму, ибо все его точки движутся идентично, как одна.

Если результирующая внешних сил равна нулю: F внеш = 0, то центр масс системы точек (твердого тела) движется с постоянной скоростью, сохраняя состояние своего движения, в частном случае – покоя. Внутренние взаимодействия не меняют положения центра масс; это утверждение часто используется при решении задач механики замкнутой системы тел.


Закон сохранения импульса замкнутой системы материальных точек

Рассмотрим простейшую замкнутую систему из двух материальных точек. Исходя из смысла силы как быстроты изменения импульса, третий закон Ньютона можно записать в виде: dР1dt = - dР2dt dР1 = - dР2 d(Р1 + Р2) = 0 Р1 + Р2 = const

Полученное равенство выражает собой закон сохранения импульса (ЗСИ) замкнутой системы из двух материальных точек, т. е. точек, взаимодействующих лишь между собой. Общий (суммарный, результирующий) импульс двух тел остается при их движении постоянным, и может при их движении лишь перераспределяться между ними.

ЗСИ вскрывает характер и механизм механического взаимодействия как обмен движением между взаимодействующими телами. Движение может лишь передаваться от одних тел к другим, так что общее его количество в замкнутой системе тел остается неизменным, то есть сохраняется.

Этот закон является проявлением и конкретизацией общефилософского материалистиче­ского положения о несотворимости и неуничтожимости материи и её атрибутов, в данном случае - механического движения, количественной мерой которого и выступает импульс. Закон сохранения импульса тесно связан со свойством симметрии пространства, а именно - с его однородностью (равноправием всех его точек, положений).

Полученный выше для двух точек закон сохранения импульса легко обобщается на замк­нутую систему из произвольного числа материальных точек, и его можно сформулировать так: при любом движении замкнутой системы материальных точек полный её импульс остаётся неизменным: ΣРi = const; внутри системы воз­можны лишь перераспределения импульса между отдельными точками.

Рассмотрим систему из n материальных точек. Запишем второй закон Ньютона для - ой точки: dРdt = F. Результирующую силу F, действующую на - ую точку системы представим в виде суммы внешних и внутренних сил: F = F внеш + Fk , где Fk – внутренне сила, дейст­вующая на - ую точку системы со стороны ее k – ой точки. Полученное равенство dРdt = F внеш + Fk, выражающее второй закон Ньютона для - ой точки системы, просуммируем по всем ее n точкам: dРdt = F внеш + Fk. По третьему закону Ньютона силы воздействия - ой и k – ой точек друг на друга равны по величине и противоположны по направлению, то есть Fk = - Fk. Поэтому при суммировании внутренних сил по всем точкам системы они взаимно скомпенсируют друга, так что Fk = 0. Тогда второй закон Ньютона для системы материальных точек запишется в виде: dРdt = ddtР = dРdt = F внеш = F внеш. Или окончательно dPΣ/dt = FΣвнеш..

Если система замкнута, то есть результирующая действующих на нее внешних сил равна нулю: F внеш = 0, то dРdt = 0, откуда следует РΣ = ΣРi = const – закон сохранения импульса замкнутой системы материальных точек.

Сохране­ние импульса - величины векторной - означает сохранение и любой его состав­ляющей, проекции на любую ось, любое направление в пространстве. В конкретных задачах динамики векторный закон сохранения импульса за­писывают в скалярной форме, проецируя его на соответствующие направления.

Закон сохранения импульса является эффективным средством, методом реше­ния основ­ной задачи механики (ОЗМ), т. к. он выражает собой взаимосвязь мер (коли­честв) движения взаимодействующих тел. Особенно плодотворным его применение оказывается для кратковре­менных взаимодействий типа удара, взрыва-разрыва, выброса тел, где труд­но задать характер сил, то есть использовать под­ход к решению ОЗМ с непосредственным использованием законов Ньютона. Зная, например, импульсы Р1 и Р2 двух тел до удара и импульс Р одного из тел после удара, можно, пользуясь законом сохранения импульса, рассчитать импульс другого тела после удара.

Вопрос 6
Работа и мощность силы. Кинетическая энергия. Потенциальная энергия. Закон сохранения механической энергии консервативной системы.
Ответ
Работа и мощность силы

Наряду со специфически механическим, импульсно - силовым, векторным подходом к решению основной задачи механики, в физике широко используется и более общий (общефизический) скалярно - энергетический под­ход. В нём в качестве динамической меры движения


выступает более уни­версальная, но и менее специфицированная в сравнении с импульсом величина, не имеющая уже векторного характера, называемая кинетической энергией Ек.

