2 Численные алгоритмы решения задач управления для моделей тепломассопереноса 9 Алгоритм решения обратных задач для линейных моделей - davaiknam.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Интегрированный урок химии-математики на тему "Использование математических... 1 62.48kb.
Излагается система экономико-математических методов и моделей для... 1 49.68kb.
Излагается система экономико-математических методов и моделей для... 1 56.54kb.
Зачем знать триз 3 стр++ 1 30.91kb.
Технология решения задач линейной оптимизации 1 321.68kb.
Решение стандартных, обыденных и простых задач. Он нужен также для... 3 499.38kb.
Теория фигуры земли 4 261.18kb.
Задач линейного, целочисленного и нелинейного программирования 1 70.27kb.
Iv. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. 1 78.09kb.
Рабочая программа дисциплины Теория оптимальных процессов Направление... 1 36.81kb.
Инструментальные средства для решения задач криминалистики 1 32.69kb.
Сергей Михайлович Никольский 1 22.16kb.
Направления изучения представлений о справедливости 1 202.17kb.

2 Численные алгоритмы решения задач управления для моделей тепломассопереноса 9 Алгоритм - страница №1/1

СОДЕРЖАНИЕ


Введение 2

Численные алгоритмы решения задач управления для моделей тепломассопереноса 9

Алгоритм решения обратных задач для линейных моделей тепломассопереноса 9

Численное решение задач управления для уравнений тепловой конвекции 26

Численные алгоритмы для нестационарных течений газа в пористых объектах 30

Заключение 32

Список используемых источников 34


Введение

В последние годы усиленно развивается математическая теория управления гидродинамическими, электромагнитными, акустическими и другими физическими полями в жидких средах. Одной из целей теории является установление наиболее эффективных механизмов управления физическими полями в сплошных средах. Математическое описание такого типа проблем включает три компоненты: цель, функциональные параметры – управления, используемые для достижения желаемой цели, и ограничения, которым должны удовлетворять состояние и управления рассматриваемой системы. Роль ограничений обычно играют дифференциальные уравнения рассматриваемой модели сплошной среды: гидродинамики, магнитной гидродинамики, электромагнетизма, акустики и др. вместе с краевыми и начальными условиями, тогда как желаемая цель достигается путем минимизации определенного функционала качества. Наряду с задачами оптимального управления, важную роль в приложениях играют обратные задачи для рассматриваемых моделей. Они заключаются в восстановлении неизвестных плотностей граничных или распределенных источников либо коэффициентов, входящих в дифференциальные уравнения или граничные условия рассматриваемой модели, по дополнительной информации о решении рассматриваемой краевой задачи. Интерес к обратным задачам вызывается тем обстоятельством, что дифференциальные уравнения рассматриваемых моделей, а также используемые начально-краевые условия содержат ряд параметров, в том числе и функциональных, некоторые из которых могут быть неизвестны, и их требуется определить вместе с решением. Важно отметить, что для исследования обратных задач можно применить тот же подход, что и для исследования задач управления. Он заключается во введении функционала качества, адекватно отвечающего рассматриваемой обратной задаче, и сведении исходной обратной задачи к задаче минимизации указанного функционала качества. На данную задачу минимизации обычно ссылаются как на обратную экстремальную задачу, причем ее называют многопараметрической, если она содержит два или несколько управляющих параметров, и коэффициентной, если хотя бы одно из управлений входит коэффициентом при неизвестном решении в одно из дифференциальных уравнений модели, либо в граничное условие 3-го рода.

К необходимости решения обратных экстремальных задач приводит исследование с помощью методов математического моделирования большого количества различных процессов, происходящих в природных средах и техногенных объектах. Отметим среди них процессы распространения загрязняющих веществ или тепла в случае, когда недоступна информация об источниках масс или тепла, задачи создания оптимальных режимов течений жидкости в каналах, задачи уменьшения силы сопротивления тел при обтекании их потоками вязких жидкостей, задачи минимизации конвекции в установках по выращиванию кристаллов, используемых в микроэлектронной индустрии, задачи оптимального охлаждения ядерных ректоров жидкими металлами в ядерной индустрии, задачи бесконтактного электромагнитного размешивания расплавленных металлов в металлургии и многие другие.