Если элементарное изменение импульса dР точечного (твердого) тела определялось действием силы F на вре­менном интервале dt, а именно - импульсом силы Fdt, то элементарное


изменение кине­тической энергии dEк определяется действием силы на пространственном
интервале dr, называемом работой силы dА = Fdr. Покажем это на уровне конечной работы:

А12 = Fdr = (dРdt)dr = d(m) = d(m22) = m222 – m122 = Ек,

где Ек = m22 – кинетическая энергия тела - универсальная динамическая мера движения тела.

Работа А12 силы представляет собой интегральную по перемещению скалярную меру воздействия на тело, равную приращению Ек = Ек2 - Ек1 его кинетичес­кой энергии (на этом перемещении). Кинетическая энергия, как и работа, измеряется в джоулях: 1 Дж = 1 Нм.

Работа силы - величина скалярная, но алгебраическая, т. е. имеющая знак. Если она ускоряет тело, увеличивает его кинетическую энергию - она положительна. Если же она тормозит тело, то её значение будет отри­цательным; такова работы сил трения, сопротивления. Если при действии силы на тело, его скорость не изменяется по модулю, работа си­лы равна нулю.

Элементарная работа силы dA = Fdr = Fdrcos (F dr) = FdrF зависит от угла между силой F и перемещением dr тела. Сила, перпендикулярная перемещению dr (и скорости = dr/dt) тела, работы не совершает, она изменяет лишь направление скорости, сообщая телу вращательное движение.

Постоянная сила F, действующая под углом к перемещению тела и его скорости, на прямолинейном пути s совершает работу равную: А = Fscos .
Кинетическая энергия

Кинетическая энергия является однозначной функцией состояния механичес­кого движения, функцией скорости тела. Работа же является функцией процесса, зависящей от формы траектории, перемещения между начальной и конечной его точками. Работа пропорциональна площади фигуры между кривой F(х) и осью х – (Рис. 8).


Рис. 8 Представлена зависимость F от Х

Быстрота совершения работы (быстрота изменения кинетической энергии) называется мощностью силы и она равна:

= dЕк/dt = dА/dt = Fdrdt = F = Fcos (F^dr). [Нм/с = Джс = Вт].

Мгновенная мощность численно равна работе, совершаемой за единицу времени при равномерном совершении работы. Средняя же мощность численно равна отношению работы А ко времени t ее совершения, то есть: = Аt А = t.

Имеет место аналогия: силы - как быстроты изменения импульса тела F = dРdt и мощности = dЕк/dt, как быстроты изменения кинетической энергии. Импульс Р и кинетическая энергия Ек, являющиеся соответственно векторной и скалярной динамическими мерами движения, также просто взаимосвязаны:



Р = m; Ек = m2/2 = m22/2m = Р2/2m. Итак, Еk = Р2/2m и Р = √2mЕk.
Потенциальная энергия

Скалярно энергетический подход в механике особенно плодотворным оказывается в случае так называемых консервативных взаимодействий, в которых работа стационарных сил не зависит от формы траектории, а определяется лишь начальным и конечным положениями тела.

Консервативными являются силы гравитационного взаимодействия, силы упругости, но не силы трения и сопротивления. Для консервативных сил можно ввести такую энергетическую характеристику, как потенциальная эне­ргия, которая является однозначной функцией координат (положения) и которая вместе с кинетической энергией - функцией скоростей, образует полную механичес­кую энергию тела (системы).

В отличие от кинетической энергии Ек = m22, являющейся однозначной, единообразно выражаемой функцией скоростей и, по смыслу – скалярной динамической мерой движе­ния, потенциальная энергия Еп - является скалярной мерой консервативных взаимодействий и не имеет единообразного выражения через координаты (положение) тела. Получим её выражение для некоторых видов сил, рассчитав для них работу силы и, показав, что она является однозначной функцией положения, не зависит от формы траектории и равна нулю для замкнутой траектории (Рис. 9)


Рис. 9 (а)

1) Сила тяжести:

А12 = Fdr = - mgdу = mgh1 - mgh2 = Еп1 - Еп2 = - Еп

Еп = mgh + const

Рис. 9 (б)
2) Сила упругости:
А12 = Fdr = -kхdх = kх122 - kх222 = Еп1 - Еп2 = - Еп, где Еп = kх2/ 2 + const

Из приводимых выше формул видно, что, измеряя работу потенциальных сил, можно найти только разность потенциальных энергий, то есть сама потенциальная энергия определяется неоднозначно, а именно с точностью до константы.