Поясним идею применения указанного метода на примере классической задачи обтекания цилиндра в плоском канале потоком вязкой жидкости. Хорошо известно из гидродинамики, что при определенных режимах обтекания за цилиндром образуются вихри. Появление вихрей приводит к увеличению силы сопротивления, действующей со стороны вязкой жидкости на обтекаемое тело, по сравнению со случаем безотрывного обтекания. Однако, если внутри цилиндра поместить источник тепла, то, как показали проведенные исполнителями вычислительные эксперименты, можно выбрать такой режим нагревания или охлаждения стенок цилиндра и близлежащих стенок канала, который обеспечивает безотрывное обтекание тела. Это, в свою очередь, приводит к значительному уменьшению силы сопротивления по сравнению с неуправляемым случаем. Для обеспечения указанного режима нужно сформулировать задачу управления для классической модели тепловой конвекции, в которой в качестве управления следует выбрать поток тепла через стенки тела и канала, а в качестве функционала качества выбрать силу сопротивления, действующую со стороны вязкой жидкости на тело, и найти ее решение. В результате будет получен такой режим нагревания стенок, при котором происходит безотрывное обтекание цилиндра с минимальной силой сопротивления. Аналогичный подход можно использовать и для уменьшения силы сопротивления других тел, причем как в двумерных, так и в трехмерных каналах. Более того, в качестве управляющих параметров можно выбирать не только потоки тепла через стенку канала, но и режимы инжекции жидкости либо внешнее приложенное магнитное поле в случае, когда жидкость является электропроводной, либо все перечисленные управления. После выбора нужных управлений следует сформулировать обратную экстремальную задачу для соответствующей модели (тепловой конвекции, тепломассопереноса, магнитной гидродинамики) и далее провести ее теоретическое и численное исследование. Решение указанной задачи представляет одну из научных проблем, исследованию которой будет посвящена часть настоящего проекта.

Типичная экстремальная задача для любой из рассматриваемых гидродинамических моделей состоит в нахождении одного или нескольких функциональных параметров, входящих в исходную краевую задачу для рассматриваемой модели, а также решения данной краевой задачи, исходя из условия минимума определенного функционала качества. При исследовании обратных экстремальных задач в качестве функционала качества обычно выбирается средне-квадратичное интегральное отклонение исходного поля скоростей (либо завихренности, либо давления, либо температуры или концентрации вещества) от заданного либо измеренного поля в некоторой подобласти рассматриваемой области течения.

Разработаны эффективные численные алгоритмы решения конкретных обратных экстремальных задач и на основе проведенных вычислительных экспериментов выявлены наиболее эффективные механизмы управления термогидродинамическими полями в жидких средах.

Некоторые из полученных результатов представлены в статьях

1) Алексеев Г.В., Бризицкий Р.В., Романов Г.В. Оценки устойчивости решений задач граничного управления для уравнений Максвелла при смешанных граничных условиях // Доклады Академии наук. 2012. Т. 447, N 1.

2) Алексеев Г.В., Вахитов И.С., Соболева О.В. Оценки устойчивости в задачах идентификации для уравнений конвекции-диффузии-реакции // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2012. Т. 52, № 12.

3) Беляков Н.С., Луценко Н.А., Минаев С.С., Теплицкий Ю.С. Исследование учета сжимаемости твердой фазы при течении газа через пористые среды // Инженерно-физический журнал. 2012. Т. 85. № 6.


На Международной конференции «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященной 80-летию со дня рождения академика М.М. Лаврентьева, (г. Новосибирск, 5-12 августа 2012 г.) представлены доклады

1) Бризицкий Р.В. Обратные задачи для уравнений Максвелла в гармоническом режиме;

2) Вахитов И.С. Оценки устойчивости в задаче идентификации старшего коэффициента уравнения конвекции-дифузии- реакции;

3) Соболева О.В. Теоретическое исследование коэффициентных экстремальных задач для стационарного уравнения конвекции-дифузии- реакции;

4) Алексеев Г.В., Терешко Д.А. Численный анализ обратных задач для уравнений тепловой конвекции.
На Четвертой международной молодежной научной школе-конференции «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач» (г. Новосибирск, 5-15 августа 2012 г.) представлены доклады

1) Бризицкий Р.В. О свойствах решений экстремальных задач для уравнений Максвелла;

2) Соболева О.В. Численное исследование коэффициентных экстремальных задач для стационарной линейной модели переноса вещества.
На XXXVI Дальневосточной Математической Школе-Семинаре имени академика Е.В. Золотова (г. Владивосток, 4-10 сентября 2012 г) представлены доклады

1) Бризицкий Р.В. Краевые и экстремальные задачи для стационарных уравнений МГД со смешанными граничными условиями;

2) Вахитов И.С. Численное решение задачи идентификации для линейной модели массопереноса;

3) Соболева О.В. Численный анализ двухпараметрической обратной экстремальной задачи для уравнения конвекции-диффузии-реакции;

4) Терешко Д.А. Численное моделирование процесса управления нестационарными течениями вязкой теплопроводной жидкости.
На Международной конференции Ninth International Conference on Flow Dynamics (Sendai, Japan, September 19-21, 2012) представлены доклады

1) Alekseev G.V., Tereshko D.A. Multiparametric control problems for Boussinesq equations;

2) Brizitskii R.V. Control problems for stationary Navier-Stokes and MHD equations;

3) Soboleva O.V., Vakhitov I.S. The numerical analysis of inverse problems for mass transfer model.


На IV Международной конференции «Современные проблемы регионального развития» (Биробиджан, 9-12 октября 2012 г.) представлен доклад

Соболева О.В. Численное исследование обратных экстремальных задач для модели переноса вещества в ограниченной области.


На Международной конференции Third International Conference on Applied Mechanics and Mechanical Engineering (Macau, November 14-15, 2012) представлен доклад

Brizitskii R.V., Tereshko D.A. Control problems for the models of thermally and electrically conductive viscous fluid.




Численные алгоритмы решения задач управления для моделей тепломассопереноса




Алгоритм решения обратных задач для линейных моделей тепломассопереноса


В настоящее время проблема охраны и восстановления окружающей среды становится одной из основных задач прикладной науки. Важной частью указанной задачи является борьба с антропогенным загрязнением морских и пресных водоемов [1-7]. Поступления загрязняющих веществ в водную среду избежать невозможно, но разумное использование природных ресурсов и постоянный контроль качества воды позволят обеспечить безопасный уровень воздействия на водную среду и избежать глобальных негативных последствий.

Применение метода математического моделирования для изучения процесса распространения загрязнений приводит к необходимости построения и исследования математических моделей, описывающих распространение загрязнений в изучаемой области. Указанные модели содержат ряд параметров, значения которых должны быть заданы для однозначного нахождения решения краевых задач. Но в практических задачах часто возникают ситуации, когда некоторые из параметров не известны либо заданы приближенно и их требуется найти вместе с решением. Такие задачи относятся к классу обратных задач идентификации неизвестных плотностей источников и коэффициентов, входящих в используемые модели распространения загрязнений.

Исследование коэффициентных обратных экстремальных задач для линейного уравнения конвекции-диффузии-реакции вызывает большие трудности, поскольку по своим постановкам они относятся к нелинейным и, как правило, к некорректным задачам математической физики. Это обстоятельство существенно осложняет проблему построения вычислительных алгоритмов для приближенного решения коэффициентных задач и затрудняет полное и строгое обоснование их сходимости.

На первом этапе выполнения проекта был разработан математический аппарата исследования обратных задач и задач управления для моделей тепломассопереноса. В дальнейшем с помощью этого аппарата был исследован ряд обратных задач и задач управления. Важно отметить, что исследование обратных задач сводилось к исследованию соответствующих экстремальных задач путем введения функционала качества, адекватно отвечающего рассматриваемой обратной задаче, и последующей его минимизации на решениях исходной задачи (см. [8-13]). Это позволило рассматривать обратные задачи и задачи управления с единых позиций математической теории оптимального управления и применять для их решения один и тот же математический аппарат, основанный на теории экстремальных задач условной оптимизации [14,15].


Обратные задачи для уравнения конвекции-диффузии-реакции

Рассмотрим задачу основанную на линейном уравнении конвекции-диффузии-реакции. Это уравнение часто используется для описания процесса переноса вещества. Важное прикладное значение имеет задача обнаружения и идентификации неизвестных источников загрязняющего вещества по дополнительной информации о создаваемом этими источниками поле концентрации в некоторой области пространства.

Хорошо известно, что исследование процессов распространения загрязнений в природных средах сводится к решению начально-краевых задач для моделей тепломассопереноса. Возникающие при таком исследовании краевые задачи содержат ряд гидродинамических, биохимических и других параметров, а также функции, описывающих плотности источников загрязнения. Для того, чтобы однозначно определить решение соответствующей краевой задачи, адекватно описывающей рассматриваемый процесс, значения всех входных параметров, начальных и граничных функций, а также плотностей граничных и распределенных источников должны быть известны. Однако на практике часто возникают ситуации, когда некоторые из указанных параметров или плотностей источников неизвестны. В этих случаях приходится наряду с искомым решением рассматриваемой краевой задачи отыскивать и неизвестные параметры, используя некоторую дополнительную информацию о решении.