Работа консервативных сил совершается за счет убыли потенциальной энергии (энергии взаимодействия) и идёт на приращение кинетической энергии тела (энергии движения):

А12 = Ек = - Еп или Ек2 - Ек1 = Еп1 - Еп2 Ек1 + Еп1= Ек2 + Еп2

Имеем симметричную форму выражения основной идеи механики – взаимосвязи мер движения и взаимодействия на скалярном, энергетическом уровне.
Закон сохранения механической энергии консервативной системы
Полная механическая энергия тела, т. е. сумма кинетической и потенциальной энергий, остается при его движении под действием консервативных сил неизменной, т. е. сохраняется. Она может лишь переходить в эквивалентных количествах из одного вида (энергии движения) в другой (энергию взаимо­действия) и наоборот. Это утверждение и представляет собой суть закона сохранения энергии замкнутой консервативной механической системы (ЗСМЭ), являющегося, как и закон сохранения импульса замкнутой системы, проявлением и конкре­тизацией философско-материалистического положения о несотворимости и неуничтожимости материи и её атрибутов (движения и взаимодействия) и тесной взаимосвязи между ними.

Меры движения и взаимодействия могут изменяться лишь взаимосопряжённо. Взаимодействие вызывает изменение состояния движения тела и, по сути, представляет собой передачу и обмен движением. Энергетический подход, в отличие от силового подхода, симметричен. В нем воздействие и движение – одинаково размерны.

Энергия вообще, как универсальная мера движения и взаимодействия тел, оказывается тесно связанной со свойством симметрии времени. Её сохране­ние может быть представлено как следствие такого свойства времени, как его однородность - эквивалентность разных моментов времени (временных точек). Напомним, что рассмотренный ранее закон сохранения такой век­торной меры движения, как импульс, является следствием однородности пространства - эквивалентности его точек. Такая эквивалентность предпо­лагает, что в первом случае законы физики должны быть неизменными в разные моменты времени, а во втором - в разных местах пространства.

Связывая кинетическую и потенциальную энергии, являющиеся функциями координат и скоростей, закон сохранения механической энергии является эффективным методом решения основной задачи механики, т. е. расчета характеристик (положения и скорости) движущегося тела в любой момент времени по известному начальному состоянию движения и характеру консервативных взаимодействий.

Вопрос 7
Удар абсолютно упругих и неупругих тел.
Ответ
Удар абсолютно упругих и неупругих тел

Если на твердое (недеформируемое) тело действуют и консервативные, и неконсервативные силы, например, силы трения, сопротивления, то полная их работа А12 + А12 идет на приращение Ек кинетической энергии тела:

Ек = Ек2 - Ек1 = А12 + А12 = Еп1 - Еп2 + А12 Ек2 + Еп2 - Ек1 - Еп1 = А12 или ∆Е = Е2 – Е1 = А12*.

Изменение кинетической энергии тела в условиях смешанных взаимодействий (консервативных и неконсервативных) осуществляется за счёт убыли его потенциальной энергии и за счёт работы неконсервативных сил. Изменение же полной механической энергии Е равно работе А12 неконсервативных сил, переводящих механическую энергию в иные, немеханические виды энергии, обычно во внутреннюю энергию, которую в механике называют тепловой или просто теплотой Q: ∆Е = А12*= Q. Об этом процессе говорят как о диссипации (рассеянии) механической энергии.

Законы сохранения двух мер движения - импульса и энергии - позволяют решать основную задачу механики в ситуациях, когда неизвестен характер сил, а часто и облегчить ее решение при известном характере сил, действующих на тело.

Рассмотрим для примера упругое соударение двух свободных тел с массами m1 и m2, обладающих до удара скоростями 1 и 2. По определению, при упругом ударе сохраняются как полный импульс замкну­той системы, так и её механическая энергия; при неупругом ударе


сохра­няется лишь импульс. При абсолютно неупругом ударе тела слипаются, т. е. имеют после удара одинаковую скорость. Запишем законы сохранения импульса и энергии (кинетической) для свободного тела при лобовом (центральном) столкновении:

m11 + m22 = m1u1 +m2u2 m1(1 - u1) = m2(2u2)



m1122 + m2222 = m1u122 + m2u222 m1(12 - u12) = m2(22 – u22)
Поделив второе уравнение на первое, получим:

1 + u1 = 2 + u2 u2 = 1 + u1 - 2

Подставляя выражение для u2 в первое уравнение, выразим скорость u1 первого тела после соударения:m11 + m22 = m1u1 +m21 +m2u1 - m2u2 u1 = [(m1 – m21 + 2m2υ2] / (m1 + m2). Скорость u2 второго тела, соответственно, равна: u2 = 1 + u1 - 2 = (m11 + m21 - m12 - m11 + m11 - m21 + 2m22)(m1 + m2) = [2m1υ1 + (m2 – m12] / (m1 + m2)




Суждения наших врагов о нас ближе к истине, чем наши собственные. Франсуа Ларошфуко
ещё >>