Так, например, исследование процесса распространения загрязнения может происходить в ситуации, когда источники загрязняющего вещества расположены в месте, недоступном для прямых измерений, либо информация о параметрах источника скрывается. Указанные параметры требуется восстановить, используя дополнительную информацию о состоянии среды, например, в виде поля измеренных значений концентрации загрязняющего вещества в некоторых доступных для измерений зонах. Неучтенные выбросы загрязнений от таких источников могут представлять опасность для окружающей среды.

Распространение загрязнений может происходить также в ситуациях, когда неизвестны некоторые параметры самой среды. В этих случаях, наряду с искомым решением, приходится отыскивать и неизвестные параметры, чаще всего играющие роль коэффициентов исходных уравнений модели либо граничных условий. Приведенные примеры являются примерами так называемых задач идентификации для моделей распространения загрязнений в природных средах. Указанные задачи заключаются в нахождении неизвестных плотностей источников либо параметров среды, в которой происходит изучаемый процесс, по дополнительной информации о состоянии среды. Их еще называют обратными задачами, поскольку в этих задачах требуется восстановить одну из причин воздействия по заданному следствию.

Исследование коэффициентных обратных экстремальных задач для линейного уравнения конвекции-диффузии-реакции связано с большими трудностями, поскольку по своим постановкам даже для линейных моделей они относятся к нелинейным и, как правило, к некорректным задачам математической физики. Таким образом, коэффициентные обратные задачи являются существенно более сложными, чем прямые краевые задачи для тех же дифференциальных уравнений в частных производных.

Прямая краевая задача для уравнения конвекции-диффузии-реакции математематически формулируется как задача нахождения в ограниченной области Ω концентрации φ загрязняющего вещества из соотношений

Здесь Δ – оператор Лапласа, λ=const>0 – коэффициент диффузии, u – скорость вещества в жидкости, w0 – величина вертикальной скорости осаждения (или поднятия при w0 <0) частиц вещества, k≥ 0 – величина, характеризующая распад загрязняющего вещества за счет химических реакций, f – плотность распределенных источников, α, ψ, χ – некоторые функции, заданные на соответствующих непересекающихся частях границы D либо N.

На практике функции f,ψ,χ и функциональные коэффициенты α,k могут быть неизвестны. Тогда мы приходим к обратной задаче (задача 1), которая состоит в нахождении пятерки неизвестных функций u=(f,ψ,χ,α,k) и искомого решения φ исходной краевой задачи, исходя из минимизации функционала J, который запишем в виде

Здесь i>0 (i=1,2,3,4,5) – некоторые параметры регуляризации, играющие важную роль при доказательстве существования, единственности и устойчивости решения обратных экстремальных задач. В роли основного функционала качества I(φ) обычно выступают функционалы следующего вида:

Здесь r – характеристическая функция множества наблюдений Q, в котором концентрация φd загрязняющего вещества известна (как в случае третьего функционала) либо ее надо минимизировать (тогда используется четвертый функционал). Первый и второй функционалы используются, когда нам требуется минимизировать градиенты концентрации либо саму концентрацию загрязняющего вещества во всей области Ω.

На предыдущих этапах проекта исполнителями было проведено теоретическое исследование обратных экстремальных задач для линейного уравнения конвекции-диффузии-реакции, описывающего распространение загрязняющего вещества в ограниченной области. Доказана разрешимость рассматриваемых экстремальных задач. Выведены системы оптимальности, представляющие собой необходимые условия экстремума первого порядка. Установлены достаточные условия на исходные данные, обеспечивающие единственность и устойчивость решений конкретных обратных экстремальных задач относительно малых возмущений заданного функционала качества и одной из функций, входящих в основное уравнение конвекции-диффузии-реакции.

Полученные результаты теоретического исследования были использованы при разработке эффективных чиленных алгоритмов решения обратных задач и задач управления для моделей тепломассопереноса. В основу численных алгоритмов решения обратных экстремальных задач легла полученная исполнителями система оптимальности.



Задача 1

Рассмотрим сначала обратную экстремальную задачу, в которой кроме решения φ требуется восстановить лишь один неизвестный параметр. Задача является частным случаем поставленной выше задачи 1.



Задача 2. Наити неизвестную функцию χ и решение φ исходной краевой задачи, исходя из минимизации функционала

Опишем алгоритм решения сформулированной новой обратной задачи, который основан на методе Ньютона и состоит из следующих этапов:

1) выбирается начальное приближение χ0 и полагается n=0;

2) находится приближенное решение в виде матрицы φn прямой задачи



для выбранного значения параметра χn;

3) находится приближенное решение в виде матрицы n сопряженной задачи

при вычисленном выше φn и заданном φd;

4) вычисляется вспомогательный вектор gn по формуле

gn = µ3 χn -nN,

где nN – N-ый столбец матрицы n;

5) вычисляется матрица Якоби H=((Hij)) конечно-разностным методом с помощью формул:

,

где si - малое приращение χni;

6) вычисляются новые значения χn+1 компонент вектора χ по формуле

χn+1 = χn -H-1gn;

7) проверяется условие (ΣN-1i=1n+1i- χni )2)1/2<10-6.

Если это условие выполняется, то осуществляется выход из цикла, а за приближенное численное решение обратной задачи выбирается пара (χn, φn). В противном случае n увеличивается на 1 и осуществляется переход к п. 2.

Если потребуется решить задачу с несколькими неизвестными параметрами, тогда, описанный алгоритм может быть откорректирован следующим образом. Для каждого из неизвестных параметров выберется начальное приближение, а в пункты 4)-7) добавяться формулы, аналогичные описанным в алгоритме, для нахождения неизвестных параметров.



Результаты тестирования алгоритма

Тестирование алгоритма проводилось путем численного решения обратных задач. Численное решение поставленной задачи обратной задачи 2 в области Ω производилось посредством компьютерного моделирования, при котором дифференциальное уравнение конвекции-диффузии-реакции для модели распространения вещества в двумерной области дискретизировалось с помощью метода конечных разностей в программе Scilab [16]. В исследуемой области Ω вводилась равномерная сетка. Поле концентрации рассчитывалось с соблюдением граничных условий и условий устойчивости разностной схемы.

При проведении вычислительных экспериментов был выбран водный объект, не содержащий источников загрязнения, но получающий некоторое количество загрязняющих веществ за счет принесения их вместе с потоком воды из соседней области либо в результате поступления веществ через некоторый участок границы в процессе массообмена. Для простоты исследования задача решалась для двумерного случая, а контуры участка реки сводились к единичному квадрату с расположением границ ГD и ГN, указанным на рис. 1. Такое допущение в модели возможно в случае, когда глубина водной акватории мала по сравнению с шириной и длиной участка, т.е. можно пренебречь распределением концентрации вещества по глубине [3]. Система координат выбиралась таким образом, чтобы ось Ох была направлена вдоль потока, а ось Oу - перпендикулярно потоку.

Рис. 1. Геометрия области переноса вещества

В качестве искомой функции выбиралась функция χd=0.02sin(πy), а начального приближения – функция χ0=0. Исходные данные записывались в следующем виде:

f=0.5, α=0.1sin(πy), λ=0.2, u=(1,0), w0=0, ψ=0.5, χ0=0, Q=Ω, .

На рис. 1 представлен случай, соответствующий условию, когда на участках границы ГN при y=0, y=1 ставилось условие ∂φ/∂n=0, моделирующее отсутствие потока вещества через границу ГN. Вектор скорости потока, с помощью которого приносится вещество в область, задается в виде u=(1,0). Что касается дополнительной информации о состоянии среды, то в соответствии с концепцией квазиреального эксперимента в качестве указанной дополнительной информации использовались значения решения φd исходной краевой задачи, вычисленные в подобласти Q области Ω в предположении, что все входные параметры известны.

На рис. 2 приведены графики зависимости ошибок E0=||φ-φd||Q/||φd||Q и E1=||χ-χd||ГN/||χd||ГN от значений параметра μ3, которые показывают влияние параметра регуляризации на решение обратной задачи. На графиках видно, что при уменьшении значения параметра регуляризации µ3 точность решения обратной задачи улучшается. Эти результаты подтверждают графики восстанавливаемой функции χ на рис. 3, где «chi toch» соответствует значениям χ=0.02sin(πy), а «chi_FDif» - решение обратной задачи, полученное в пакете Scilab для µ=10-3 (слева) и µ=10-5 (справа).



Рис. 2. Величина ошибок E0 и E1 в зависимости от параметра µ.



Рис. 3. Графики восстанавливаемой функции χ для µ=10-3 и µ=10-5.

Больший интерес представляет собой изучение зависимости точности решения обратной экстремальной задачи от размеров и расположения области дополнительных измерений. Для этого исследовался случай, когда область дополнительных измерений Q занимает некоторую часть рассматриваемой области Ω и располагается так, как показано на рис. 4. Этот случай отвечает ситуации, когда замеры концентрации загрязнения проводятся вдоль одного из берегов водного объекта.

Рис. 4. Расположение области замеров Q

Ниже на рис. 5 представлены графики функции χ в зависимости от площади области дополнительных измерений при μ=10-7. Слева представлен график для случая, когда область Q располагается, как показано на рис. 4 (слева), а справа – когда область Q располагается, как показано на рис. 4 (справа). Площадь области Q составляет 50% от площади области Ω.

Рис. 5. Графики функции χ при разных расположениях области дополнительных измерений Q

Самый удачный выбор расположения области дополнительных измерений приведен на рис. 6. При таком выборе расположения области Q для получения качественных результатов достаточно было 30% площади области Q от площади области Ω. Это можно увидеть на графиках зависимостей ошибок E0 и E1 ( рис. 7).

Рис. 6. Расположение области замеров Q

Графики зависимостей ошибок E0 и E1, на рис. 7 показывают, как качество решения обратной задачи зависит от площади области замеров, причем увеличение площади области замеров повышает качество решения обратной задачи.

Рис. 7. Зависимость ошибки E0 (слева) и E1 (справа) от площади области Q.



Задача 2

Рассмотрим еще одну задачу нахождения неизвестного параметра краевой задачи. В отличии от задачи 1 во второй задаче неизвестный параметр ищется не на границе, а в области Ω, а сама задача может быть сформулирована следующим образом.



Задача 2. Наити неизвестную функцию k и решение φ исходной краевой задачи, исходя из минимизации функционала

Численное решение второй задачи выполняеся по алгоритму описанному выше. В качестве искомой функции выбиралась функция , а начального приближения – функция k0=0. Исходные данные записывались в следующем виде:



f=0.5, χ=0.02sin(πy), λ=0.2, u=(1,0), w0 =0, α=0, ψ=2.

На рис. 8 приведены графики зависимости ошибок E0=||φ-φd||Q/||φd||Q и E1=||k-kd||/||kd|| от значений параметра μ5 Они показывают, что при уменьшении значения параметра регуляризации µ5 точность решения обратной задачи улучшается. Эти результаты подтверждают графики восстанавливаемой функции k на рис. 9, полученное в пакете Scilab для µ5=10-3 (слева) и µ5=10-5 (справа).



Рис. 8. Величина ошибок E0 и E1 в зависимости от параметра µ5.



Рис. 9. Графики восстанавливаемой функции k для µ5=10-3 и µ5=10-5.

Ниже на рис. 10 представлены срезы графиков восстанавливаемой функции k (рис. 9) плоскостью x=0.5, где сплашная линия соответствует значениям , а линия с треугольниками - решению обратной задачи.

Рис. 10. Графики функции χ при разных расположениях области дополнительных измерений Q



Численное решение задач управления для уравнений тепловой конвекции


В качестве более сложной модели тепломассопереноса было рассмотрено нелинейное приближение Обербека-Буссинеска, описывающее распространения тепла и примесей в вязкой теплопроводной жидкости. Указанная модель представляет собой уравнения Навье-Стокса для скорости и давления и уравнение конвекции-диффузии для температуры и/или концентрации примеси, связанные между собой через силу плавучести и конвективный перенос.

Краевая задача для стационарных уравнений Обербека-Буссинеска формулируется как задача нахождения в ограниченной области Ω тройки функций x=(u,p,φ) из соотношений










Здесь u – вектор скорости, p=P/ρ, где P- давление, ρ=const – плотность среды, φ – температура жидкости (в случае моделирования процессов теплопереноса) либо концентрация примеси (при моделировании массопереноса), ν>0 – коэффициент кинематической вязкости, f – объемная плотность внешних сил, b=βG, где Gвектор ускорения свободного падения, β – объемный коэффициент теплового расширения (при моделировании процессов теплопереноса), – коэффициент температуропроводности (при моделировании теплопереноса) либо коэффициент диффузии (в процессах массопереноса).

Задачи управления для данной модели формулируются при помощи экстремальных задач по аналогии с рассмотренной выше постановкой для уравнения конвекции-диффузии-реакции.

В гидродинамике и тепловой конвекции чаше всего главной целью задачи управления является создание течений с заданными свойствами. Роль управлений обычно играют граничные значения скорости, температуры либо потока тепла. В частности, численно была решена задача изменения конфигурации течения при помощи нагрева либо охлаждения некоторых участков границы.

На рис. 11 представлен вектор скорости для неуправляемого двумерного течения вязкой теплопроводной жидкости в каверне с неподвижными стенками. Данное течение вызвано нагревом жидкости на небольшом участке ГS в центре правой вертикальной границы (см .рис. 12).

Рис. 11. Вектор скорости неуправляемого течения


Целью управления является изменение течения таким образом, чтобы полученные линии тока были близки заданной линии L, представленной на рис. 12. Это делается для того, чтобы поток жидкости изолировал в некотором смысле подобласть Q вблизи участка нагрева ГS (см. рис. 12). Таким образом удастся создать естественное препятствие для распространения загрязняющего вещества, попадающего в эту подобласть. В качестве управления используется поток тепла на участках границы ГN. Роль минимизируемого функционала играет криволинейный интеграл по кривой L от квадрата нормальной компоненты вектора скорости. Для численного решения нелинейной системы оптимальности был применен метод Ньютона.

Рис. 12. Область течения с участками управления


Полученное в результате решения задачи управления поле скорости представлено на рис. 13. Хорошо видно, что новые линии тока близки к заданной кривой L, показанной на рис. 12.

Рис. 13. Вектор скорости управляемого течения



Численные алгоритмы для нестационарных течений газа в пористых объектах


Предложена математическая модель для исследования нестационарных течений газа в пористых объектах с очагами гетерогенного горения при заданном давлении на границах объекта. В модели учитывается, что твердое пористое вещество состоит из горючего и инертного компонента, при этом твердое горючее вещество в результате реакции с газообразным окислителем превращается в газ. В отличие от широкоизвестных моделей фильтрационного горения в предложенном подходе газодинамические процессы описываются полным уравнением сохранения импульса. Достоинством предложенной математической модели является также то, что она позволяет описывать процессы не только вынужденной фильтрации, но и естественной конвекции, когда при горении в пористом объекте происходит саморегуляция расхода проходящего через него газа. Для исследования описываемых предложенной моделью одномерных нестационарных процессов разработан численный метод, основанный на комбинации явных и неявных конечно разностных схем. С помощью вычислительного эксперимента исследованы одномерные нестационарные процессы гетерогенного горения в пористом объекте в случае, когда давление на нижней и на верхней границах пористого объекта соответствует атмосферному давлению на заданных высотах. Обнаружено два режима распространения волны горения – движение волны вверх по объекту и вниз по объекту. Показано, что при движении волны вниз по объекту, в отличие от случая движения волны вверх по объекту, происходит неполное выгорание твердого горючего вещества, а температура в зоне горения и скорость волны горения в этом случае оказываются более низкими. Также показано, что при достижении волны горения нижней границы объекта происходит её отражение. (Lutsenko N.A. “Modeling of Heterogeneous Combustion in Porous Media under Free Convection” Proceedings of the Combustion Institute. 2012. DOI:10.1016/j.proci.2012.06.147)

Исследованы вопросы учета сжимаемости твердой фазы при высоких давлениях в задачах течения газа через пористую среду как при линейной, так и при нелинейной фильтрации. Для этого были решены и проанализированы задачи одномерного стационарного движения газа через пористую среду при известном перепаде давления как для сжимаемого, так и для несжимаемого твердого пористого скелета. Показано, что при линейной фильтрации изменения коэффициента сжимаемости и давления на входе в пористую среду приводят к практически линейным изменениям максимальных относительных отклонений безразмерных давления, скорости фильтрации и расхода газа от значений, рассчитанных без учета сжимаемости; значение коэффициента фильтрации практически не влияет на учет сжимаемости твердой фазы. При нелинейной фильтрации для слабопроницаемых сред также только коэффициент сжимаемости и давление на входе в пористую среду линейно влияют на максимальные относительные изменения искомых величин при учете сжимаемости. А для сильнопроницаемых сред при нелинейной фильтрации на учет сжимаемости влияют также коэффициент фильтрации и инерционный коэффициент сопротивления пористой среды, при этом появляются нелинейные зависимости максимальных относительных изменений искомых величин от параметров задачи. (Беляков Н.С., Луценко Н.А., Минаев С.С., Теплицкий Ю.С. Исследование учета сжимаемости твердой фазы при течении газа через пористые среды // Инженерно-физический журнал. 2012. Т. 85. № 6. В печати.)



Заключение

В отчете представлены результаты исследований, выполненных по 4-му этапу Государственного контракта № 16.740.11.0565 «Оптимизация в задачах гидродинамики, тепломассопереноса, магнитной гидродинамики и электромагнетизма» (шифр «2011-1.3.1-111-001») от 30 мая 2011 по направлению «Проведение научных исследований молодыми кандидатами наук в следующих областях: - математика; - механика» в рамках мероприятия 1.3.1 «Проведение научных исследований молодыми учеными – кандидатами наук» направления 1 «Стимулирование закрепления молодежи в сфере науки, образования и высоких технологий» федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы.



Разработаны эффективные численные алгоритмы решения обратных экстремальных задач для моделей тепломассопереноса. Проведено обоснование и исследование их сходимости. Проведены вычислительные эксперименты в модельных приближениях. Установлены зависимости точности восстановления решения обратной задачи распространения загрязнения от выбора значения параметра, входящего в регуляризирующую добавку минимизируемого функционала качества, начального приближения, размера и расположения области измерений и погрешности измерений.

Список используемых источников





  1. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.: Наука, 1982.

  2. Белолипецкий В.М., Шокин Ю.И.Математическое моделирование в задачах защиты окружающей среды. Новосибирск: ИНФОЛИО-пресс, 1997.

  3. Бабаян А. В., Надолин К. А. О моделировании распространения вещества в плоском стационарном потоке вязкой жидкости // Водные ресурсы. 2000. Т. 27. N 2. С. 184–191.

  4. Бабешко О.М., Евдокимова О.В., Евдокимов С.М. Об учете типов источников и зон оседания загрязняющих веществ // Докл. АН. 2000. Т. 371. N 1. С. 32-34.

  5. Бардина М.Н. Одномерная модель распространения несмешивающихся с водой органических загрязнений в зоне аэрации // Вестник СамГУ - Естественнонаучная серия. 2007. T. 52. N 2. C. 46-56.

  6. Бочев М.А., Надолин К.А., Николаев И.А. Моделирование распространения вещества в двумерном стационарном открытом русловом потоке // Мат. мод. и выч. эксперимент. 1996. Т. 8. N 1. Стр. 11-24.

  7. Надолин К. А. Моделирование перемешивания и переноса вещества в русловых потоках // Экологический вестник научных центров ЧЭС. Приложение. 2004. С. 50–71.

  8. Alekseev C.V., Adomavichus E.A. Theoretical analysis of inverse extremal problems of admixture diffusion in viscous fluids // J. Inv. Ill-Posed Problems. 2001. V. 9. N 5. P. 435-468.

  9. Алексеев Г.В. Обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений теории массопереноса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2002. Т. 42. N 3. C. 380-394.

  10. Алексеев Г.В. Коэффициентные обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений тепломассопереноса // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2007. Т. 47, N 6. С. 1055-1076.

  11. Алексеев Г.В., Соболева О.В., Терешко Д.А. Задачи идентификации для стационарной модели массопереноса // Прикл. мех. техн. физ. 2008. Т. 49, N 4. С. 24-35.

  12. Алексеев Г.В., Соболева О.В. Об устойчивости решений экстремальных задач для стационарных уравнений массопереноса // Дальневост. мат. журн. 2009. Т. 9. N 1/2. С. 5-14.

  13. Соболева О.В. Обратные экстремальные задачи для стационарного уравнения конвекции-диффузии-реакции // Дальневост. матем. журн. 2010. Т. 10. N 2. С. 171-184.

  14. Алексеев Г.В., Терешко Д.А. Анализ и оптимизация в гидродинамике вязкой жидкости. Владивосток: Дальнаука, 2008. 365 с.

  15. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука. 1974. 480 с.

  16. http://www.scilab.org










Нельзя доподлинно утверждать, что немецкий народ изобрел порох. Немецкий народ состоит из тридцати миллионов человек. Только один из них изобрел порох. Остальные 29 999 999 немцев пороха не изобрели. Людвиг Берне
ещё >>